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第15讲　功能关系　能量守恒定律
知识内容 说明
能量守恒定律与能源 常考查对功能关系、能量守恒定律基本概念的理解，如判断不同力做功时能量的转化情况，或根据能量守恒定律分析系统中各物体能量的变化关系等。也可能结合图像考查功能关系，例如通过速度 - 时间图像、力 - 位移图像等，让考生分析物体的动能变化、做功情况等。
一、功能关系
1．功是能量转化的量度，功和能的关系一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．做功对应变化的能量形式
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力(除重力、弹力外)做正功 机械能增加
二、能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE减＝ΔE增 .
3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
命题点一　功能关系的理解和应用
1．牢记三条功能关系
(1)重力做的功等于重力势能的减少量，弹力做的功等于弹性势能的减少量；
(2)合外力做的功等于动能的变化；
(3)除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化．
2．功能关系的选用原则
在应用功能关系解决具体问题的过程中
(1)若只涉及动能的变化则用动能定理分析．
(2)若只涉及重力势能的变化则用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3)若只涉及机械能变化则用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
如图所示，轻弹簧上端固定在光滑斜面顶端，自由伸长时下端在点（图中未画出），下端连接某物体时物体恰能静止于斜面的点。现对物体施加一个平行于斜面向上的力，使物体沿斜面缓慢向上移动到点，此过程中力做功为。则此过程中（　　）
A．物体机械能守恒
B．弹簧和物体组成的系统机械能守恒
C．力的大小始终等于弹簧弹力的大小
D．弹簧弹性势能减小量等于
【答案】D
【详解】A．物体沿斜面缓慢上升，动能不变，重力势能增大，物体的机械能不守恒，故A错误；
B．弹簧和物体组成的系统，因为有外力F做功，系统机械能不守恒，故B错误；
C．设斜面倾角为θ，因为物体缓慢上升始终处于受力平衡状态，因此有
则
故C错误；
D．假设从A到B的距离为l，物体自A点开始运动的位移为x时，则弹簧的拉力为
由题意知，当物体处于A点时，即x=0，此时物体在没有F作用时恰好静止，弹簧拉力等于物体重力沿斜面向下的分力，因此有
即
又因为
则
建立F-x图像如图所示
其中①为弹簧拉力与x的关系图像，②为作用力F与x的关系图像，由几何关系可知图像①与图像②在0~l间与横坐标围成的面积相等，在F-x图像中，图像与横坐标围成的面积即为对应力的做功，因此二力做功相等，故D正确。
故选D。
我国科学家建议在月球表面建立一个“磁性发射装置”，能够以较低的成本将月球表面开采的资源送回地球。当用磁性发射装置把航天器加速到时，航天器恰好脱离月球束缚沿图示返回轨道运动。则（ ）
A．速度是月球的“第一宇宙速度”
B．航天器到达地球附近时速度大于
C．航天器返回地球过程中与地心的连线每秒钟扫过的面积相等
D．在返回轨道运动过程中地球、月球与航天器组成的系统机械能守恒
【答案】BD
【详解】A．第一宇宙速度是指航天器在月球表面做匀速圆周运动所需的最小速度，而不是脱离月球束缚的速度。脱离月球束缚的速度应为月球的“第二宇宙速度”。因此选项 A 错误。
B．航天器在返回地球的过程中，地球引力做的正功大于月球引力做的负功，因此航天器到达地球附近时的速度会大于。选项 B正确。
C．航天器返回地球过程中同时受到地球和月球的引力作用，则开普勒第二定律不再适用，即航天器在返回地球的过程中与地心的连线每秒钟扫过的面积不相等。选项 C 错误。
D．在航天器返回地球的过程中，系统（地球、月球和航天器）的总机械能是守恒的，因为只有引力做功，没有其他外力或能量损失。选项 D正确。
故选BD。
如图甲所示为避险车道，用于车辆在刹车失灵时进行减速避险，其简化模型如图乙所示。一辆质量为m的货车刹车失灵后冲上避险车道，经过A点时速度大小为，到达C点时速度恰好减小为0，B点为AC中点，AC两点高度差为h，货车从A到C的运动视为匀变速运动，重力加速度大小为g，则货车（　　）
A．从A到C的过程中，机械能减少了
B．从A到C的过程中，机械能减少了
C．从A到B与从B到C所用的时间之比
D．从A到B与从B到C所用的时间之比
【答案】BC
【详解】AB．选择地面为零势能参考面，可得从A到C的过程中，机械能减少了
故A错误，B正确；
CD．利用逆向思维，小车从C到A做初速度为零的匀加速直线运动。根据初速度为零的匀加速直线运，在通过连续相等位移所用时间的比值为
可得
则从A到B与从B到C所用的时间之比
故C正确，D错误。
故选BC。
命题点二　摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路径长度．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
如图所示，是某工厂运送产品的足够长水平传送带，传送带顺时针转动，速度v=2m/s，产品与传送带间的动摩擦因数 =0.2。工人每隔1s将一个产品轻放到传送带左端（各产品完全相同，质量均为1kg，重力加速度g=10m/s2），下列说法中正确的是（　　）
A．相邻的两个产品均与传送带相对静止时的距离为1m
B．传送带每运送一个产品多消耗的电能为2J
C．传送带正常运送产品时多消耗的电功率为4W
D．每个产品与传送带间由于摩擦产生的热量为4J
【答案】C
【详解】A．产品先做匀加速直线运动，有
可得匀加速时间为
则相邻的两个产品均与传送带相对静止时的距离为
故A错误；
D．每个产品与传送带间由于摩擦产生的热量为
故D错误；
B．传送带每运送一个产品多消耗的电能为
故B错误；
C．传送带正常运送产品时多消耗的电功率为
故C正确。
故选C。
