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第18讲　微专题二 动力学、动量和能量观点在力学中的应用
一、力的三个作用效果与五个规律
分类 对应规律 公式表达
力的瞬时作用效果 牛顿第二定律 F合＝ma
力对空间积累效果 动能定理 W合＝ΔEk W合＝mv22－mv12
机械能守恒定律 E1＝E2 mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22
力对时间积累效果 动量定理 F合t＝p′－p I合＝Δp
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
二、碰撞中常见的力学模型及其结论
模型名称 模型描述 模型特征 模型结论
“速度交换”模型 相同质量的两球发生弹性正碰 m1＝m2，动量、动能均守恒 v1′＝0，v2′＝v0(v2＝0，v1＝v0)
“完全非弹性碰撞”模型 两球正碰后粘在一起运动 动量守恒、能量损失最大 v＝v0(v2＝0，v1＝v0)
命题点一　动量与动力学观点的综合应用
1．解决动力学问题的三个基本观点
(1)力的观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
(2)能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
(3)动量观点：用动量定理和动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
2．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换．这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
火箭的飞行应用了反冲原理，借助喷出燃气的反冲作用获得推力。已知某火箭与其所载燃料的初始总质量为M，在时刻，火箭由静止出发，竖直向上运动，如图1所示。火箭持续均匀向下喷射燃气，在任意的极短时间Δt内，喷射燃气的质量均为Δm，喷出的燃气相对火箭的速度恒为u。在极短时间内，火箭喷出的燃气的重力远小于火箭的推力，火箭速度的变化量远小于燃气速度的变化量。不计空气阻力，重力加速度的大小g视为不变。
(1)求火箭速度大小为v的瞬间受到燃气推力的大小F，据此判断火箭在竖直上升阶段受到燃气的推力是否变化。
(2)若火箭在竖直上升阶段，可使用的燃料质量为m，求该阶段火箭可获得的最大加速度的大小am。
(3)测得火箭在竖直上升阶段，随时间t变化的图像是一条直线，如图2所示，a为火箭加速度的大小。已知直线的纵截距为b，斜率的绝对值为k，为明确其物理意义，请推导b、k的表达式。
【答案】(1)，不变
(2)
(3)，
【详解】（1）在火箭速度大小为v的瞬间，以极短时间 t内喷射出的燃气为研究对象
设燃气受到火箭对其作用力的大小为F'，规定竖直向下为正方向，根据动量定理有
得
根据牛顿第三定律，此时火箭受到推力的大小F=F'=
可知推力F的大小不变，火箭受到推力的方向竖直向上，则火箭在竖直上升阶段，受到燃气的推力不变。
（2）质量为m的燃料燃尽时，火箭的加速度最大，根据牛顿第二定律
（3）在t时刻，火箭及火箭内剩余燃料的质量
根据牛顿第二定律有
得
则 ，
半径为R的半圆形细玻璃管固定在竖直平面内，其右端是坐标原点，内壁光滑。第二、三象限存在水平向右的匀强电场，，第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场，电场强度，磁感应强度。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从第二象限某一位置P点以大小为、与水平方向成的速度斜向下进入匀强电场，恰好无碰撞进入细管的左端A，已知细管的内径略大于小球的直径，重力加速度。
(1)求小球到达A点的速度大小及时间；
(2)小球到达细管中Q点（图中未标出）时速度达到最大，求小球从P点到Q点的过程中合外力的冲量大小；
(3)若已知小球到达细管右端的速度大小为v，小球从原点运动到最高点时轨迹与x轴所围成的面积。
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）小球从P到A，水平方向：
竖直方向：
解得，
（2）小球在第二、三象限运动过程中，所受合的大小为
方向与水平方向的夹角为53°
当小球运动到合力与速度方向垂直时速度达到最大，从A到Q，根据动能定理有
解得
从P到Q，利用动量定理
解得
（3）小球在第一象限运动时，，故小球只受洛伦慈力，小球运动至x轴最远位置时y方向上的分速度为零，竖直方向利用动量定理
其中，左边微元累积
即
而
解得
据报道，“嫦娥六号”着陆器和上升器组合体在距月面高处时速度为，在发动机作用下开始实施动力下降，到达着陆点上方处时速度降为0保持悬停。之后，组合体缓慢竖直下降，在距月面时关闭发动机，组合体自由下落。接触月面后，在缓冲系统的作用下经组合体速度降为0。已知组合体的质量为，月球表面的重力加速度，不考虑发动机喷气对组合体质量的影响。（计算结果保留2位有效数字）
(1)求在动力下降阶段，发动机对组合体做的功。
(2)已知组合体缓慢竖直下降过程中发动机的喷气速度为，求发动机每秒喷出气体的质量。
(3)已知缓冲系统由四个相同的着陆腿组成，且四个着陆腿与竖直方向的夹角均为，若地面对各着陆腿作用力的方向沿各着陆腿所在直线，求每个着陆腿平均承受的作用力的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，设发动机对组合体做的功为，在动力下降阶段，由动能定理有
其中，，
解得
（2）设缓慢垂直下降过程中气体对组合体作用力大小为，由牛顿第三定律可知，组合体对气体作用力大小也为，组合体缓慢竖直下降，由平衡条件有
