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第11讲　万有引力与航天
知识内容 说明
行星的运动 在备考过程中，考生应在理解万有引力定律、宇宙速度等基本概念的基础上，明确天体运动的匀速圆周运动模型，灵活应用 “万有引力提供向心力” 以及 “天体对其表面物体的万有引力近似等于重力” 这两组公式，同时多关注我国航空航天技术发展的最新成果，提升模型建构、推理论证、运算和估算等能力。
太阳与行星间的引力
万有引力定律
万有引力理论的成就
宇宙航行
经典力学的局限性
一、开普勒行星运动三定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝G.
3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．
4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、万有引力理论的成就
1．预言未知天体
2．计算天体质量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．
2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.
命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．该定律只能用在绕同一中心天体运行的星体之间．
2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（　　）
A． B． C． D．
中国古代所谓的“扫把星”说的是彗星，若某颗彗星绕日运动的轨道为椭圆，平均周期约为p年，近日点的速率为v1，近日点到太阳的距离约为日地距离的q倍。地球绕太阳运动的轨道为圆轨道，据此可知该彗星在远日点的速率为（　　）
A． B． C． D．
如图所示，某卫星变轨后绕地球做椭圆运动，是椭圆的长轴，是椭圆的短轴，为地心，、和椭圆段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，则卫星沿顺时针方向从点运动到A点的平均速率和从A点运动到点的平均速率之比为（　　）
A． B． C． D．
2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴。下列说法正确的是（ ）
A．某时刻嫦娥六号位于a点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的b点
B．某时刻嫦娥六号位于a点，则再经过二分之一周期它将位于轨道cb之间的某位置
C．某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的d点
D．某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道da之间的某位置
太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象。已知地球及部分地外行星绕太阳运动的轨道半径如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
则表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是（ ）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
命题点二　万有引力定律的理解和应用
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度：
ρ＝＝＝.
如图所示，地球公转所处的四个位置A、B、C、D分别大致对应四个节气。夏至和冬至时地球中心与太阳中心的距离分别为、，地球在相同时间内的路程分别为、且有，、是椭圆的两个焦点，下列说法正确的是（　　）
A．太阳处于处
B．从春分到夏至的过程中地球做加速运动
C．在夏至和冬至时太阳对地球的引力之比为
D．根据题目和图中信息可以求出地球质量
二十四节气入选联合国教科文组织非物质文化遗产代表作名录。在国际气象界中，二十四节气被誉为“中国第五大发明”。2024年春分、夏至、秋分和冬至在椭圆轨道所处位置和对应时间如图所示，关于这四个节气，下列说法正确的是（ ）
A．太阳对地球的万有引力在夏至时达到最大值
B．地球绕太阳公转运行到冬至时线速度达到最大值
C．地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，加速度逐渐增大
D．根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出地球的质量
已知地球质量为M，月球质量为m，地月距离为L。以地心作为坐标原点，沿地月连线建立x轴，在x轴上有一个探测器。由于地球和月球对探测器的引力做功与路径无关，探测器具有与其位置相关的引力势能。仅考虑地球和月球对探测器的作用，可得探测器引力势能随位置变化关系如图所示。在处引力势能最大，k已知，下列选项正确的是（　　）
A．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，先逐渐增大后逐渐减小
B．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，一直减小
C．地球与月球的质量之比
D．地球与月球的质量之比
国际天文学团队发现“超级地球”——行星HD20794d。如图所示，该行星围绕着一颗类太阳恒星运动，运行轨道呈椭圆形，位于宜居带内、外缘之间，、、、是椭圆轨道的顶点。已知类太阳恒星质量小于太阳质量，则“超级地球”（　　）
A．运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于地球公转轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比
B．从到所用时间大于到所用时间
C．在点的速度大于点的速度
D．在点的加速度小于点的加速度
如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（　　）
A．卫星运动周期是
B．卫星运动周期是
C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍
D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍
命题点三　宇宙航行和卫星问题
1．第一宇宙速度
(1)推导方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
2．卫星运行参量的分析
卫星运行参量 相关方程 结论
线速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为天体表面处的重力加速度)
拓展点　地球同步卫星
同步卫星的六个“一定”
如图所示，我国的静止卫星M、量子卫星N均在赤道平面内绕地球做圆周运动，P是地球赤道上一点。则（　　）
A．P点的周期比N的大
B．P点的速度等于第一宇宙速度
C．M的向心加速度比N的大
D．M所受的万有引力比N所受的万有引力大
假设地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其运行周期与轨道半径的关系如图所示，图中1和2分别为我国空间站“天和”核心舱、卫星导航系统中某颗地球同步卫星所对应的数据。引力常量为G。下列说法正确的是（　　）
A．核心舱与地球同步卫星的向心力大小之比为
B．核心舱与地球同步卫星的向心加速度大小之比为
C．核心舱与地球同步卫星的周期之比为
D．核心舱与地球同步卫星的速率之比为
中国空间站绕地球运行方向如图所示，由于地球遮挡阳光，空间站内宇航员在一天内会经历多次日落日出。太阳光看作平行光，空间站经历一次日落到日出转过的圆心角为2θ，则空间站线速度大小与第一宇宙速度大小之比为（　　）
A． B． C． D．
在《流浪地球2》电影中出现了太空电梯的科幻设想（如图甲）。人类可以乘坐电梯轿厢从固定在地面的基座出发，经国际空间站（轨道距地球表面约400km）向同步轨道空间站（距地球表面约36000km）运行（如图乙），在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．电梯轿厢所受地球的万有引力逐渐增大