如图甲所示的等双翼式传输机，其两侧等长的传送带倾角可以在一定范围内调节，方便不同工况下的货物传送作业，工作时两传送带匀速转动且速度相同。图乙为等双翼式传输机工作示意图，M1、M2代表两传送带。第一次调整M1倾角为30°，M2倾角为 第二次调整M1倾角为45°，M2倾角为30°，两次分别将同一货物无初速放在 M1的最低端，都能传到 M2的最高端。货物与M1和M2的接触面粗糙程度相同，两次运输中货物均在 M1上就已与传送带达共速，先后两次传输机运行速度相同。则（　　）
A．两次运送货物经过的时间相等
B．第一次运送货物的时间较短
C．传输机因运送物件而多消耗的能量，两次相等
D．传输机因运送物件而多消耗的能量，第二次较多
【答案】BD
【详解】AB．设传送带的速度为，M1倾角为，货物在M1上加速运动时有
解得
故可知越大，加速度越小，作出两次物块的图像，分析可知到达M2上为匀速运动，两次货物的运输长度相同，即两次图像与坐标轴围成的面积相等，根据图像可知 ，即第一次运送货物的时间较短，故A错误，B正确；
CD．根据能量守恒，传输机因运送物件而多消耗的能量转化为货物的动能，重力势能和摩擦产生的内能，两种情况下货物增加的动能和重力势能之和相等，故只需比较两种情况下因摩擦产生的热量Q，设货物加速的时间为t，货物与传送带的相对位移为，可得
联立得
可知越大，越大，即此时传输机因运送物件而多消耗的能量多，故第二次较多，故C错误，D正确。
故选BD。
如图所示，水平光滑平面与顺时针匀速转动的水平传送带的右端A点平滑连接，轻质弹簧右端固定，原长时左端恰位于A点。现用外力缓慢推动一质量为m的小滑块（与弹簧不相连），使弹簧处于压缩状态，由静止释放后，滑块以速度v滑上传送带，一段时间后返回并再次压缩弹簧。已知返回后弹簧的最大压缩量是初始压缩量的一半，滑块第一次从释放点到A点的时间及第一次在传送带上运动的时间均为t0。已知弹簧弹性势能，其中k为劲度系数。不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，以下说法正确的是（　　）
A．传送带匀速转动的速度大小为
B．经过足够长的时间，滑块最终静止于水平面上
C．滑块第一次在传送带上运动的过程中电机多消耗的电能为
D．滑块从释放到第4次经过A点的总时间为
【答案】AD
【详解】A．由于返回后弹簧的最大压缩量是初始压缩量的一半，表明滑块滑上传送带时先向左做匀减速直线运动，后向右做匀加速直线运动，加速至与皮带速度相等后向右做匀速直线运动，则有，
解得传送带的速度
故A正确；
B．结合上述可知，滑块返回A点后匀速向右运动，压缩弹簧至最短，又向左加速至脱离弹簧做匀速运动，之后再次在传送带上向左做匀减速直线运动，减速至0后向右做匀加速直线运动到达A时速度恰好与皮带速度相等，之后重复上述运动，可知，经过足够长的时间，滑块最终不会静止于水平面上，故B错误；
C．滑块第一次向左做匀减速直线运动过程，利用逆向思维有
第一次返回向右做匀加速直线运动过程有
根据功能关系可知，滑块第一次在传送带上运动的过程中电机多消耗的电能为
解得
故C错误；
D．滑2第一次向右匀速运动的时间
结合上述解得
根据题意有
其中
由于滑块与弹簧接触过程的运动是简谐运动，可知，滑块在水平面上每次向右与向左运动的时间相等，均为t0，则滑块从释放到第4次经过A点的总时间为
结合上述解得
故D正确。
故选AD。
命题点三　能量守恒定律的理解和应用
1．当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量转化和守恒定律．
2．解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解．
图所示，套在一光滑的水平固定杆上的小环N和另一套在光滑竖直固定杆上的小环M用一不可伸长的轻绳连接在一起，两杆在同一竖直面内，M、N两环的质量均为m=1kg，绳长为l=0.24m。一水平外力F作用在小环N上，整个系统处于静止状态，轻绳与竖直杆夹角为α=60°。不计空气阻力，轻绳始终处于伸直状态。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．作用在小环N上外力F的大小为
B．撤去F后，小环M在运动过程中机械能守恒
C．撤去F后，轻绳与竖直杆夹角β=37°时，小环M的速度大小为0.36m/s
D．撤去F后，小环N能达到的最大速度为
【答案】AD
【详解】A．初始时在拉力F的作用下，M、N均处于静止状态，以N为研究对象，根据平衡状态有
以M为研究对象，根据平衡状态有
联立两式解得
故A正确；
B．在运动的过程中，M、N组成的系统机械能守恒，由于轻绳拉力对小环M做负功，故小环M的机械能不守恒，故B错误；
C．轻绳与竖直杆夹角β=37°时，将M、N的速度分解到沿绳的方向和垂直绳的方向，由绳关联模型可知，两小环沿绳的方向的速度相等，则有
可得
在运动的过程中，M、N组成的系统机械能守恒，则有
联立解得
故C错误；
D．设N的最大速度为vm，根据机械能守恒有
解得
故D正确。
故选AD。
如图所示，水平地面上固定一倾角为且足够长的光滑斜面，斜面底部固定安装一劲度系数为的轻弹簧，弹簧上端拴接一质量为的小滑块，静止时滑块所在位置为。另有一质量也为的小滑块，从位置A由静止开始下滑，滑块与滑块发生碰撞后，一起（不粘连）向下运动。在以后运动过程中，恰好不能与分离。已知弹簧的形变量始终在弹性限度内，弹簧形变量为时，弹性势能，从碰撞至运动到最低点的过程所用时间为，重力加速度为，不计空气阻力。下列判断正确的是（　　）
A．的距离为
B．运动过程中弹簧的最大压缩量为
C．碰撞后的运动过程中滑块的最大速度为
D．从碰撞到滑块第一次速度最大所用时间为
【答案】AD
【详解】A．小滑块，静止时滑块所在位置为，根据受力平衡可知此时弹簧的压缩量为
设的距离为，小滑块从位置A由静止开始下滑到与滑块发生碰撞前过程，根据动能定理可得
碰撞过程根据动量守恒可得
在以后运动过程中，恰好不能与分离，可知小滑块、恰好运动到弹簧处于原长时，速度为0；从碰撞后瞬间到弹簧恢复原长过程，根据能量守恒可得
联立解得，
故A正确；
B．碰撞后小滑块、一起做简谐运动，处于平衡位置时，有
解得平衡位置对应的弹簧压缩量为
由于小滑块、一起做简谐运动到最高点时，弹簧处于原长，可知简谐运动的振幅为
根据对称性可知，运动过程中最低点对应的弹簧的最大压缩量为