设时间内喷出气体的质量为，由动量定理有
其中
解得
即发动机每秒喷出气体的质量为。
（3）设组合体刚自由下落到月球表面时速度大小为，则有
缓冲过程中组合体受地面的作用力为，平均每个着陆腿承受的作用力的大小为，则有
由动量定理有
其中，
联立解得
命题点二　动量与能量观点的综合应用
1．两大观点
动量的观点：动量定理和动量守恒定律．
能量的观点：动能定理和能量守恒定律．
2．解题技巧
(1)若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)．
(2)若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理．
(3)动量守恒定律、能量守恒定律(机械能守恒定律)、动能定理都只考查一个物理过程的初、末两个状态有关物理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的方便之处．特别对于变力做功问题，就更显示出它们的优越性．
某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道AB，半径、圆心角为的圆弧BCD，半径为R、圆心角为的圆弧DE组成，轨道间平滑连接。在轨道末端E点的右侧光滑水平地面FG上紧靠着质量的滑板b，其上表面与轨道末端E所在的水平面齐平。水平地面上距滑板右侧足够远处固定有挡板GH，滑板b与其碰撞时会立即被锁定。质量为的物块a从轨道AB上距B高度为处以初速度下滑，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE。物块a与轨道AB间的动摩擦因数，与滑板b间的动摩擦因数。（其他轨道均光滑，物块a视为质点，不计空气阻力，，）。
(1)若初速度，求物块a
①第一次通过D点时速度大小；
②在轨道AB上运动的总路程S。
(2)若物块a能沿轨道冲上滑板b，则
①应满足什么条件？
②滑板b至少要多长，物块a一定不会碰到挡板GH？
【答案】(1)①；②
(2)①；②0.75m
【详解】（1）①物块从开始运动到D点过程，根据动能定理
解得
②设过D点后冲上曲面高度为，根据机械能守恒定律
解得
而
所以
故物块不会冲上滑板，会原路返回。物体运动全程由能量守恒有
解得
（2）①在D点不脱离轨道则全程不会脱离轨道，此时初速度最大，根据动能定理
还需要满足
解得
同理，物块能到达E点，满足
解得
综上
②物块在D点没有脱轨，根据牛顿第二定律
物块以最大速度到达E点，根据机械能守恒定律
物块在滑板上运动，在刚滑上滑板到与滑板共速的过程中，由动量守恒定律和能量守恒定律有
，
滑板被锁定后，物块继续滑动，由能量守恒定律
故滑板长度最小为
滑板运动是青少年喜欢的运动之一，某滑板运动场地如图所示，水平面BC与斜面AB和圆弧CD平滑连接，滑板爱好者站在滑板甲上由静止从A点滑下，同时另一完全相同的滑板乙从圆弧上的D点由静止释放。两滑板在水平面上互相靠近时，滑板爱好者跳到滑板乙上，并和滑板乙保持相对静止，此后两滑板沿同一方向运动且均恰好能到达D点，被站在D点的工作人员接收。已知斜面AB的倾角，圆弧CD的半径R=2m，圆心O与D点的连线与竖直方向的夹角，滑板质量m=4kg，滑板爱好者的质量M=60kg，不计空气阻力及滑板与轨道之间的摩擦，滑板爱好者与滑板均可视为质点，取，，。求：
（1）滑板乙在下滑过程中经过圆弧最低点时，对C点压力的大小；
（2）斜面上AB间的距离。
【答案】（1）72N；（2）2.025m
【详解】（1）对滑板乙，从D点运动到C点的过程中，由动能定理得
①
在C点，由牛顿第二定律得
②
解得
③
由牛顿第三定律得，滑板乙对C点的压力大小
④
（2）两滑板均恰能到达D点被工作人员接收，则滑板爱好者及两滑板三者共速
⑤
以滑板爱好者及两滑板为研究对象，由动量守恒定律得
⑥
对滑板爱好者及滑板甲，从A到B的过程中，设A到B的距离为L，由动能定理得
⑦
联立⑤⑥⑦式解得
⑧
2022年2月10号，在北京举行的冬奥会男子冰壶项目的比赛中，中国男子队以战胜了强大的丹麦队，为国争光。冰壶运动最有魅力的地方就是运动员摩擦冰面的场景，摩擦冰面能在冰壶和冰面间形成水膜，从而减少摩擦，改变冰壶滑行的距离和方向，已知擦冰后冰面的动摩擦因数变为原来的，冰壶场地如图所示，已知前掷线和拦线的距离为L，某次比赛中A队先投，A队投掷第一个冰壶A时，冰壶A在前掷线以速度离手，冰壶运动过程中A队队员没有擦冰，冰壶A刚好停在拦线处，然后B队开始投掷第一个冰壶B，已知冰壶的质量都可视为相等。求：
（1）不擦冰时冰面的动摩擦因数；
（2）如果希望冰壶A运动距离变为原来的1.2倍，A队需要擦冰的长度x至少为多少？
（3）已知冰壶正碰的恢复系数为0.8，（恢复系数，为碰后速度，v为碰前速度），若B队要让冰壶A碰后在不擦冰的情况下刚好滑行0.09L，求冰壶B在前掷线离手速度的取值范围？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据动能定理得
解得
（2）根据动能定理得
解得
（3）设碰撞前瞬间B的速度为v1，碰撞后A的速度为，B的速度为，碰后对由动能定理得
解得
选择水平向右为正方向，由动量守恒有
碰撞过程中
解得
对碰撞前滑行过程，在不擦冰的情况下，要实现要求，由动能定理有
联立解得
在全程擦冰时，由动能定理得
解得
则取值范围为
命题点三　力学三大观点解决多过程问题
1．表现形式
(1)直线运动：水平面上的直线运动、斜面上的直线运动、传送带上的直线运动．
(2)圆周运动：绳模型圆周运动、杆模型圆周运动、拱形桥模型圆周运动．
(3)平抛运动：与斜面相关的平抛运动、与圆轨道相关的平抛运动．
2．应对策略