B．电梯轿厢绕地球运行的线速度逐渐增大
C．电梯轿厢绕地球运行的角速度逐渐增大
D．电梯轿厢绕地球运行的向心加速度逐渐减小
2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为，远月点B距月心约为，CD为椭圆轨道的短轴，已经万有引力常量。下列说法正确的是（　　）
A．利用题中的条件可以估算月球的质量
B．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h
C．鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比约为1：9
D．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1
火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为（　　）
A．1∶ B．2∶5
C．3∶5 D．2∶3
随着太空垃圾问题日益严峻，天宫空间站面临来自太空碎片的威胁越来越严重，这些碎片速度极快，对空间站设施构成严重危害。神舟十九号任务中携带了特殊装甲，并为天宫空间站安装了新的防护罩。同时，地面控制中心通过大型雷达和光学望远镜等监测设备，密切监测太空碎片，精确计算其运行轨迹，提前发现潜在碰撞风险。一旦监测到有较大的太空垃圾靠近时，天宫空间站会在地面控制中心的指挥下，依靠自身推进系统主动改变轨道或姿态，避开危险。某次避险过程需要空间站从低轨道变轨至更高轨道运行，假设变轨前后空间站所在轨道均为圆轨道，下列关于变轨前后的说法正确的是（　　）
A．变轨后空间站的线速度变大
B．变轨后空间站的角速度变大
C．变轨后空间站的运行周期变长
D．变轨时空间站发动机需沿运动方向喷气
如图所示，O处为地心，卫星1环绕地球做匀速圆周运动，卫星2环绕地球运行的轨道为椭圆，两轨道不在同一平面内。已知圆轨道的直径等于椭圆轨道的长轴，且地球位于椭圆轨道的一个焦点上，引力常量为G，地球的质量为M，卫星1的轨道半径为R，卫星1的运转速度为v0，关系为。下列说法正确的是（　　）
A．卫星1的运行周期大于卫星2的运行周期
B．如果卫星1的加速度为a，卫星2在P点的加速度为，则
C．卫星2在Q点的速度
D．卫星2在P、Q点的速度大小关系为
如图所示，两颗彗星仅受太阳引力作用绕太阳运行，彗星1轨道为圆，彗星2轨道为椭圆。下列说法正确的是（ ）
A．彗星2在近日点的速度小于远日点的速度
B．彗星1的速度大于彗星2在远日点的速度
C．彗星1、彗星2与太阳的连线在相等时间内扫过的面积一定相等
D．彗星1受太阳的万有引力一定小于彗星2在近日点受太阳的万有引力
江淹的《别赋》中写到“日下壁而沉彩，月上轩而飞光”，形象地呈现出日月光交替转换的自然美景。这种昼夜更替现象与地球的自转有关，结合万有引力定律的相关知识，下列说法正确的是（　　）
A．若地球自转变快，则地球静止卫星的轨道变高
B．地球静止卫星和极地同步卫星的加速度大小不同
C．地球表面赤道上的重力加速度比两极上的重力加速度大
D．以地心为参考系，置于武汉和北京的物体的向心加速度大小不同
2025年3月我国科学家通过研究嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，取得重大突破，对理解月球乃至太阳系早期演化具有重大科学意义，“嫦娥六号”任务圆满成功。假设“嫦娥六号”绕某一中心天体运动的圆轨道半径减为原来的一半时，则“嫦娥六号”（　　）
A．向心加速度变为原来的2倍
B．线速度变为原来的2倍
C．运动周期变为原来的倍
D．所受万有引力变为原来的倍
我国高分十二号05星运行轨道高度为600km，地球同步轨道卫星高度为35600km，地球半径为6400km。关于05星，下列说法正确的是（　　）
A．运行周期为
B．发射速度大于11.2km/s
C．能始终定点在地球表面某位置正上方
D．与同步轨道卫星运行线速度之比为
2025年2月27日15时08分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丙火箭成功将四维高景一号03、04星送入预定轨道。卫星在进入预定轨道之前的某段运动轨迹为椭圆，如图所示，P、Q为椭圆轨道长轴端点，M、N为椭圆轨道短轴端点，卫星运行的方向如箭头所示。已知卫星的绕行周期为T，且仅考虑地球对卫星的引力作用。下列说法正确的是（　　）
A．卫星在M点和N点的加速度相同
B．卫星在P点的加速度小于在Q点的加速度
C．卫星在P点的动能大于在Q点的动能
D．卫星从M点经P点运动到N点的时间与从N点经Q点运动到M点的时间相等
北京时间2025年1月21日1时12分，经过约8.5小时的出舱活动，神舟十九号乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务。已知空间站绕行地球一圈的时间大约为90分钟。以下说法正确的是（　　）
A．航天员相对空间站静止时，所受合外力为零
B．空间站的运行速度小于同步卫星运行速度
C．航天员在出舱活动期间最多可能看到5次日出
D．空间站的向心加速度大于地球上建筑物的向心加速度
宇宙中两颗相距很远的行星A、B的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别为ρ1、ρ2，行星表面的重力加速度大小分别为g1、g2，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方v 随r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的周期为T，取对数后得到lgr-lgT图像如图乙所示，两条直线的斜率均为k，它们的纵轴截距分别为b1、b2。已知两图像数据均采用国际单位，。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2025年3月12日，澳大利亚悉尼大学的伊里斯·德·鲁伊特带领团队终于解开了一个自去年被发现以来一直困扰着他们的神秘重复无线电信号之谜。经过深入研究，研究团队将这一信号追踪至一个奇特的双星系统，该系统包含一颗白矮星和一颗红矮星伴星，设白矮星质量为m1，，红矮星质量为m2 ，两个星体质量分布均匀且二者之间的距离为L，万有引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　）
A．白矮星与红矮星的向心力相同
B．白矮星与红矮星的线速度大小之比为
C．白矮星的角速度大小为
D．白矮星与红矮星的动量大小之比为
如图所示，火星与地球可视为在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知地球的公转周期为T，火星轨道半径是地球轨道半径的k倍。地球从a运行到b、火星从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和。下列说法正确的是（　　）
A．若小于，则可以判定从a运行到b的时间小于从c运行到d的时间
B．火星与地球做圆周运动的向心力大小之比为
C．火星与地球做圆周运动的角速度之比为
D．火星的公转周期为kT
考虑到地球自转的影响，下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是（　　）
A． B．
C． D．
2024年10月30日，神舟十九号载人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨后按照预定程序与天和核心舱对接。飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示。飞船从圆轨道Ⅰ，通过变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ由A处运动到B处，与沿圆轨道Ⅲ运行的核心舱对接，对接后的组合体继续在圆轨道Ⅲ上运行。在上述过程中，飞船（ ）
A．由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需在B处减速
B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等
C．在轨道Ⅰ上A处的速度小于在轨道Ⅲ上B处的速度