故B错误；
C．碰撞后小滑块、一起做简谐运动，当处于位置时，小滑块、的速度最大，从平衡位置到最高点过程（弹簧处于原长），根据能量守恒可得
解得碰撞后的运动过程中滑块的最大速度为
故C错误；
D．以平衡位置为计时起点，则振动方程为
碰撞位置相对于平衡位置的位移为，则有
解得
由题意可知从碰撞至运动到最低点的过程所用时间为，则有
所以从碰撞到滑块第一次速度最大（处于平衡位置）所用时间为
故D正确。
故选AD。
如图所示，从A点以v0的水平速度抛出一质量m=2kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°，C点在O点的正下方，圆弧轨道C端切线水平与水平面平滑连接。C点右侧水平面粗糙，在水平面上固定一个弹簧，弹簧的左端D距C点的水平距离为L=0.4m，小物块离开C点后继续在水平面上向弹簧滑去，将弹簧压缩了x=0.1m后停止滑行。小物块和水平面间的动摩擦因数μ=0.2，A、B两点距C点的高度分别为H=0.6m、h=0.15m，圆弧半径R=0.75m，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s2。求：
(1)小物块水平抛出时，初速度v0的大小；
(2)小物块滑动至C点时的速度；
(3)小物块停止滑行时弹簧具有的弹性势能大小。
【答案】(1)4m/s
(2)
(3)26J
【详解】（1）设小物块做平抛运动的时间为t，则有
设小物块到达B点时竖直分速度为vy，有
由以上两式代入数据解得
由题意，速度方向与水平面的夹角为37°，有
解得
（2）设小物块到达C点时速度为vC，从A至C，由动能定理得
解得
（3）当弹簧压缩到最短时，由能量守恒定律可得
解得
某机场的货物传送装置简化图如图甲所示，该装置由速度大小为的传送带及固定挡板组成，挡板与传送带上表面垂直，传送带上表面与水平地面的夹角为，传送带边与水平面平行。工作人员将质量分布均匀的正方体货物由点无初速度释放，货物运动后被取走，货物在传送带上运动时的剖面图如图乙所示。已知货物质量为，货物与传送带间的动摩擦因数为0.40，与挡板的动摩擦因数为0.25，重力加速度取，不计空气阻力。求：
(1)货物在传送带上经历的时间；
(2)因运送货物传送装置多消耗的电能。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）对货物受力分析，如图所示
则，
设货物与传送带间的动摩擦因数为，货物与挡板的动摩擦因数为，根据牛顿第二定律可得
解得
货物加速至与传送带共速过程，所用时间为
货物的位移大小为
然后货物将匀速运动，匀速位移大小为
匀速运动的时间为
所以，运动的总时间为
（2）共速前传送带与货物间的相对位移大小为
由能量守恒可得传送带多做的功为
如图所示为“嫦娥六号”在椭圆轨道上沿箭头所示方向绕月球运行的示意图，ab、cd分别为椭圆轨道的长轴与短轴。不考虑其他天体对“嫦娥六号”的作用，则“嫦娥六号”（　　）
A．由a向c运动的过程中机械能不断减小
B．经过a、b两点时的加速度大小相等
C．从c运动到b的时间大于从d运动到a的时间
D．若经过a点时沿运动方向瞬时加速，则其在新环月轨道上的周期将比原轨道小
【答案】C
【详解】A．整个过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，由a向c运动的过程中机械能不变，A错误；
B．根据万有引力和牛顿第二定律可得
解得
a、b两点到月球的距离不同（），因此a、b两点时的加速度大小不相等（），B错误；
C．“嫦娥六号”在b点的速度最小，在a点的速度最达，从c到b的过程中，“嫦娥六号”的速度逐渐减小，故从c运动到b的时间大于，同理可知，“嫦娥六号”从a运动到d的时间小于，C正确；
D．若经过a点时沿运动方向瞬时加速，“嫦娥六号”将做离心运动，轨道半长轴增大，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥六号”的周期将变大，D错误。
故选C。
2024年10月30日11时，“神舟十九号”飞船与空间站成功对接。飞船和空间站的变轨对接可简化为如图所示的过程，飞船变轨前稳定运行在圆轨道1，空间站运行在圆轨道3，椭圆轨道2为飞船的转移轨道。轨道1和2、2和3分别相切于P、Q两点。关于“神舟十九号”飞船，下列说法正确的是（ ）
A．飞船的发射速度小于空间站的在轨运行速度
B．飞船从轨道2变轨到轨道3需要在Q点点火减速
C．飞船从P点沿椭圆轨道运动到Q点，需要发动机一直做功
D．飞船从P点沿椭圆轨道运动到Q点，地球引力对飞船一直做负功
【答案】D
【详解】A．因第一宇宙速度是最小的发射速度，最大的环绕速度，则飞船的发射速度大于第一宇宙速度，而空间站在轨运行速度小于第一宇宙速度，则飞船的发射速度大于空间站的在轨运行速度，A项错误；
B．飞船从轨道2变轨到轨道3需要在Q点点火加速做离心运动，B项错误；
C．飞船从P点沿椭圆轨道运动到Q点，不需要发动机做功，机械能保持不变，C项错误；
D．从P点沿椭圆轨道运动到Q点，地球引力一直做负功，D项正确。
故选D。
如图所示，一个质量为m的小球，用轻绳悬挂于O点，初始时刻小球静止于P点。第一次小球在水平拉力F1的作用下，从P点缓慢地移动到Q点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ；第二次小球在水平恒力F2的作用下，从P点开始运动恰好能到达Q点。不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．第二次水平恒力的大小为
B．第二次到达Q点时绳的拉力比第一次小
C．第二次水平力做的功比第一次多
D．两个过程中绳的拉力均逐渐增大
【答案】B
【详解】AB．第一次小球缓慢移动，小球处于平衡状态，解得
绳中张力
随着的逐渐增大，力F、T逐渐增大，当时，有，
在第二次运动过程中，根据动能定理有
解得
故第一个过程中，拉力F在逐渐变大，且最大值一定大于F′，选项B正确，A错误；
C．第一次小球缓慢上升，可认为速度为零；第二次在水平恒力F′作用下，从P点开始运动并恰好能到达Q点，此过程中，小球恰能到达Q点，说明vQ=0，即两次拉力做功都等于小球重力势能的增加量，选项C错误；