(1)力的观点解题：要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度；(2)两大定理解题：应确定过程的初、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)；(3)过程中动量或机械能守恒：根据题意列方程。
如图所示，光滑水平地面上一个质量为的木板紧靠平台静置，的上表面与光滑平台相平。质量为、倾角为的光滑斜面体静止在平台上。质量为的物块静置在木板上。斜面体固定在平台上，将质量为的物块从斜面上距平台高度为处由静止释放，物块A脱离斜面体B后，与平台发生相互作用，物块垂直于平台方向的速度分量瞬间变为零，沿平台方向的速度分量不变。已知物块和均视为质点，与木板上表面的动摩擦因数均为，重力加速度，求
(1)物块在平台上运动时的速率；
(2)若物块和物块不能发生碰撞，物块到木板左端的最小距离；
(3)若斜面体不固定，从斜面上高度为处静止释放，开始时物块到木板左侧的距离为，物块与物块的碰撞为弹性碰撞，求物块与木板第一次共速时，物块与物块之间的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，设物块滑到斜面B底端时的速度为，由机械能守恒定律有
解得
物块在平台上运动时的速率
（2）根据题意，对A、C、D系统，由动量守恒定律和能量守恒定律有，
解得
（3）根据题意，对A、B系统，由机械能守恒定律有
水平方向由动量守恒定律有
由几何关系有
又有
联立解得
物块A滑上木板C后，物块A的加速度为
物块D和木板C整体加速度为
则有
解得
物块A与物块D碰撞前，物块A的速度
木板C和物块D的速度
物块A和物块D发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有，
解得，
碰撞后物块A以加速度
向右做匀加速直线运动，碰撞后物块D以加速度
向右做匀减速直线运动，木板C以加速度
向右做匀加速直线运动，物块D与木板C第一次共速有
解得
此时物块D和物块A速度分别为，
此时物块A与物块D之间的距离为
一游戏装置的竖直截面如图所示，水平面上点左侧粗糙，右侧光滑，在点处有一静止小滑块长度为；一长木板静止在水平面上，其左侧与点刚好对齐，b上表面的右端放有小滑块，的右侧有一固定竖直挡板Q。现给一个水平瞬时冲量，使其获得向右的初速度。已知的质量分别为和 与间动摩擦因数与间的动摩擦因数与的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间很短，与挡板碰后速度大小不变、方向反向，始终在上不会脱落。小滑块看作质点，重力加速度大小取。
(1)求与碰后的瞬间，、的速度大小；
(2)若、第一次共速后，才与Q相碰，求、第一次碰后，两者之间的最大距离；
(3)在（2）问条件下，与Q第一次碰后撤去，从此刻开始，求运动的总路程。
【答案】(1)
(2)4m
(3)2.25m
【详解】（1）从点到点的过程，由动能定理有
解得
与的碰撞过程，根据动量守恒和能量守恒，则有，
联立解得
（2）与作用，到第一次共速时，根据动量守恒定律有
由牛顿第二定律，则有
由运动学公式有
的位移
当共速时，则有
此时与左侧间的最大距离为
联立解得
（3）由前面可得第一次与碰前速度
第一次碰后，向左减速，向右减速，速度减为零后再向右加速，根据牛顿第二定律则有
解得加速度为
当速度减为零时，向左运动的位移为
第二次与碰前，已经第二次共速，由根据动量守恒定律有
第二次与碰后，向左运动的位移
同理可得第三次与碰后，向左运动的位移
第次与碰后，向左运动的位移
当时，运动的总路程
如图所示，光滑倾斜轨道AB与长为的水平轨道BC通过一段光滑圆弧平滑连接，圆弧的半径为r=1m，BC右侧连接着长为L=3.0m的水平传送带CD，传送带始终以v=2m/s的速度顺时针方向匀速转动，与右端D相距处固定有一块竖直挡板EF。现将质量的滑块在AB某处静止释放，m1和静止在C点上的质量的滑块发生碰撞，已知m1、m2及皮带轮大小均可不计；m1、m2与BC和CD间的动摩擦因数均为μ=0.2，所有发生的碰撞都为弹性碰撞；求：
(1)若m2滑到D端速度恰好减为2m/s，则
①计算滑块m2在CD上的滑动时间；
②滑块m1从圆弧第一次滑过B点，碰撞后从水平轨道第二次到达B点，计算m1两次过B点时对轨道的压力差；
(2)调节滑块m1的释放高度h，使得m2、m1能先后与EF相撞于同一点上，求：能满足m2、m1打在挡板EF上同一位置的m1的最小释放高度；
(3)m2打在挡板EF上的最小动能。
【答案】(1)①1s；②70N
(2)2.7m
(3)
【详解】（1）①滑块m2在CD上滑动时，根据牛顿第二定律，有
滑块m2在CD上滑动时，根据速度-位移公式，有
根据速度时间公式，有
联立并代入数据解得
②m1与m2相碰时，满足动量守恒，有
根据能量守恒，有
联立解得
从B到C，对m1根据牛顿第二定律，有
从B到C，根据速度-位移公式，有
解得
滑块m1从圆弧第一次滑过B点，根据牛顿第二定律，有
解得
滑块m1碰撞后从水平轨道第二次到达B点时，有
m1两次过B点时对轨道的压力差
（2）滑块m1从B到C，根据动能定理，有
m1与m2相碰时，满足动量守恒，有
根据能量守恒，有
解得
当m1与m2碰后反弹，再次返回到C点时速度为零，此时高度最小，根据动能定理，有
联立解得h=2.7m
（3）m2离开传送带做平抛运动，在水平方向，有
m2打在挡板EF上的动能为
联立可得
当时，动能有最小值即
最小动能为
如图甲所示，物块B和质量为的物块A用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在时刻以一定速度向右运动，在时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的图像如图乙所示。求：
(1)物块C的质量；
(2)物块C与物块A相碰过程中系统损失的机械能；