D．在轨道Ⅱ上由A到B的时间大于在轨道Ⅲ上运行周期的一半
假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。则（　　）
A．赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为
B．地球的半径为
C．地球的密度为
D．地球同步卫星的轨道半径为
如图甲，卫星和地心连线与地面的交点称为星下点，随着卫星绕地球运动以及地球自转，星下点会在地球表面不断移动，形成星下点轨迹。地球半径为，自转周期小时。卫星A、B绕行方向与地球自转方向一致（图中未画），其星下点部分轨迹分别如题图乙、丙。已知地球同步卫星的轨道半径，，卫星运动均视为匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．卫星A、B的周期之比
B．卫星A、B运行的线速度之比为
C．卫星B绕地球运行的轨道半径为
D．某时刻卫星A、B相距最近，之后在A运动的20圈时间内，卫星A、B有5次相距最近
某天文爱好者观测绕地球做匀速圆周运动的卫星，测出不同卫星的线速度v和轨道半径r，作出图像如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．地球的质量为
B．地球的第一宇宙速度为
C．地球表面的重力加速度为
D．线速度为的卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积为
太空电梯是一种设想中的交通工具，能够将人员和货物从地球表面直接运送到太空。如图是太空电梯的示意图，超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，使它们随地球同步旋转；电梯轿厢可以沿着超级缆绳往返于空间站和基地之间。已知配重空间站的轨道比静止卫星的轨道更高。此时电梯轿厢正停在处。下列说法正确的是（　　）
A．轿厢中的货物处于平衡状态
B．与天津广播电视塔相比，同步空间站绕地球运动的线速度更小
C．超级缆绳上各点的加速度与该点到地球球心的距离的平方成反比
D．若从配重空间站脱落一个小物块，该物块脱落后做离心运动
2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。4月26日3时32分，神舟十八号成功对接于中国空间站的天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（　　）
A．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
B．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的
C．神舟十八号载人飞船与核心舱成功对接后，空间站由于质量增大，轨道半径将明显变小
D．若已知空间站的运行周期、地球半径和引力常量G，则可求出空间站的质量
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第11讲　万有引力与航天
知识内容 说明
行星的运动 在备考过程中，考生应在理解万有引力定律、宇宙速度等基本概念的基础上，明确天体运动的匀速圆周运动模型，灵活应用 “万有引力提供向心力” 以及 “天体对其表面物体的万有引力近似等于重力” 这两组公式，同时多关注我国航空航天技术发展的最新成果，提升模型建构、推理论证、运算和估算等能力。
太阳与行星间的引力
万有引力定律
万有引力理论的成就
宇宙航行
经典力学的局限性
一、开普勒行星运动三定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝G.
3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．
4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、万有引力理论的成就
1．预言未知天体
2．计算天体质量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．
2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.
命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．该定律只能用在绕同一中心天体运行的星体之间．
2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设地球半径为R，根据开普勒第三定律有
联立解得“天链二号04星”的周期
故选C。
中国古代所谓的“扫把星”说的是彗星，若某颗彗星绕日运动的轨道为椭圆，平均周期约为p年，近日点的速率为v1，近日点到太阳的距离约为日地距离的q倍。地球绕太阳运动的轨道为圆轨道，据此可知该彗星在远日点的速率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据开普勒第三定律
解得
近日点到太阳距离为
故远日点到太阳距离为
根据开普勒第二定律可得
联立解得
故选D。
如图所示，某卫星变轨后绕地球做椭圆运动，是椭圆的长轴，是椭圆的短轴，为地心，、和椭圆段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，则卫星沿顺时针方向从点运动到A点的平均速率和从A点运动到点的平均速率之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，、及段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的
设卫星沿顺时针方向从点运动到A点的时间为，从A点运动到点的时间为，根据开普勒第二定律可知
由于曲线和曲线长度相等，则卫星沿顺时针方向从点运动到A点的平均速率和从A点运动到点的平均速率之比为。
故选C。
2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴。下列说法正确的是（ ）
A．某时刻嫦娥六号位于a点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的b点
B．某时刻嫦娥六号位于a点，则再经过二分之一周期它将位于轨道cb之间的某位置
C．某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的d点
D．某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道da之间的某位置
【答案】A
【详解】AB．根据开普勒第二定律，近月点速度快，远月点速度慢，结合对称性可知，弧acb上的平均速率与弧bda上的平均速率相等，且它们弧长相等，故所以时间相等，因此两端圆弧所用时间均为二分之一周期，A正确，B错误；
CD．根据开普勒第二定律，近月点速度快，远月点速度慢，可知嫦娥六号在弧cbd上的平均速度小于在弧dac上的平均速度，弧cbd的长度为环月椭圆轨道周长的一半，故再经过二分之一周期它将位于轨道的bd之间，到达不了d点，更不可能运动到轨道da之间的某位置，CD错误。
故选A。
太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象。已知地球及部分地外行星绕太阳运动的轨道半径如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
则表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是（ ）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
【答案】A
【详解】根据开普勒第三定律有
解得
如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有
解得
则行星绕太阳运动的轨道半径r越小，时间间隔越长，故表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是木星。
故选A。
命题点二　万有引力定律的理解和应用
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度：
ρ＝＝＝.