D．在第二次运动过程中，根据平行四边形定则可知，重力与水平拉力的合力为，恒定不变，方向与竖直方向成角，整个过程中小球先加速后减速，当小球运动至轻绳与竖直方向成角时，速度最大，根据牛顿第二定律和向心力公式
可得
可知此时轻绳中的拉力亦最大，即第二种情况下轻绳的拉力先增加后减小，选项D错误。
故选B。
如图甲所示，研究一般的曲线运动时可以将其分成很多小段，质点在每小段的运动都可以看成圆周运动的一部分。图乙是2024年珠海航空展上，飞行员驾驶飞机在竖直面内匀速率飞行的轨迹，a、b、c为飞行轨迹上的三点，a、c为飞行过程中距离地面高度相等的两点，b为最高点，关于飞机的说法正确的是（　　）
A．a、b、c三点的机械能相等
B．a、b、c三点的加速度大小相等
C．b点的加速度方向竖直向下
D．a点所受的合力大于c点
【答案】C
【详解】A．由于飞机匀速率飞行，a、b、c三点的动能相等，a、c为飞行过程中距离地面高度相等的两点，但b与a、c的高度不一样，故机械能a、c两点相等，且与b点不相等，故A错误；
B．图乙可知a、b、c曲率圆半径不同，根据向心加速度
可知a、b、c三点的加速度大小不相等，故B错误；
C．b为最高点，曲率圆圆心在其正下方，故加速度方向指向圆心，即竖直向下，故C正确；
D．由于飞机匀速率飞行，合力即向心力，根据
可知曲率圆半径大的合力大，图像可知a点的曲率圆半径大于c点的曲率圆半径，故a点所受的合力小于c点，故D错误。
故选C。
如图所示，原长为的轻质弹簧，一端固定在点，另一端与一质量为的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为。杆上M、N两点与点的距离均为，点到点的距离为，OP与杆垂直。当小球置于杆上点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为。小球以某一初速度从M点向下运动到点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在点下方处的加速度大小为
C．从M点到点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D．从M点到点和从点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
【答案】D
【详解】A．小球在点恰好能保持静止，由平衡条件知
此时小球所受静摩擦力力最大，由题知
其中
联立解得弹簧的劲度系数为，故A错误；
B．小球运动到点下方 时，弹簧与竖直方向的夹角为 ，弹簧的压缩量为
此时弹簧弹力的大小为
小球所受的弹力为
故此时小球所受的滑动摩擦力大小为
由牛顿第二定律
联立解得
故B错误；
C．由到的过程中，弹簧的压缩量增大，弹簧弹力的大小增大，弹簧与杆之间的夹角逐渐增大，则弹簧对杆的压力等于，也在逐渐增大，则杆对小球的摩擦力也在逐渐增大；同理可知，从到的过程中，杆对小球的摩擦力在逐渐减小，故C错误；
D．根据对称性可知在任意关于点对称的点摩擦力大小相等，由此可知到和到摩擦力做功大小相等，D正确。
故选D。
如图所示，光滑圆弧轨道ACD固定在竖直面内，O为圆弧轨道的圆心，圆弧轨道的半径为R。将质量为m的滑块（可视为质点）以水平向右的初速度v0（大小未知）从轨道内侧A点开始运动，且滑块始终受到水平向右的恒力作用，经过轨道上B点时速度最大，OB与竖直方向的夹角θ=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．滑块受到的恒力大小为0.6mg
B．若滑块能通过圆弧轨道的最高点C，则
C．若，滑块通过B点时对轨道的压力为1.75mg
D．若，滑块一定能沿圆弧轨道运动到D点
【答案】C
【详解】A．滑块在B点速度最大，则受合外力为零，则恒力大小为
选项A错误；
B．若滑块能通过圆弧轨道的最高点C，则在C点时
由动能定理
解得
选项B错误；
C．若，滑块通过B点时根据动能定理
在B点时
由牛顿第三定律
选项C正确；
D．由B的计算可知，若，则滑块恰能经过最高点C，滑块经过等效最高点（B点关于O点的对称点B＇）的最小速度满足
解得
假设滑块能经过等效最高点，则根据
解得
可知滑块不能经过等效最高点B＇，也就不能沿圆弧轨道运动到D点，选项D错误。
故选C。
如图（a）所示为校运动会铅球比赛。某同学先后两次从点将铅球推出，如图（b）所示，两次铅球的轨迹1、2在空中交于点。已知铅球两次经过点时机械能相同，不计空气阻力，铅球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．第一次从点推出时，铅球的速度更大
B．两次到达最高点时，铅球的水平速度相等
C．两次推出后铅球从到所用时间相等
D．第一次推出后铅球在空中运动的时间更长
【答案】D
【详解】A．不计空气阻力，铅球在空中运动过程中机械能守恒，已知铅球两次经过点时机械能相同，则两次从点推出时铅球的机械能相同，可知两次从点推出时铅球的动能相同，即速度大小相等，A错误。
BC．由抛体运动规律可知，铅球在空中运动过程中，水平速度大小不变。设铅球初速度为，初速度与水平方向的夹角为，则水平速度
竖直速度
由图（b）可知，第一次推出时，铅球初速度与水平方向的夹角较第二次的大，则第一次推出时，铅球的水平速度小，到达最高点时的水平速度小，从到所用时间长，BC错误。
D．由公式可知，第一次推出时，铅球从点到最高点，从最高点到地面的时间均大于第二次相应过程的，D正确。
故选D。
彩虹圈有很多性质和弹簧相似，在弹性限度内弹力随着形变量的增加而增大，但彩虹圈的重力不能忽略。如图所示，用手拿起彩虹圈的上端，让彩虹圈自由下垂且下端离地面一定高度，然后由静止释放，彩虹圈始终没有超出弹性限度。则（　　）
A．彩虹圈下落过程中长度不变
B．刚释放瞬间彩虹圈上端的加速度大于重力加速度
C．刚释放瞬间彩虹圈下端的加速度等于重力加速度
D．彩虹圈下落过程中只有弹性势能和动能相互转化
【答案】B
【详解】B．由于彩虹圈在被拉长后处于弹性限度内，释放瞬间其上端受到自身重力和向下的弹力（因被拉长，弹簧对上端的拉力也指向下方），故合力大于重力，上端的加速度大于g，故B正确；
C．下端在释放瞬间仍受到与自身重力大小相等、方向向上的弹力（之前处于静止平衡），刚松手时合力为零，加速度为0，故C错误；
A．下落过程中彩虹圈上端的加速度大于下端的加速度，弹簧会不断压缩，长度并非保持不变，故A错误。