(3)从到，弹簧对物块A的冲量I的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题图知，C与A碰前速度为，碰后速度为，C与A碰撞过程，由动量守恒可得
代入数据解得
（2）根据能量守恒可得物块C与物块A相碰过程中系统损失的机械能为
代入数据解得
（3）从到，以A、C为整体，由题图结合动量定理可得
其中
代入数据解得
可知弹簧对物块A的冲量I的大小。
如图，水平传送带以v=5.0m/s的速率沿顺时针方向匀速转动，左、右两端各与一水平光滑轨道平滑对接，两对接处PQ间距L=1.6m。一轻质弹簧左端固定，右端在P点左侧，弹簧被滑块A（可看作质点，不与弹簧栓接）压缩至弹性势能。已知A的质量，A与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，质量的滑块B静止在传送带右侧的轨道上，A、B间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度大小g取。释放A弹簧弹性势能全部转化为A的动能，求：
(1)滑块A第1次运动至Q点时的速度；
(2)滑块A第2次在传送带上滑动的过程中，带动传送带的电机多消耗的能量。
【答案】(1)6m/s
(2)1J
【详解】（1）对A进行分析，弹簧弹性势能全部转化为A的动能，则有
解得
A在传送带上开始做匀减速直线运动，假设与传送带达到相等速度，则有
解得
可知，A到达Q时速度仍然大于传送带速度，则有
解得
（2）A、B发生弹性碰撞，则有，
解得，
A在传送带上做匀减速直线运动，假设A减速至0，则有
表明A在传送带上速度没有减为0，则有
解得，
舍去1.6s，即A到达P位置的时间为0.4s，此过程，初速度匀速转动，根据功能关系可知，带动传送带的电机多消耗的能量
解得
如图（a），质量为的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的内表面光滑，半径，、分别为半圆形轨道的最低点和最高点。质量为的物块（可视为质点）静置在轨道上左端处，与水平轨道间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度。
(1)若轨道固定，物块以一定的初速度沿轨道恰好运动到点，求物块在点的速度大小；
(2)若轨道不固定，对物块施加水平向右逐渐增大的推力，物块在轨道段运动时，物块和轨道的加速度与对应关系如图（b）所示，求和；
(3)在第（2）问的数据条件下，若物块以的速度从处冲上轨道，物块可沿轨道到达点且恰好与轨道无作用力，运动过程中轨道段始终未脱离地面，求轨道段的长度。
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）设物块到达点的速度为，则有
根据机械能守恒，有
联立解得物块在B点的速度大小为
（2）根据图像可知，当时，物块与轨道相对静止，加速度
根据图像斜率可知
当时，物块与轨道相对运动，物块加速度
根据图像斜率可知
可得
轨道加速度
解得
（3）以水平向右为正方向，由动量守恒定律，有
在最高点，物块相对轨道的速度大小为
且有
解得，
由功能关系，有
代入数据，解得
如图所示，水平地面上静置一质量为的长木板，左端放有质量为的小物块，质量为的小球用细线悬挂在点，线长为。长木板右端位于地面的点，点为点在地面的投影。点右侧静置一质量为、半径的半圆形凹槽，槽内静置质量为的小球。槽的内壁光滑，为其水平直径，、两点的水平距离大于木板长度。小物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与点左侧地面间的动摩擦因数，点右侧地面光滑。现使小物块以某一初速度水平向右运动，当滑到长木板最右端时恰与木板相对静止，同时小物块与小球发生正碰，碰后两者立即粘在一起，之后细线偏离竖直方向的最大摆角。当小物块和小球刚摆至最高点时立即被取走。已知 ，，，重力加速度。
(1)求细线中最大拉力的大小；
(2)求长木板的长度；
(3)已知长木板通过点的过程中，所受地面的摩擦力大小与长木板未通过点部分的重力大小成正比，比例系数为。若长木板与凹槽碰后粘在一起，求碰后凹槽的最小速度的大小（结果可保留根号）。
【答案】(1)
(2)L=4m
(3)
【详解】（1）对、，由能量守恒有
解得
由牛顿第二定律有
联立解得
（2）对小物块与小球的碰撞过程，由
解得
小物块在长木板上相对滑动时的加速度大小
长木板运动的加速度大小
对长木板，由
解得
对小物块，由
联立解得
在小物块与小球碰撞前，小物块的位移
长木板的位移
可知长木板的长度
（3）长木板通过点的过程中，所受地面摩擦力的平均作用力大小为
对长木板，由
联立解得
对长木板和凹槽，由
联立解得
若长木板、凹槽和小球共速时，小球未滑离凹槽，对三者有
且
解得
故小球始终未滑离凹槽，则可知当小球再次滑回凹槽最低点时凹槽的速度最小。由能量守恒有
可知
由能量守恒有
联立解得或（舍）
即碰后凹槽的最小速度
如图所示，水平面上放置一左端固定在Q点、右端与物块A相连的轻质弹簧，弹簧的劲度系数k=20N/m。初始锁定物块A、B后放置在水平面上O点，此时弹簧伸长量x0=0.2m，A、B之间夹有不计质量的火药。水平面上O点左侧粗糙，右侧光滑，A与水平面间动摩擦因数μ1=0.08。水平面右下方有足够长的倾角θ=30°的斜面，水平面与斜面顶端P点的高度差h=0.6m，下端带有弹性挡板且板长L=4m的长木板C恰好静止在斜面顶端P点。解除A、B锁定，火药瞬间爆炸后，B向右运动，从水平面的右端水平抛出，恰好沿斜面方向落到长木板的顶端。已知A的质量mA=5kg，B的质量mB=1kg，C的质量mC=3kg，B与C之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力的影响，物块A、B均可看作质点。在运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能。求：