如图所示，地球公转所处的四个位置A、B、C、D分别大致对应四个节气。夏至和冬至时地球中心与太阳中心的距离分别为、，地球在相同时间内的路程分别为、且有，、是椭圆的两个焦点，下列说法正确的是（　　）
A．太阳处于处
B．从春分到夏至的过程中地球做加速运动
C．在夏至和冬至时太阳对地球的引力之比为
D．根据题目和图中信息可以求出地球质量
【答案】C
【详解】A．由于地球在相同时间内的路程分别为、且有，根据开普勒第二定律可知，所以冬至所在位置为近地点，故太阳处于处，故A错误；
B．从春分到夏至的过程中地球距离太阳越来越远，做减速运动，故B错误；
C．根据万有引力定律
可知，在夏至和冬至时太阳对地球的引力之比为
故C正确；
D．根据万有引力做向心力，由圆周运动的半径和周期可求得中心天体的质量，地球不是中心天体，故地球的质量无法求解，故D错误。
故选C。
二十四节气入选联合国教科文组织非物质文化遗产代表作名录。在国际气象界中，二十四节气被誉为“中国第五大发明”。2024年春分、夏至、秋分和冬至在椭圆轨道所处位置和对应时间如图所示，关于这四个节气，下列说法正确的是（ ）
A．太阳对地球的万有引力在夏至时达到最大值
B．地球绕太阳公转运行到冬至时线速度达到最大值
C．地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，加速度逐渐增大
D．根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出地球的质量
【答案】B
【详解】A．夏至时地球离太阳最远，由万有引力知，太阳对地球的万有引力在夏至时达到最小值，故A错误；
B．由开普勒第二定律知，地球绕太阳公转运行到冬至时线速度达到最大值，故B正确；
C．由牛顿第二定律得，解得，故地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，加速度先减小后增大，故C错误；
D．由牛顿第二定律得，所以根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出太阳的质量，估算不出地球的质量，故D错误。
故选B。
已知地球质量为M，月球质量为m，地月距离为L。以地心作为坐标原点，沿地月连线建立x轴，在x轴上有一个探测器。由于地球和月球对探测器的引力做功与路径无关，探测器具有与其位置相关的引力势能。仅考虑地球和月球对探测器的作用，可得探测器引力势能随位置变化关系如图所示。在处引力势能最大，k已知，下列选项正确的是（　　）
A．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，先逐渐增大后逐渐减小
B．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，一直减小
C．地球与月球的质量之比
D．地球与月球的质量之比
【答案】C
【详解】AB．设地球质量为M，月球的质量为m， 探测器的质量为，引力的合力做功与引力势能的关系
可知图线的斜率绝对值为
由图可知，图像切线斜率绝对值先减小后增大，则地球和月球对探测器作用力随探测器位置x的增大，先逐渐减小后逐渐增大，故AB错误；
CD．在处图线的切线斜率为0 ，则探测器在该处受地球和月球的引力的合力为零，即
解得地球与月球的质量之比
故C正确，D错误。
故选C。
国际天文学团队发现“超级地球”——行星HD20794d。如图所示，该行星围绕着一颗类太阳恒星运动，运行轨道呈椭圆形，位于宜居带内、外缘之间，、、、是椭圆轨道的顶点。已知类太阳恒星质量小于太阳质量，则“超级地球”（　　）
A．运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于地球公转轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比
B．从到所用时间大于到所用时间
C．在点的速度大于点的速度
D．在点的加速度小于点的加速度
【答案】BD
【详解】A．“超级地球”围绕类太阳恒星运动，中心天体时类太阳恒星；地球围绕太阳运动，中心天体时太阳，中心天体不同，轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比不同，故A错误；
B．“超级地球”围绕类太阳恒星做椭圆运动，从Q到M的平均速度大小小于从M到P的平均速度大小，所以从Q到M所用时间大于M到P所用时间，故B正确；
C．由开普勒第二定律可知在远日点Q点的速度小于近日点P点的速度，故C错误；
D．根据万有引力公式
可知“超级地球”在P点受到的万有引力大，根据牛顿第二定律可知在Q点的加速度小于P点的加速度，故D正确。
故选BD。
如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（　　）
A．卫星运动周期是
B．卫星运动周期是
C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍
D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍
【答案】AC
【详解】AB．从图乙可知，卫星从近地点到远地点再回到近地点，万有引力完成一个周期性变化，这个过程所用时间为，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道运动的时间，所以卫星运动周期为，故A正确，B错误；
CD．根据万有引力定律
设地球与近地点间的距离为，与远地点再间的距离为
则在点
在点
将两式相比可得
即
所以地球与点间距离是地球与点间距离的倍，故C正确，D错误。
故选 AC。
命题点三　宇宙航行和卫星问题
1．第一宇宙速度
(1)推导方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
2．卫星运行参量的分析
卫星运行参量 相关方程 结论
线速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为天体表面处的重力加速度)
拓展点　地球同步卫星
同步卫星的六个“一定”
如图所示，我国的静止卫星M、量子卫星N均在赤道平面内绕地球做圆周运动，P是地球赤道上一点。则（　　）
A．P点的周期比N的大
B．P点的速度等于第一宇宙速度
C．M的向心加速度比N的大