D．下落过程中除了存在弹性势能与动能的转化外，还会有重力势能的变化，故D错误。
故选B。
如图所示为“嫦娥六号”月球探测器沿椭圆轨道环月绕行的示意图，，为椭圆轨道长轴端点，、为椭圆轨道短轴端点，探测器沿图中箭头所示方向运行。已知探测器绕行周期为，若只考虑月球对探测器的引力作用，下列说法正确的是（　　）
A．探测器在点和点的加速度相同
B．探测器在点的速度小于在点的速度
C．探测器在点的机械能等于在点的机械能
D．探测器从点到点的运行时间为
【答案】C
【详解】A．探测器在点和点的受力方向不同，则加速度不相同，故A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，探测器在点的速度大于在点的速度，故B错误；
C．探测器只有引力做功，则探测器在点的机械能等于在点的机械能，故C正确；
D．探测器是c点的速度最小，则探测器从点到点的运行时间大于，故D错误；
故选C。
我国传统弹弓术已被列入国家级非物质文化遗产名单。如图1所示的“Y”型弹弓由弓与弹兜两部分组成，其中弓包括弓弦（即皮筋）与弓弩。两根完全相同的皮筋一端与弹兜相连，另一端分别固定在弓弩的两个弓眼上，皮筋和弹兜质量均远小于弹丸质量。使用者把弹丸放在弹兜里，先用手捏住弹兜拉伸皮筋（皮筋始终在弹性限度内），然后释放让弹丸沿水平方向射出，如图2所示。在弹丸离开弹兜前的一小段时间内，下列说法不正确的是（ ）
A．弹丸的加速度逐渐减小 B．弹丸受到弹兜的作用力逐渐增大
C．弹丸的动能逐渐增大 D．弹丸与皮筋组成的系统机械能守恒
【答案】B
【详解】AB．在弹丸离开弹兜前的一小段时间内，皮筋的形变量减小，则弹力减小，故两个弹力的合力减小，即弹丸受到弹兜的作用力减小，根据牛顿第二定律，可知弹丸的加速度减小，故A正确，不符合题意；B错误，符合题意；
CD．在弹丸离开弹兜前的一小段时间内，弹丸与皮筋组成的系统机械能守恒，故皮筋的弹性势能减小，动能增大，故CD正确，不符合题意。
本题选错误的，故选B。
如图，一固定的四分之一光滑圆弧轨道与逆时针匀速转动的水平传送带平滑连接于Q点，圆弧轨道半径为R。质量为m的小滑块自圆弧轨道最高点P由静止释放，滑块在传送带上运动一段时间后返回圆弧轨道，第一次上升的最高点距Q点高度为。重力加速度为g。下说法正确的是（ ）
A．传送带匀速转动的速度大小为
B．小滑块第二次上升的最高点距Q点高度为
C．小滑块第一次与第二次经过圆弧轨道的Q点时加速度之比为
D．小滑块第一次在传送带上运动的整个过程中产生的热量为
【答案】D
【详解】A．小滑块在传送带上先向右减速运动，减速到0，在传送带上向左先加速，和传送带共速后匀速运动，返回时第一次上升的最高点距N点高度为，由
可得传送带匀速传动的速度
故A错误；
B．之后小滑块一直重复运动，小滑块在传送带上先向右减速运动，减速到0，返回时在传送带上向左先加速，和传送带共速后匀速运动，所以滑块不会静止，返回时上升的最高点距N点高度始终为，故B错误；
C．小滑块自圆弧轨道最高点P由静止释放，在圆弧轨道下滑，由机械能守恒定律
解得到达Q点时速度为
小滑块第二次经过圆弧轨道的Q点时速度为
根据牛顿第二定律Q点时加速度
推得小滑块第一次与第二次经过圆弧轨道的Q点时加速度之比为，故C错误；
D．设滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ，小滑块第一次在传送带上减速直线运动的时间为
相对传送带的距离为
解得
反向加速直线运动的时间为
相对传送带的位移为
解得
滑块第一次在传送带上运动的整个过程中产生的热量为
解得
故D正确。
故选D。
某同学设计了一款趣味游戏如图所示，小滑块从倾角的轨道上某点静止释放，从最低点B处进入光滑竖直圆轨道（最低点B处两侧轨道略错开且平滑），再进入水平轨道，最后从C点飞出落入相互紧靠的指定篮筐（篮筐1紧靠竖直墙壁）里，则游戏成功。已知圆轨道半径长，篮筐口宽 ，篮筐口距点高度。小滑块质量，与轨道之间的动摩擦因数相同，均为。不计空气阻力，重力加速度取，。为确保小滑块能落入第3个篮筐，求：
(1)小滑块在处的速度范围；
(2)小滑块在圆轨道最高点对轨道的最小压力大小；
(3)小滑块从轨道上释放位置到点的最大距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小滑块从处离开做平抛运动
①
②
代入数据可得，滑块在处的速度范围是
（2）小滑块速度越小，对圆轨道最高点压力就越小，从圆轨道最高点到处应用动能定理
③
在最高点处，合力提供向心力
③
根据牛顿第三定律，压力与支持力大小相等
④
（3）距离越大，小滑块到处的速度就越大，从释放到处应用动能定理
⑤
代入数据解得
如图所示为小明设计的弹射游戏模型。AB段和DE段为光滑水平轨道，BC段和CD段为竖直面内的光滑半圆轨道，半径、，各段轨道平滑连接，BC段与DE段紧贴但不重叠，轻质弹簧左端固定于竖直挡板上。游戏时先将弹簧压缩至M位置锁定，可视为质点的小球置于弹簧右端，解除锁定小球被弹簧弹出后沿轨道运动至E点水平抛出。轨道右侧有一与水平方向夹角的收集管，收集管位置可调整，从E点抛出的小球无碰撞地进入收集管视为接收成功。某次游戏时所用小球质量，小球经过B点时速度大小，不计空气阻力。
(1)求弹簧储存的弹性势能和小球经过半圆轨道最低点B点时对轨道的压力；
(2)为保证小球能沿轨道运动直至E点抛出，小球质量m应满足什么条件？
(3)以E点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，在竖直面内的建立直角坐标系。为保证接收成功，当用不同质量小球进行游戏时需将收集管移到不同位置，求P端位置坐标y和x应满足的关系式。（忽略P端横截面大小）
【答案】(1)，方向竖直向下
(2)
(3)（）
【详解】（1）对于小球从M到B的过程应用机械能守恒定律可得
解得
B点由牛顿第二定律
解得
由牛顿第三定律知压力
方向竖直向下
（2）小球恰能过C点时满足
由机械能守恒
联立可得
故小球质量应满足
（3）小球抛出后由平抛过程有，，
联立以上各式得
当时
联立平抛各式可得
综上可得（）