(1)物块B与C上的挡板发生第一次弹性碰撞前的速度大小；
(2)从爆炸开始到A最终静止，物块A通过的总路程；
(3)物块B和长木板C之间因摩擦产生的总热量。
【答案】(1)8m/s
(2)1m
(3)36J
【详解】（1）设火药爆炸后A和B的速度大小分别为v1和v2，B向右做匀速直线运动，从水平面抛出后做平抛运动，根据题意有，
解得
B刚落到C上时的速度
解得
设C与斜面间的动摩擦因数为，初始时C恰好静止在斜面上，得
则B滑上C后，C受到B沿斜面向下的滑动摩擦力，此时
C因此保持静止，B沿斜面方向做匀加速直线运动，则有
则B与C的挡板发生第一次碰撞前的速度
解得
（2）火药爆炸过程中对A、B由动量守恒定律得
解得
设A向左移动x1后速度减为零，由能量守恒定律得
解得
设A再向右移动x2后速度减为零，且处于压缩状态，由能量守恒定律得
解得，可知此时A恰好回到弹簧原长，A停止运动
则A在整个运动过程中的总路程
（3）从B落到C顶端到第一次碰撞，B、C间因摩擦产生的热量
从第一次碰撞开始，系统动量守恒，经多次碰撞后，B相对C静止于挡板处，由动量守恒定律得
解得，二者以此速度一起沿斜面向下做匀速直线运动
第一次碰撞后的运动过程中，B、C系统重力势能减少量等于C与斜面间的摩擦生热，则此过程中B、C间因摩擦产生的热量
则整个过程中B、C间因摩擦产生的热量
解得
如图所示，相距为的两物块和（均可视为质点）静置于足够长的斜面上，斜面的倾角为。物块的质量为，物块的质量为，物块与斜面间没有摩擦，物块与斜面间的动摩擦因数。同时由静止释放，此后间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间极短。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。求：
(1)第一次碰撞后瞬间A、B的速度大小；
(2)在第一次碰撞后到第二次碰撞前的过程中，A、B之间的最大距离；
(3)从静止释放物块A、B开始到第次碰撞前的过程中，物块与斜面间因摩擦所产生的热量。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对A由牛顿第二定律，
解得
对B由牛顿第二定律，
解得
故A、B第一次碰撞前，加速，也加速。
设、开始运动到、第一次碰撞时间为，则有
解得
则碰撞前瞬间、的速度分别为，
和发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒得
联立解得，
（2）第一次碰撞后到第二次碰撞前，A、B共速时相距最远，设运动时间为，则有
联立解得
（3）第一次碰撞后到第二次碰撞前，有
解得
则第二次碰前
第二次碰撞过程，和发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒得
联立解得，
同理可得，第二次碰撞后到第三次碰撞前，有
解得
则第三次碰前，
同理，第三次弹性碰撞后，
由此可推知，第次碰后的速度为
第次碰撞到第次碰撞前经历的时间为
从释放开始到第次碰撞前的过程中，物块的位移为
由题意可得
带入数据解得
物块与斜面间因摩擦产生的热量为
带入数据解得
如图所示，将一充满水的皮球放置在水平地面上，之后在皮球上扎个洞，水流从洞口喷出后在空中形成一段稳定的水柱，水流从洞口出射的速度方向与竖直方向成37°，洞口面积为，洞口到地面的高度为，水柱最高点离地高度为，水流与地面碰撞后沿水平方向散开，水的密度为，重力加速度大小g取。求：
(1)水从喷出到落地所用时间；
(2)水流对地面的冲击力；
(3)空中水柱的机械能（以地面为零势能面）。
【答案】(1)0.5s
(2)0.6N，方向竖直向下
(3)
【详解】（1）水柱喷出后上升到最高点所用时间为，从最高点落到地面时间为，则
上升
下降
解得
全过程
水喷出速度为，则
（2）水落地时的竖直速度，水流对地面的冲击力为F
落地时根据动量定理可知
解得，方向竖直向下；
（3）空中水的质量为m，则
空中水流的机械能等于刚喷出时水的机械能，设为E，则
解得
如图所示，将一质量为的小物块P放在O点，某时刻用弹射装置将其弹出，使其沿着竖直面内半径为的光滑半圆形轨道OA运动，物块P恰好通过轨道最高点A。之后，物块P进入同一竖直面内一个半径为、圆心为O点的光滑半圆形管道AB（管径远小于），A、O、B在同一竖直线上，物块P的大小略小于管径且经过A、B两处时均无能量损失。管道AB与长度为的粗糙水平轨道BC相切于点B，在水平轨道BC末端C点放置另一质量为的小物块Q。P与水平轨道BC间的动摩擦因数，P运动到C点时与Q发生弹性正碰。EF为放在水平地面上的缓冲垫（厚度不计且物块落入后立即被吸附不反弹），EF离C点的竖直高度为，长度也为。P、Q均可视为质点，重力加速度为，不计空气阻力。求：
(1)P离开O点时速度；
(2)P到达半圆管道末端B点时，管道对P的作用力大小；
(3)要使P、Q碰后均能平抛落入缓冲垫EF，EF最左端E点离C点的水平距离应满足的条件。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）P 恰好通过A点有
P 从 O 到 A，由动能定理得
解得
（2）P 从 A 到 B，由动能定理得
P 在 B 点有
解得
（3）P从B到C，由动能定理得
解得
P与Q碰撞，由动量守恒定律
碰撞前后总动能不变
解得，
设P、Q平抛运动的时间t，有
要使两球都能落入槽中，则有，
解得