D．M所受的万有引力比N所受的万有引力大
【答案】A
【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
由牛顿第二定律得
整理得
由题意知，N的轨道半径比M小，则N的周期比M的小，由于P、M的周期相同，故N的周期比P的小，故A正确；
B．由圆周运动知识可得
P点的速度和第一宇宙速度之比
由天体物理常识得，，
可见，P点的速度远小于第一宇宙速度，故B错误；
C．卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
由牛顿第二定律得
整理得
向心加速度
联立得
由于N的轨道半径比M小，故得N的向心加速度比M的大，故C错误；
D．由万有引力公式及题意可知
静止卫星M和量子卫星N的质量关系未知，所受万有引力大小关系不能确定，故D错误；
故选A。
假设地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其运行周期与轨道半径的关系如图所示，图中1和2分别为我国空间站“天和”核心舱、卫星导航系统中某颗地球同步卫星所对应的数据。引力常量为G。下列说法正确的是（　　）
A．核心舱与地球同步卫星的向心力大小之比为
B．核心舱与地球同步卫星的向心加速度大小之比为
C．核心舱与地球同步卫星的周期之比为
D．核心舱与地球同步卫星的速率之比为
【答案】B
【详解】A．由于核心舱与地球同步卫星的质量未知，因此不能确定它们做圆周运动的向心力大小之比，故A错误；
B．由题图可知，、
根据
可得
核心舱与地球同步卫星的向心加速度大小之比为，故B正确；
C．根据开普勒第三定律可知，核心舱与地球同步卫星的周期之比
故C错误；
D．根据
可得
核心舱与地球同步卫星的速率之比
故D错误。
故选B。
中国空间站绕地球运行方向如图所示，由于地球遮挡阳光，空间站内宇航员在一天内会经历多次日落日出。太阳光看作平行光，空间站经历一次日落到日出转过的圆心角为2θ，则空间站线速度大小与第一宇宙速度大小之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，空间站的轨道半径为
根据万有引力提供向心力可得，
联立可得
故选B。
在《流浪地球2》电影中出现了太空电梯的科幻设想（如图甲）。人类可以乘坐电梯轿厢从固定在地面的基座出发，经国际空间站（轨道距地球表面约400km）向同步轨道空间站（距地球表面约36000km）运行（如图乙），在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．电梯轿厢所受地球的万有引力逐渐增大
B．电梯轿厢绕地球运行的线速度逐渐增大
C．电梯轿厢绕地球运行的角速度逐渐增大
D．电梯轿厢绕地球运行的向心加速度逐渐减小
【答案】B
【详解】A．由万有引力定律可知，电梯轿厢所受地球的万有引力大小为
其中r是电梯轿厢到地心的距离，则当电梯轿厢从地面（）上升到同步轨道（）时，r增大，因此万有引力减小，故A错误；
BCD．由题意可知，电梯轿厢的角速度不变，且，
其中r是电梯轿厢到地心的距离，则当电梯轿厢从地面（）上升到同步轨道（）时，r增大，因此电梯轿厢绕地球运行的线速度逐渐增大、电梯轿厢绕地球运行的向心加速度逐渐增大，故B正确，CD错误。
故选B。
2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为，远月点B距月心约为，CD为椭圆轨道的短轴，已经万有引力常量。下列说法正确的是（　　）
A．利用题中的条件可以估算月球的质量
B．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h
C．鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比约为1：9
D．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1
【答案】AD
【详解】A．假设有一圆轨道的卫星绕月球做匀速圆周运动，该圆轨道半径等于环月椭圆冻结轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知，该圆轨道的运行周期为24h，由万有引力提供向心力可得
可得月球的质量为
则利用题中的条件可以估算月球的质量，故A正确；
B．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故B错误；
C．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可得
可得鹊桥二号在A、B两点的速度大小之比为
故C错误；
D．根据牛顿第二定律可得
可知桥二号在 A、B两点的加速度大小之比为
故D正确。
故选AD。
火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为（　　）
A．1∶ B．2∶5
C．3∶5 D．2∶3
【答案】A
【详解】根据万有引力提供向心力
可得
故选A。
随着太空垃圾问题日益严峻，天宫空间站面临来自太空碎片的威胁越来越严重，这些碎片速度极快，对空间站设施构成严重危害。神舟十九号任务中携带了特殊装甲，并为天宫空间站安装了新的防护罩。同时，地面控制中心通过大型雷达和光学望远镜等监测设备，密切监测太空碎片，精确计算其运行轨迹，提前发现潜在碰撞风险。一旦监测到有较大的太空垃圾靠近时，天宫空间站会在地面控制中心的指挥下，依靠自身推进系统主动改变轨道或姿态，避开危险。某次避险过程需要空间站从低轨道变轨至更高轨道运行，假设变轨前后空间站所在轨道均为圆轨道，下列关于变轨前后的说法正确的是（　　）
A．变轨后空间站的线速度变大
B．变轨后空间站的角速度变大
C．变轨后空间站的运行周期变长
D．变轨时空间站发动机需沿运动方向喷气
【答案】C
【详解】A．由于变轨前后均做圆周运动，根据
可得
从低轨道变轨至更高轨道运行，变轨后空间站的线速度变小，故A错误；
B．根据
可得
变轨后空间站的角速度变小，故B错误；
C．根据
可得
变轨后空间站的运行周期变长，故C正确；
D．变轨时需要加速做离心运动，所以空间站发动机需沿运动方向的反向喷气，故D错误。
故选C。