如图所示，固定在竖直平面内的圆弧轨道AB和管道（内径忽略不计）BC在B点相切并平滑连接，圆弧和管道的半径均为，水平面与圆弧在A点相切，管道的C点切线水平，圆弧和管道所对的圆心角均为，半径为的四分之一圆弧面DE固定在竖直面内，圆心在C点，CE水平，轻弹簧放在水平面上，左端固定，质量为1kg的物块a放在水平面上，用质量为2kg的物块b压缩弹簧后由静止释放，弹簧将b弹开后，b与a发生弹性碰撞，此后a到达C点时对管道的压力恰好为零，重力加速度g取，不计物块的大小，不计一切摩擦，求：
(1)物块a运动到AB圆弧上的A点时对轨道的压力大小；
(2)弹簧开始被压缩时具有的弹性势能；
(3)若改变b对弹簧的压缩量，使b由静止释放后与a发生弹性碰撞，a从C点水平抛出后落到圆弧面DE的动能最小，则开始时弹簧被压缩时具有的弹性势能多大。
【答案】(1)40N
(2)60.75J
(3)
【详解】（1）由于物块a运动到C点时对轨道的压力恰好为零，设在C点速度为，根据题意有
解得
设C点离水平面的高度为h，根据题意有
设物块a在A点的速度大小为，根据机械能守恒定律有
在A点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，物块a对轨道A点的压力大小
（2）由（1）问可知
设碰撞前b的速度为，根据动量守恒有
根据能量守恒有
解得
根据能量守恒，弹簧开始被压缩具有的弹性势能
（3）设物块a从C点以速度抛出落到圆弧面DE上时的动能最小，则有，
根据几何关系有
根据动能定理，物块a落到圆弧面上时的动能
解得
当时，物块a落到圆弧面上时的动能最小
解得，
设物块a在A点的速度大小为，根据机械能守恒有
根据（2）问可知，a、b碰撞前，b的速度大小
根据能量守恒，弹簧具有的弹性势能
解得
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第15讲　功能关系　能量守恒定律
知识内容 说明
能量守恒定律与能源 常考查对功能关系、能量守恒定律基本概念的理解，如判断不同力做功时能量的转化情况，或根据能量守恒定律分析系统中各物体能量的变化关系等。也可能结合图像考查功能关系，例如通过速度 - 时间图像、力 - 位移图像等，让考生分析物体的动能变化、做功情况等。
一、功能关系
1．功是能量转化的量度，功和能的关系一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．做功对应变化的能量形式
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力(除重力、弹力外)做正功 机械能增加
二、能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE减＝ΔE增 .
3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
命题点一　功能关系的理解和应用
1．牢记三条功能关系
(1)重力做的功等于重力势能的减少量，弹力做的功等于弹性势能的减少量；
(2)合外力做的功等于动能的变化；
(3)除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化．
2．功能关系的选用原则
在应用功能关系解决具体问题的过程中
(1)若只涉及动能的变化则用动能定理分析．
(2)若只涉及重力势能的变化则用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3)若只涉及机械能变化则用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
如图所示，轻弹簧上端固定在光滑斜面顶端，自由伸长时下端在点（图中未画出），下端连接某物体时物体恰能静止于斜面的点。现对物体施加一个平行于斜面向上的力，使物体沿斜面缓慢向上移动到点，此过程中力做功为。则此过程中（　　）
A．物体机械能守恒
B．弹簧和物体组成的系统机械能守恒
C．力的大小始终等于弹簧弹力的大小
D．弹簧弹性势能减小量等于
我国科学家建议在月球表面建立一个“磁性发射装置”，能够以较低的成本将月球表面开采的资源送回地球。当用磁性发射装置把航天器加速到时，航天器恰好脱离月球束缚沿图示返回轨道运动。则（ ）
A．速度是月球的“第一宇宙速度”
B．航天器到达地球附近时速度大于
C．航天器返回地球过程中与地心的连线每秒钟扫过的面积相等
D．在返回轨道运动过程中地球、月球与航天器组成的系统机械能守恒
如图甲所示为避险车道，用于车辆在刹车失灵时进行减速避险，其简化模型如图乙所示。一辆质量为m的货车刹车失灵后冲上避险车道，经过A点时速度大小为，到达C点时速度恰好减小为0，B点为AC中点，AC两点高度差为h，货车从A到C的运动视为匀变速运动，重力加速度大小为g，则货车（　　）
A．从A到C的过程中，机械能减少了
B．从A到C的过程中，机械能减少了
C．从A到B与从B到C所用的时间之比
D．从A到B与从B到C所用的时间之比
命题点二　摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路径长度．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
如图所示，是某工厂运送产品的足够长水平传送带，传送带顺时针转动，速度v=2m/s，产品与传送带间的动摩擦因数 =0.2。工人每隔1s将一个产品轻放到传送带左端（各产品完全相同，质量均为1kg，重力加速度g=10m/s2），下列说法中正确的是（　　）
A．相邻的两个产品均与传送带相对静止时的距离为1m
B．传送带每运送一个产品多消耗的电能为2J
C．传送带正常运送产品时多消耗的电功率为4W
D．每个产品与传送带间由于摩擦产生的热量为4J
如图甲所示的等双翼式传输机，其两侧等长的传送带倾角可以在一定范围内调节，方便不同工况下的货物传送作业，工作时两传送带匀速转动且速度相同。图乙为等双翼式传输机工作示意图，M1、M2代表两传送带。第一次调整M1倾角为30°，M2倾角为 第二次调整M1倾角为45°，M2倾角为30°，两次分别将同一货物无初速放在 M1的最低端，都能传到 M2的最高端。货物与M1和M2的接触面粗糙程度相同，两次运输中货物均在 M1上就已与传送带达共速，先后两次传输机运行速度相同。则（　　）
A．两次运送货物经过的时间相等
B．第一次运送货物的时间较短
C．传输机因运送物件而多消耗的能量，两次相等