如图甲所示，半径R＝0.9m的光滑半圆弧轨道COD固定在竖直平面内，端点D为轨道的最低点，过D点的轨道切线水平。在圆弧轨道圆心O的正上方F点右侧有一固定的水平轨道，水平轨道与倾角θ＝37°的固定粗糙斜面轨道平滑相接（物体通过时没有能量损失），斜面上E点距斜面底端的距离s0＝3.2m。现有质量分别为mA＝1kg，mB＝0.5kg的物块A、B静置于水平轨道上，且物块B的右侧水平轨道光滑，左侧水平轨道粗糙。物块A、B中间夹有少量炸药，炸药突然爆炸，爆炸后物块A在水平轨道上运动的速度v与时间t的关系图像如图乙所示，物块A从F点离开轨道，刚好能从C点切入圆弧轨道做圆周运动。已知物块A与左侧水平轨道和物块B与斜面轨道间的动摩擦因数相同，A、B均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，1.34。求：
(1)物块A经过D点时受到圆弧轨道的支持力FN的大小；
(2)物块A与左侧水平轨道间的动摩擦因数μ；
(3)若从物块B运动到斜面轨道底端时开始计时，经多长时间通过E点。（计算结果保留三位有效数字）
【答案】(1)60N
(2)0.5
(3)2.34s
【详解】（1）小物块A离开水平轨道后刚好能从C点切人圆弧轨道做圆周运动有
物块A从C到D过程机械能守恒有
物块A在 D点处由牛顿第二定律
联立解得
（2）由 v-t 图像可知:爆炸后瞬间物块 A 的速度大小为，物块A在水平轨道上运动的时间为
爆炸后物块A在水平轨道上运动过程由运动学公式及牛顿第二定律有
解得
（3）物块A、B爆炸过程，由动量守恒有
解得
物块B在斜面轨道向上运动过程有
解得
物块B沿斜面上升的最大距离
故物块B通过E点有两种情况：
情况1：物块B沿斜面上升阶段通过E点时，有
解得
情况2：物块B沿斜面下降阶段通过E点时，上升阶段的时间
下降阶段
因为
联立解得
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第18讲　微专题二 动力学、动量和能量观点在力学中的应用
一、力的三个作用效果与五个规律
分类 对应规律 公式表达
力的瞬时作用效果 牛顿第二定律 F合＝ma
力对空间积累效果 动能定理 W合＝ΔEk W合＝mv22－mv12
机械能守恒定律 E1＝E2 mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22
力对时间积累效果 动量定理 F合t＝p′－p I合＝Δp
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
二、碰撞中常见的力学模型及其结论
模型名称 模型描述 模型特征 模型结论
“速度交换”模型 相同质量的两球发生弹性正碰 m1＝m2，动量、动能均守恒 v1′＝0，v2′＝v0(v2＝0，v1＝v0)
“完全非弹性碰撞”模型 两球正碰后粘在一起运动 动量守恒、能量损失最大 v＝v0(v2＝0，v1＝v0)
命题点一　动量与动力学观点的综合应用
1．解决动力学问题的三个基本观点
(1)力的观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
(2)能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
(3)动量观点：用动量定理和动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
2．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换．这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
火箭的飞行应用了反冲原理，借助喷出燃气的反冲作用获得推力。已知某火箭与其所载燃料的初始总质量为M，在时刻，火箭由静止出发，竖直向上运动，如图1所示。火箭持续均匀向下喷射燃气，在任意的极短时间Δt内，喷射燃气的质量均为Δm，喷出的燃气相对火箭的速度恒为u。在极短时间内，火箭喷出的燃气的重力远小于火箭的推力，火箭速度的变化量远小于燃气速度的变化量。不计空气阻力，重力加速度的大小g视为不变。
(1)求火箭速度大小为v的瞬间受到燃气推力的大小F，据此判断火箭在竖直上升阶段受到燃气的推力是否变化。
(2)若火箭在竖直上升阶段，可使用的燃料质量为m，求该阶段火箭可获得的最大加速度的大小am。
(3)测得火箭在竖直上升阶段，随时间t变化的图像是一条直线，如图2所示，a为火箭加速度的大小。已知直线的纵截距为b，斜率的绝对值为k，为明确其物理意义，请推导b、k的表达式。
半径为R的半圆形细玻璃管固定在竖直平面内，其右端是坐标原点，内壁光滑。第二、三象限存在水平向右的匀强电场，，第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场，电场强度，磁感应强度。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从第二象限某一位置P点以大小为、与水平方向成的速度斜向下进入匀强电场，恰好无碰撞进入细管的左端A，已知细管的内径略大于小球的直径，重力加速度。
(1)求小球到达A点的速度大小及时间；
(2)小球到达细管中Q点（图中未标出）时速度达到最大，求小球从P点到Q点的过程中合外力的冲量大小；
(3)若已知小球到达细管右端的速度大小为v，小球从原点运动到最高点时轨迹与x轴所围成的面积。
据报道，“嫦娥六号”着陆器和上升器组合体在距月面高处时速度为，在发动机作用下开始实施动力下降，到达着陆点上方处时速度降为0保持悬停。之后，组合体缓慢竖直下降，在距月面时关闭发动机，组合体自由下落。接触月面后，在缓冲系统的作用下经组合体速度降为0。已知组合体的质量为，月球表面的重力加速度，不考虑发动机喷气对组合体质量的影响。（计算结果保留2位有效数字）
(1)求在动力下降阶段，发动机对组合体做的功。
(2)已知组合体缓慢竖直下降过程中发动机的喷气速度为，求发动机每秒喷出气体的质量。
(3)已知缓冲系统由四个相同的着陆腿组成，且四个着陆腿与竖直方向的夹角均为，若地面对各着陆腿作用力的方向沿各着陆腿所在直线，求每个着陆腿平均承受的作用力的大小。