如图所示，O处为地心，卫星1环绕地球做匀速圆周运动，卫星2环绕地球运行的轨道为椭圆，两轨道不在同一平面内。已知圆轨道的直径等于椭圆轨道的长轴，且地球位于椭圆轨道的一个焦点上，引力常量为G，地球的质量为M，卫星1的轨道半径为R，卫星1的运转速度为v0，关系为。下列说法正确的是（　　）
A．卫星1的运行周期大于卫星2的运行周期
B．如果卫星1的加速度为a，卫星2在P点的加速度为，则
C．卫星2在Q点的速度
D．卫星2在P、Q点的速度大小关系为
【答案】D
【详解】A．题意可知卫星2的轨道半长轴为R，根据开普勒第三定律
由于卫星1的半径等于卫星2的半长轴，所以卫星1的运行周期等于卫星2的运行周期，故A错误；
B．设卫星质量为m，则有
解得
由于P点距离中心天体较近，所以
故B错误；
C．若卫星2在OQ为半径的轨道上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
解得
由于卫星在椭圆轨道的Q点要做近心运动，所以
故C错误；
D．若卫星在P点做半径为R的圆周运动，根据
易知卫星在P点做半径为R的圆周运动的速度大于（），由于卫星在圆轨道的P点要做离心运动，则有
同理，若卫星在Q点做半径为1.5R的圆周运动，根据
易知卫星在Q点做半径为1.5R的圆周运动的速度小于（），由于卫星在圆轨道的Q点要做近心运动，则有
综合以上可知
故D正确。
故选D。
如图所示，两颗彗星仅受太阳引力作用绕太阳运行，彗星1轨道为圆，彗星2轨道为椭圆。下列说法正确的是（ ）
A．彗星2在近日点的速度小于远日点的速度
B．彗星1的速度大于彗星2在远日点的速度
C．彗星1、彗星2与太阳的连线在相等时间内扫过的面积一定相等
D．彗星1受太阳的万有引力一定小于彗星2在近日点受太阳的万有引力
【答案】B
【详解】A．根据开普勒第二定律可知，彗星2在近日点的速度大于远日点的速度，故A错误；
B．彗星1离太阳的距离小于彗星2在远日点离太阳的距离，根据
解得
可知，彗星1在圆轨道的速度大于彗星2经过远日点所做圆轨道的速度，而彗星2在远日点的速度小于该点圆轨道的速度，故彗星1的速度大于彗星2在远日点的速度，故B正确；
C．根据开普勒第二定律，相等时间内扫过的面积相等是指同一轨道，则彗星1、彗星2与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不一定相等，故C错误；
D．因为不知道两彗星的质量关系，则彗星1受太阳的万有引力不一定小于彗星2在近日点受太阳的万有引力，故D错误。
故选B。
江淹的《别赋》中写到“日下壁而沉彩，月上轩而飞光”，形象地呈现出日月光交替转换的自然美景。这种昼夜更替现象与地球的自转有关，结合万有引力定律的相关知识，下列说法正确的是（　　）
A．若地球自转变快，则地球静止卫星的轨道变高
B．地球静止卫星和极地同步卫星的加速度大小不同
C．地球表面赤道上的重力加速度比两极上的重力加速度大
D．以地心为参考系，置于武汉和北京的物体的向心加速度大小不同
【答案】D
【详解】A．根据万有引力提供向心力
可得
若地球自转变快，则角速度变大，地球静止卫星的角速度变大，可知地球静止卫星的轨道半径变小，则地球静止卫星的轨道变低，故A错误；
B．根据牛顿第二定律
可得
可知地球静止卫星和极地同步卫星的加速度大小相同，故B错误；
C．地球两极，根据牛顿第二定律
可得
对赤道，根据牛顿第二定律
可得
可知地球表面赤道上的重力加速度比两极上的重力加速度小，故C错误；
D．置于武汉和北京的物体做圆周运动的半径不相同，根据可知以地心为参考系，置于武汉和北京的物体的向心加速度大小不同，故D正确。
故选D。
2025年3月我国科学家通过研究嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，取得重大突破，对理解月球乃至太阳系早期演化具有重大科学意义，“嫦娥六号”任务圆满成功。假设“嫦娥六号”绕某一中心天体运动的圆轨道半径减为原来的一半时，则“嫦娥六号”（　　）
A．向心加速度变为原来的2倍
B．线速度变为原来的2倍
C．运动周期变为原来的倍
D．所受万有引力变为原来的倍
【答案】C
【详解】A．根据，解得
可知向心加速度变为原来的4倍，故A错误；
B．根据，可得
线速度变为原来的倍，故B错误；
C．根据，可得
运动周期变为原来的倍，故C正确；
D．根据，“嫦娥六号”所受万有引力变为原来的4倍，故D错误。
故选C。
我国高分十二号05星运行轨道高度为600km，地球同步轨道卫星高度为35600km，地球半径为6400km。关于05星，下列说法正确的是（　　）
A．运行周期为
B．发射速度大于11.2km/s
C．能始终定点在地球表面某位置正上方
D．与同步轨道卫星运行线速度之比为
【答案】A
【详解】A．根据开普勒第三定律得
解得
A正确；
B．若发射速度大于11.2km/s，就飞出地球了，所以发射速度小于11.2km/s，B错误；
C．其运行周期小于24h，不能始终定点在地球表面某位置正上方，C错误；
D．根据牛顿第二定律得
解得
与同步轨道卫星运行线速度之比为
D错误。
故选A。
2025年2月27日15时08分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丙火箭成功将四维高景一号03、04星送入预定轨道。卫星在进入预定轨道之前的某段运动轨迹为椭圆，如图所示，P、Q为椭圆轨道长轴端点，M、N为椭圆轨道短轴端点，卫星运行的方向如箭头所示。已知卫星的绕行周期为T，且仅考虑地球对卫星的引力作用。下列说法正确的是（　　）
A．卫星在M点和N点的加速度相同
B．卫星在P点的加速度小于在Q点的加速度
C．卫星在P点的动能大于在Q点的动能
D．卫星从M点经P点运动到N点的时间与从N点经Q点运动到M点的时间相等
【答案】C
【详解】AB．因M、N点到地球中心的距离相等，P点到地球中心的距离比Q点到地球中心的距离小，根据万有引力定律，加速度大小相等，但方向不同，卫星在P点的加速度大于在Q点的加速度，故AB错误；
C．卫星由P点运动至Q点的过程中，万有引力做负功，卫星的动能减小，故C正确；
D．卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，而从M点经P点运动到N点的过程中卫星与地球的连线扫过的面积比从N点经Q点运动到M点的小，故D错误。
故选C。