D．传输机因运送物件而多消耗的能量，第二次较多
如图所示，水平光滑平面与顺时针匀速转动的水平传送带的右端A点平滑连接，轻质弹簧右端固定，原长时左端恰位于A点。现用外力缓慢推动一质量为m的小滑块（与弹簧不相连），使弹簧处于压缩状态，由静止释放后，滑块以速度v滑上传送带，一段时间后返回并再次压缩弹簧。已知返回后弹簧的最大压缩量是初始压缩量的一半，滑块第一次从释放点到A点的时间及第一次在传送带上运动的时间均为t0。已知弹簧弹性势能，其中k为劲度系数。不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，以下说法正确的是（　　）
A．传送带匀速转动的速度大小为
B．经过足够长的时间，滑块最终静止于水平面上
C．滑块第一次在传送带上运动的过程中电机多消耗的电能为
D．滑块从释放到第4次经过A点的总时间为
命题点三　能量守恒定律的理解和应用
1．当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量转化和守恒定律．
2．解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解．
图所示，套在一光滑的水平固定杆上的小环N和另一套在光滑竖直固定杆上的小环M用一不可伸长的轻绳连接在一起，两杆在同一竖直面内，M、N两环的质量均为m=1kg，绳长为l=0.24m。一水平外力F作用在小环N上，整个系统处于静止状态，轻绳与竖直杆夹角为α=60°。不计空气阻力，轻绳始终处于伸直状态。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．作用在小环N上外力F的大小为
B．撤去F后，小环M在运动过程中机械能守恒
C．撤去F后，轻绳与竖直杆夹角β=37°时，小环M的速度大小为0.36m/s
D．撤去F后，小环N能达到的最大速度为
如图所示，水平地面上固定一倾角为且足够长的光滑斜面，斜面底部固定安装一劲度系数为的轻弹簧，弹簧上端拴接一质量为的小滑块，静止时滑块所在位置为。另有一质量也为的小滑块，从位置A由静止开始下滑，滑块与滑块发生碰撞后，一起（不粘连）向下运动。在以后运动过程中，恰好不能与分离。已知弹簧的形变量始终在弹性限度内，弹簧形变量为时，弹性势能，从碰撞至运动到最低点的过程所用时间为，重力加速度为，不计空气阻力。下列判断正确的是（　　）
A．的距离为
B．运动过程中弹簧的最大压缩量为
C．碰撞后的运动过程中滑块的最大速度为
D．从碰撞到滑块第一次速度最大所用时间为
如图所示，从A点以v0的水平速度抛出一质量m=2kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°，C点在O点的正下方，圆弧轨道C端切线水平与水平面平滑连接。C点右侧水平面粗糙，在水平面上固定一个弹簧，弹簧的左端D距C点的水平距离为L=0.4m，小物块离开C点后继续在水平面上向弹簧滑去，将弹簧压缩了x=0.1m后停止滑行。小物块和水平面间的动摩擦因数μ=0.2，A、B两点距C点的高度分别为H=0.6m、h=0.15m，圆弧半径R=0.75m，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s2。求：
(1)小物块水平抛出时，初速度v0的大小；
(2)小物块滑动至C点时的速度；
(3)小物块停止滑行时弹簧具有的弹性势能大小。
某机场的货物传送装置简化图如图甲所示，该装置由速度大小为的传送带及固定挡板组成，挡板与传送带上表面垂直，传送带上表面与水平地面的夹角为，传送带边与水平面平行。工作人员将质量分布均匀的正方体货物由点无初速度释放，货物运动后被取走，货物在传送带上运动时的剖面图如图乙所示。已知货物质量为，货物与传送带间的动摩擦因数为0.40，与挡板的动摩擦因数为0.25，重力加速度取，不计空气阻力。求：
(1)货物在传送带上经历的时间；
(2)因运送货物传送装置多消耗的电能。
如图所示为“嫦娥六号”在椭圆轨道上沿箭头所示方向绕月球运行的示意图，ab、cd分别为椭圆轨道的长轴与短轴。不考虑其他天体对“嫦娥六号”的作用，则“嫦娥六号”（　　）
A．由a向c运动的过程中机械能不断减小
B．经过a、b两点时的加速度大小相等
C．从c运动到b的时间大于从d运动到a的时间
D．若经过a点时沿运动方向瞬时加速，则其在新环月轨道上的周期将比原轨道小
2024年10月30日11时，“神舟十九号”飞船与空间站成功对接。飞船和空间站的变轨对接可简化为如图所示的过程，飞船变轨前稳定运行在圆轨道1，空间站运行在圆轨道3，椭圆轨道2为飞船的转移轨道。轨道1和2、2和3分别相切于P、Q两点。关于“神舟十九号”飞船，下列说法正确的是（ ）
A．飞船的发射速度小于空间站的在轨运行速度
B．飞船从轨道2变轨到轨道3需要在Q点点火减速
C．飞船从P点沿椭圆轨道运动到Q点，需要发动机一直做功
D．飞船从P点沿椭圆轨道运动到Q点，地球引力对飞船一直做负功
如图所示，一个质量为m的小球，用轻绳悬挂于O点，初始时刻小球静止于P点。第一次小球在水平拉力F1的作用下，从P点缓慢地移动到Q点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ；第二次小球在水平恒力F2的作用下，从P点开始运动恰好能到达Q点。不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．第二次水平恒力的大小为
B．第二次到达Q点时绳的拉力比第一次小
C．第二次水平力做的功比第一次多
D．两个过程中绳的拉力均逐渐增大
如图甲所示，研究一般的曲线运动时可以将其分成很多小段，质点在每小段的运动都可以看成圆周运动的一部分。图乙是2024年珠海航空展上，飞行员驾驶飞机在竖直面内匀速率飞行的轨迹，a、b、c为飞行轨迹上的三点，a、c为飞行过程中距离地面高度相等的两点，b为最高点，关于飞机的说法正确的是（　　）
A．a、b、c三点的机械能相等
B．a、b、c三点的加速度大小相等
C．b点的加速度方向竖直向下
D．a点所受的合力大于c点