命题点二　动量与能量观点的综合应用
1．两大观点
动量的观点：动量定理和动量守恒定律．
能量的观点：动能定理和能量守恒定律．
2．解题技巧
(1)若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)．
(2)若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理．
(3)动量守恒定律、能量守恒定律(机械能守恒定律)、动能定理都只考查一个物理过程的初、末两个状态有关物理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的方便之处．特别对于变力做功问题，就更显示出它们的优越性．
某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道AB，半径、圆心角为的圆弧BCD，半径为R、圆心角为的圆弧DE组成，轨道间平滑连接。在轨道末端E点的右侧光滑水平地面FG上紧靠着质量的滑板b，其上表面与轨道末端E所在的水平面齐平。水平地面上距滑板右侧足够远处固定有挡板GH，滑板b与其碰撞时会立即被锁定。质量为的物块a从轨道AB上距B高度为处以初速度下滑，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE。物块a与轨道AB间的动摩擦因数，与滑板b间的动摩擦因数。（其他轨道均光滑，物块a视为质点，不计空气阻力，，）。
(1)若初速度，求物块a
①第一次通过D点时速度大小；
②在轨道AB上运动的总路程S。
(2)若物块a能沿轨道冲上滑板b，则
①应满足什么条件？
②滑板b至少要多长，物块a一定不会碰到挡板GH？
滑板运动是青少年喜欢的运动之一，某滑板运动场地如图所示，水平面BC与斜面AB和圆弧CD平滑连接，滑板爱好者站在滑板甲上由静止从A点滑下，同时另一完全相同的滑板乙从圆弧上的D点由静止释放。两滑板在水平面上互相靠近时，滑板爱好者跳到滑板乙上，并和滑板乙保持相对静止，此后两滑板沿同一方向运动且均恰好能到达D点，被站在D点的工作人员接收。已知斜面AB的倾角，圆弧CD的半径R=2m，圆心O与D点的连线与竖直方向的夹角，滑板质量m=4kg，滑板爱好者的质量M=60kg，不计空气阻力及滑板与轨道之间的摩擦，滑板爱好者与滑板均可视为质点，取，，。求：
（1）滑板乙在下滑过程中经过圆弧最低点时，对C点压力的大小；
（2）斜面上AB间的距离。
2022年2月10号，在北京举行的冬奥会男子冰壶项目的比赛中，中国男子队以战胜了强大的丹麦队，为国争光。冰壶运动最有魅力的地方就是运动员摩擦冰面的场景，摩擦冰面能在冰壶和冰面间形成水膜，从而减少摩擦，改变冰壶滑行的距离和方向，已知擦冰后冰面的动摩擦因数变为原来的，冰壶场地如图所示，已知前掷线和拦线的距离为L，某次比赛中A队先投，A队投掷第一个冰壶A时，冰壶A在前掷线以速度离手，冰壶运动过程中A队队员没有擦冰，冰壶A刚好停在拦线处，然后B队开始投掷第一个冰壶B，已知冰壶的质量都可视为相等。求：
（1）不擦冰时冰面的动摩擦因数；
（2）如果希望冰壶A运动距离变为原来的1.2倍，A队需要擦冰的长度x至少为多少？
（3）已知冰壶正碰的恢复系数为0.8，（恢复系数，为碰后速度，v为碰前速度），若B队要让冰壶A碰后在不擦冰的情况下刚好滑行0.09L，求冰壶B在前掷线离手速度的取值范围？
命题点三　力学三大观点解决多过程问题
1．表现形式
(1)直线运动：水平面上的直线运动、斜面上的直线运动、传送带上的直线运动．
(2)圆周运动：绳模型圆周运动、杆模型圆周运动、拱形桥模型圆周运动．
(3)平抛运动：与斜面相关的平抛运动、与圆轨道相关的平抛运动．
2．应对策略
(1)力的观点解题：要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度；(2)两大定理解题：应确定过程的初、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)；(3)过程中动量或机械能守恒：根据题意列方程。
如图所示，光滑水平地面上一个质量为的木板紧靠平台静置，的上表面与光滑平台相平。质量为、倾角为的光滑斜面体静止在平台上。质量为的物块静置在木板上。斜面体固定在平台上，将质量为的物块从斜面上距平台高度为处由静止释放，物块A脱离斜面体B后，与平台发生相互作用，物块垂直于平台方向的速度分量瞬间变为零，沿平台方向的速度分量不变。已知物块和均视为质点，与木板上表面的动摩擦因数均为，重力加速度，求
(1)物块在平台上运动时的速率；
(2)若物块和物块不能发生碰撞，物块到木板左端的最小距离；
(3)若斜面体不固定，从斜面上高度为处静止释放，开始时物块到木板左侧的距离为，物块与物块的碰撞为弹性碰撞，求物块与木板第一次共速时，物块与物块之间的距离。
一游戏装置的竖直截面如图所示，水平面上点左侧粗糙，右侧光滑，在点处有一静止小滑块长度为；一长木板静止在水平面上，其左侧与点刚好对齐，b上表面的右端放有小滑块，的右侧有一固定竖直挡板Q。现给一个水平瞬时冲量，使其获得向右的初速度。已知的质量分别为和 与间动摩擦因数与间的动摩擦因数与的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间很短，与挡板碰后速度大小不变、方向反向，始终在上不会脱落。小滑块看作质点，重力加速度大小取。
(1)求与碰后的瞬间，、的速度大小；
(2)若、第一次共速后，才与Q相碰，求、第一次碰后，两者之间的最大距离；
(3)在（2）问条件下，与Q第一次碰后撤去，从此刻开始，求运动的总路程。