北京时间2025年1月21日1时12分，经过约8.5小时的出舱活动，神舟十九号乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务。已知空间站绕行地球一圈的时间大约为90分钟。以下说法正确的是（　　）
A．航天员相对空间站静止时，所受合外力为零
B．空间站的运行速度小于同步卫星运行速度
C．航天员在出舱活动期间最多可能看到5次日出
D．空间站的向心加速度大于地球上建筑物的向心加速度
【答案】D
【详解】A．航天员相对空间站静止时，依然绕地球做圆周运动，所受合外力不为零，故A错误；
B．根据万有引力提供向心力
可得
因为空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以空间站的运行速度大于同步卫星运行速度，故B错误；
C．因为空间站绕行地球一圈的时间大约为90分钟，所以航天员一天时间最多可能看到日出次数为
经过约8小时的出舱活动期间，看到日出次数为
所以航天员在出舱活动期间最多可能看到6次日出，故C错误；
D．建筑物随地球运动的角速度与同步卫星相同，根据向心加速度公式可知，建筑物随地球运动的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，再根据万有引力提供向心力
可得
则r越大，a越小，同步卫星的加速度小于空间站的加速度，所以空间站的向心加速度大于地球上建筑物的向心加速度，故D正确。
故选D。
宇宙中两颗相距很远的行星A、B的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别为ρ1、ρ2，行星表面的重力加速度大小分别为g1、g2，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方v 随r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的周期为T，取对数后得到lgr-lgT图像如图乙所示，两条直线的斜率均为k，它们的纵轴截距分别为b1、b2。已知两图像数据均采用国际单位，。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】A．根据牛顿第二定律得
整理得
两边取对数得
根据图乙 ，A正确；
B．根据题意得
解得，B错误；
C．根据牛顿第二定律得，解得
根据图像得 ，解得
根据，解得，C错误；
D．根据，解得
解得，D正确。
故选AD。
2025年3月12日，澳大利亚悉尼大学的伊里斯·德·鲁伊特带领团队终于解开了一个自去年被发现以来一直困扰着他们的神秘重复无线电信号之谜。经过深入研究，研究团队将这一信号追踪至一个奇特的双星系统，该系统包含一颗白矮星和一颗红矮星伴星，设白矮星质量为m1，，红矮星质量为m2 ，两个星体质量分布均匀且二者之间的距离为L，万有引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　）
A．白矮星与红矮星的向心力相同
B．白矮星与红矮星的线速度大小之比为
C．白矮星的角速度大小为
D．白矮星与红矮星的动量大小之比为
【答案】C
【详解】A．白矮星和红矮星的向心力由万有引力提供，大小相等，方向相反，故A错误；
B．白矮星与红矮星可以看做角速度相等，由于
则
根据
可以得到
因此
故B错误；
C．根据
整理可得
两式相加，则解出
故C正确；
D．根据动量的公式
则
则动量大小之比为
故D错误。
故选C。
如图所示，火星与地球可视为在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知地球的公转周期为T，火星轨道半径是地球轨道半径的k倍。地球从a运行到b、火星从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和。下列说法正确的是（　　）
A．若小于，则可以判定从a运行到b的时间小于从c运行到d的时间
B．火星与地球做圆周运动的向心力大小之比为
C．火星与地球做圆周运动的角速度之比为
D．火星的公转周期为kT
【答案】C
【详解】A．当a运行到b的时间等于从c运行到d的时间时，小于。反之小于，无法确定对应时间大小，A错误；
B．根据万有引力提供向心力
因为火星轨道半径是地球轨道半径的k倍，所以火星与地球做圆周运动的向心力大小之比
B错误；
C．由万有引力定律
可知角速度大小之比为
C正确；
D．由开普勒第三定律得
解得
D错误。
故选C。
考虑到地球自转的影响，下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】P点处万有引力指向地心，充当合力，是平行四边形对角线，随地球自转的向心力指向地轴，根据
可得
故重力加速度g的方向在PO连线的左下方。
故选D。
2024年10月30日，神舟十九号载人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨后按照预定程序与天和核心舱对接。飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示。飞船从圆轨道Ⅰ，通过变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ由A处运动到B处，与沿圆轨道Ⅲ运行的核心舱对接，对接后的组合体继续在圆轨道Ⅲ上运行。在上述过程中，飞船（ ）
A．由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需在B处减速
B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等
C．在轨道Ⅰ上A处的速度小于在轨道Ⅲ上B处的速度
D．在轨道Ⅱ上由A到B的时间大于在轨道Ⅲ上运行周期的一半
【答案】B
【详解】A．需在B处加速，做离心运动，才能由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，A错误；
B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等，加速度大小为 ，B正确；
C．根据，解得，轨道半径越小，速度越大，所以在轨道Ⅰ上A处的速度大于在轨道Ⅲ上B处的速度，C错误；
D．根据开普勒第三定律，在轨道Ⅱ上运行周期小于在轨道Ⅲ上运行周期，所以在轨道Ⅱ上由A到B的时间小于在轨道Ⅲ上运行周期的一半，D错误。
故选B。