如图所示，原长为的轻质弹簧，一端固定在点，另一端与一质量为的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为。杆上M、N两点与点的距离均为，点到点的距离为，OP与杆垂直。当小球置于杆上点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为。小球以某一初速度从M点向下运动到点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在点下方处的加速度大小为
C．从M点到点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D．从M点到点和从点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
如图所示，光滑圆弧轨道ACD固定在竖直面内，O为圆弧轨道的圆心，圆弧轨道的半径为R。将质量为m的滑块（可视为质点）以水平向右的初速度v0（大小未知）从轨道内侧A点开始运动，且滑块始终受到水平向右的恒力作用，经过轨道上B点时速度最大，OB与竖直方向的夹角θ=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．滑块受到的恒力大小为0.6mg
B．若滑块能通过圆弧轨道的最高点C，则
C．若，滑块通过B点时对轨道的压力为1.75mg
D．若，滑块一定能沿圆弧轨道运动到D点
如图（a）所示为校运动会铅球比赛。某同学先后两次从点将铅球推出，如图（b）所示，两次铅球的轨迹1、2在空中交于点。已知铅球两次经过点时机械能相同，不计空气阻力，铅球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．第一次从点推出时，铅球的速度更大
B．两次到达最高点时，铅球的水平速度相等
C．两次推出后铅球从到所用时间相等
D．第一次推出后铅球在空中运动的时间更长
彩虹圈有很多性质和弹簧相似，在弹性限度内弹力随着形变量的增加而增大，但彩虹圈的重力不能忽略。如图所示，用手拿起彩虹圈的上端，让彩虹圈自由下垂且下端离地面一定高度，然后由静止释放，彩虹圈始终没有超出弹性限度。则（　　）
A．彩虹圈下落过程中长度不变
B．刚释放瞬间彩虹圈上端的加速度大于重力加速度
C．刚释放瞬间彩虹圈下端的加速度等于重力加速度
D．彩虹圈下落过程中只有弹性势能和动能相互转化
如图所示为“嫦娥六号”月球探测器沿椭圆轨道环月绕行的示意图，，为椭圆轨道长轴端点，、为椭圆轨道短轴端点，探测器沿图中箭头所示方向运行。已知探测器绕行周期为，若只考虑月球对探测器的引力作用，下列说法正确的是（　　）
A．探测器在点和点的加速度相同
B．探测器在点的速度小于在点的速度
C．探测器在点的机械能等于在点的机械能
D．探测器从点到点的运行时间为
我国传统弹弓术已被列入国家级非物质文化遗产名单。如图1所示的“Y”型弹弓由弓与弹兜两部分组成，其中弓包括弓弦（即皮筋）与弓弩。两根完全相同的皮筋一端与弹兜相连，另一端分别固定在弓弩的两个弓眼上，皮筋和弹兜质量均远小于弹丸质量。使用者把弹丸放在弹兜里，先用手捏住弹兜拉伸皮筋（皮筋始终在弹性限度内），然后释放让弹丸沿水平方向射出，如图2所示。在弹丸离开弹兜前的一小段时间内，下列说法不正确的是（ ）
A．弹丸的加速度逐渐减小 B．弹丸受到弹兜的作用力逐渐增大
C．弹丸的动能逐渐增大 D．弹丸与皮筋组成的系统机械能守恒
如图，一固定的四分之一光滑圆弧轨道与逆时针匀速转动的水平传送带平滑连接于Q点，圆弧轨道半径为R。质量为m的小滑块自圆弧轨道最高点P由静止释放，滑块在传送带上运动一段时间后返回圆弧轨道，第一次上升的最高点距Q点高度为。重力加速度为g。下说法正确的是（ ）
A．传送带匀速转动的速度大小为
B．小滑块第二次上升的最高点距Q点高度为
C．小滑块第一次与第二次经过圆弧轨道的Q点时加速度之比为
D．小滑块第一次在传送带上运动的整个过程中产生的热量为
某同学设计了一款趣味游戏如图所示，小滑块从倾角的轨道上某点静止释放，从最低点B处进入光滑竖直圆轨道（最低点B处两侧轨道略错开且平滑），再进入水平轨道，最后从C点飞出落入相互紧靠的指定篮筐（篮筐1紧靠竖直墙壁）里，则游戏成功。已知圆轨道半径长，篮筐口宽 ，篮筐口距点高度。小滑块质量，与轨道之间的动摩擦因数相同，均为。不计空气阻力，重力加速度取，。为确保小滑块能落入第3个篮筐，求：
(1)小滑块在处的速度范围；
(2)小滑块在圆轨道最高点对轨道的最小压力大小；
(3)小滑块从轨道上释放位置到点的最大距离。
如图所示为小明设计的弹射游戏模型。AB段和DE段为光滑水平轨道，BC段和CD段为竖直面内的光滑半圆轨道，半径、，各段轨道平滑连接，BC段与DE段紧贴但不重叠，轻质弹簧左端固定于竖直挡板上。游戏时先将弹簧压缩至M位置锁定，可视为质点的小球置于弹簧右端，解除锁定小球被弹簧弹出后沿轨道运动至E点水平抛出。轨道右侧有一与水平方向夹角的收集管，收集管位置可调整，从E点抛出的小球无碰撞地进入收集管视为接收成功。某次游戏时所用小球质量，小球经过B点时速度大小，不计空气阻力。
(1)求弹簧储存的弹性势能和小球经过半圆轨道最低点B点时对轨道的压力；
(2)为保证小球能沿轨道运动直至E点抛出，小球质量m应满足什么条件？
(3)以E点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，在竖直面内的建立直角坐标系。为保证接收成功，当用不同质量小球进行游戏时需将收集管移到不同位置，求P端位置坐标y和x应满足的关系式。（忽略P端横截面大小）
如图所示，固定在竖直平面内的圆弧轨道AB和管道（内径忽略不计）BC在B点相切并平滑连接，圆弧和管道的半径均为，水平面与圆弧在A点相切，管道的C点切线水平，圆弧和管道所对的圆心角均为，半径为的四分之一圆弧面DE固定在竖直面内，圆心在C点，CE水平，轻弹簧放在水平面上，左端固定，质量为1kg的物块a放在水平面上，用质量为2kg的物块b压缩弹簧后由静止释放，弹簧将b弹开后，b与a发生弹性碰撞，此后a到达C点时对管道的压力恰好为零，重力加速度g取，不计物块的大小，不计一切摩擦，求：
(1)物块a运动到AB圆弧上的A点时对轨道的压力大小；
(2)弹簧开始被压缩时具有的弹性势能；
(3)若改变b对弹簧的压缩量，使b由静止释放后与a发生弹性碰撞，a从C点水平抛出后落到圆弧面DE的动能最小，则开始时弹簧被压缩时具有的弹性势能多大。
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