假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。则（　　）
A．赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为
B．地球的半径为
C．地球的密度为
D．地球同步卫星的轨道半径为
【答案】BCD
【详解】AB．在两极和赤道质量为m的物体所受重力和万有引力的关系分别为，
赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为
联立得，，
故A错误，B正确；
C．地球的密度
又，，
联立得
故C正确；
D．设地球同步卫星的质量为，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力有
又，
得
故D正确。
故选BCD。
如图甲，卫星和地心连线与地面的交点称为星下点，随着卫星绕地球运动以及地球自转，星下点会在地球表面不断移动，形成星下点轨迹。地球半径为，自转周期小时。卫星A、B绕行方向与地球自转方向一致（图中未画），其星下点部分轨迹分别如题图乙、丙。已知地球同步卫星的轨道半径，，卫星运动均视为匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．卫星A、B的周期之比
B．卫星A、B运行的线速度之比为
C．卫星B绕地球运行的轨道半径为
D．某时刻卫星A、B相距最近，之后在A运动的20圈时间内，卫星A、B有5次相距最近
【答案】BCD
【详解】A．根据图乙可知，A星下点在地球上由30°E转到180°E的过程中，A转了半圈，比地球自转多转了，可知地球转动了
则有
根据图丙可知，B星下点在地球上由60°E转到180°E的过程中，B转了一圈，比地球自转多转了，地球转动了
则有
结合上述解得A、B的周期之比为
故A错误；
C．对同步卫星、A与B卫星根据开普勒第三定律有
结合上述解得，
故C正确；
B．根据，
结合上述解得
故B正确；
D．根据图乙与图丙可知，A、B轨道平面不在同一平面内，则有
结合上述解得
故D正确。
故选BCD。
某天文爱好者观测绕地球做匀速圆周运动的卫星，测出不同卫星的线速度v和轨道半径r，作出图像如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．地球的质量为
B．地球的第一宇宙速度为
C．地球表面的重力加速度为
D．线速度为的卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积为
【答案】ACD
【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力
可得
结合图像可得
解得
故A正确；
B．对于地球近地卫星，同理，根据
解得
故B错误；
C．根据万有引力等于重力
解得
故C正确；
D．由题图可得线速度为的卫星绕地球做圆周运动的半径
则卫星做圆周运动的周期
则单位时间内扫过的面积
故D正确。
故选ACD。
太空电梯是一种设想中的交通工具，能够将人员和货物从地球表面直接运送到太空。如图是太空电梯的示意图，超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，使它们随地球同步旋转；电梯轿厢可以沿着超级缆绳往返于空间站和基地之间。已知配重空间站的轨道比静止卫星的轨道更高。此时电梯轿厢正停在处。下列说法正确的是（　　）
A．轿厢中的货物处于平衡状态
B．与天津广播电视塔相比，同步空间站绕地球运动的线速度更小
C．超级缆绳上各点的加速度与该点到地球球心的距离的平方成反比
D．若从配重空间站脱落一个小物块，该物块脱落后做离心运动
【答案】D
【详解】A．轿厢停在P处，则轿厢相对于地球表面是静止的，即轿厢及其中的货物随地球同步旋转，则轿厢中的货物所受合力提供货物做圆周运动的向心力，轿厢中的货物不是平衡状态，故A错误；
B．同步空间站位于地球同步轨道上，天津广播电视塔与同步空间站具有共同的角速度，同步空间站轨道高度远高于天津广播电视塔，根据线速度公式 ，由于同步空间站的轨道半径更大，则其线速度也更大，故B错误；
C．根据向心加速度公式 ，则加速度与轨道半径成正比，即超级缆绳上各点的加速度与该点到地球球心的距离成正比，故C错误；
D．配重空间站的轨道比静止卫星的轨道更高，则其轨道绕转速度小于地球同步轨道的绕转速度，而此时配重空间站随地球同步旋转，其速度大于其所在轨道的绕转速度，如果物块从配重空间站脱落，因此会做离心运动，故D正确；
故选D。
2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。4月26日3时32分，神舟十八号成功对接于中国空间站的天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（　　）
A．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
B．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的
C．神舟十八号载人飞船与核心舱成功对接后，空间站由于质量增大，轨道半径将明显变小
D．若已知空间站的运行周期、地球半径和引力常量G，则可求出空间站的质量
【答案】B
【详解】A．7.9 km/s是地球的第一宇宙速度，是最小的发射速度，最大的环绕速度，故核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9 km/s，故A错误；
B．根据F=G
可得核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小与它在地面时所受的万有引力大小比值
其中
故
故B正确；
C．根据万有引力提供向心力有G=m
可得轨道半径与空间站的质量无关，所以神舟十八号载人飞船与核心舱成功对接后，虽然空间站质量增大，但轨道半径不变，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力有G=mr
若已知地球半径，运行周期和引力常量G，则只能求出地球的质量，而不能求出空间站的质量，故D错误。
故选B。
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