如图所示，光滑倾斜轨道AB与长为的水平轨道BC通过一段光滑圆弧平滑连接，圆弧的半径为r=1m，BC右侧连接着长为L=3.0m的水平传送带CD，传送带始终以v=2m/s的速度顺时针方向匀速转动，与右端D相距处固定有一块竖直挡板EF。现将质量的滑块在AB某处静止释放，m1和静止在C点上的质量的滑块发生碰撞，已知m1、m2及皮带轮大小均可不计；m1、m2与BC和CD间的动摩擦因数均为μ=0.2，所有发生的碰撞都为弹性碰撞；求：
(1)若m2滑到D端速度恰好减为2m/s，则
①计算滑块m2在CD上的滑动时间；
②滑块m1从圆弧第一次滑过B点，碰撞后从水平轨道第二次到达B点，计算m1两次过B点时对轨道的压力差；
(2)调节滑块m1的释放高度h，使得m2、m1能先后与EF相撞于同一点上，求：能满足m2、m1打在挡板EF上同一位置的m1的最小释放高度；
(3)m2打在挡板EF上的最小动能。
如图甲所示，物块B和质量为的物块A用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在时刻以一定速度向右运动，在时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的图像如图乙所示。求：
(1)物块C的质量；
(2)物块C与物块A相碰过程中系统损失的机械能；
(3)从到，弹簧对物块A的冲量I的大小。
如图，水平传送带以v=5.0m/s的速率沿顺时针方向匀速转动，左、右两端各与一水平光滑轨道平滑对接，两对接处PQ间距L=1.6m。一轻质弹簧左端固定，右端在P点左侧，弹簧被滑块A（可看作质点，不与弹簧栓接）压缩至弹性势能。已知A的质量，A与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，质量的滑块B静止在传送带右侧的轨道上，A、B间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度大小g取。释放A弹簧弹性势能全部转化为A的动能，求：
(1)滑块A第1次运动至Q点时的速度；
(2)滑块A第2次在传送带上滑动的过程中，带动传送带的电机多消耗的能量。
如图（a），质量为的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的内表面光滑，半径，、分别为半圆形轨道的最低点和最高点。质量为的物块（可视为质点）静置在轨道上左端处，与水平轨道间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度。
(1)若轨道固定，物块以一定的初速度沿轨道恰好运动到点，求物块在点的速度大小；
(2)若轨道不固定，对物块施加水平向右逐渐增大的推力，物块在轨道段运动时，物块和轨道的加速度与对应关系如图（b）所示，求和；
(3)在第（2）问的数据条件下，若物块以的速度从处冲上轨道，物块可沿轨道到达点且恰好与轨道无作用力，运动过程中轨道段始终未脱离地面，求轨道段的长度。
如图所示，水平地面上静置一质量为的长木板，左端放有质量为的小物块，质量为的小球用细线悬挂在点，线长为。长木板右端位于地面的点，点为点在地面的投影。点右侧静置一质量为、半径的半圆形凹槽，槽内静置质量为的小球。槽的内壁光滑，为其水平直径，、两点的水平距离大于木板长度。小物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与点左侧地面间的动摩擦因数，点右侧地面光滑。现使小物块以某一初速度水平向右运动，当滑到长木板最右端时恰与木板相对静止，同时小物块与小球发生正碰，碰后两者立即粘在一起，之后细线偏离竖直方向的最大摆角。当小物块和小球刚摆至最高点时立即被取走。已知 ，，，重力加速度。
(1)求细线中最大拉力的大小；
(2)求长木板的长度；
(3)已知长木板通过点的过程中，所受地面的摩擦力大小与长木板未通过点部分的重力大小成正比，比例系数为。若长木板与凹槽碰后粘在一起，求碰后凹槽的最小速度的大小（结果可保留根号）。
如图所示，水平面上放置一左端固定在Q点、右端与物块A相连的轻质弹簧，弹簧的劲度系数k=20N/m。初始锁定物块A、B后放置在水平面上O点，此时弹簧伸长量x0=0.2m，A、B之间夹有不计质量的火药。水平面上O点左侧粗糙，右侧光滑，A与水平面间动摩擦因数μ1=0.08。水平面右下方有足够长的倾角θ=30°的斜面，水平面与斜面顶端P点的高度差h=0.6m，下端带有弹性挡板且板长L=4m的长木板C恰好静止在斜面顶端P点。解除A、B锁定，火药瞬间爆炸后，B向右运动，从水平面的右端水平抛出，恰好沿斜面方向落到长木板的顶端。已知A的质量mA=5kg，B的质量mB=1kg，C的质量mC=3kg，B与C之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力的影响，物块A、B均可看作质点。在运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能。求：
(1)物块B与C上的挡板发生第一次弹性碰撞前的速度大小；
(2)从爆炸开始到A最终静止，物块A通过的总路程；
(3)物块B和长木板C之间因摩擦产生的总热量。
如图所示，相距为的两物块和（均可视为质点）静置于足够长的斜面上，斜面的倾角为。物块的质量为，物块的质量为，物块与斜面间没有摩擦，物块与斜面间的动摩擦因数。同时由静止释放，此后间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间极短。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。求：
(1)第一次碰撞后瞬间A、B的速度大小；
(2)在第一次碰撞后到第二次碰撞前的过程中，A、B之间的最大距离；
(3)从静止释放物块A、B开始到第次碰撞前的过程中，物块与斜面间因摩擦所产生的热量。
如图所示，将一充满水的皮球放置在水平地面上，之后在皮球上扎个洞，水流从洞口喷出后在空中形成一段稳定的水柱，水流从洞口出射的速度方向与竖直方向成37°，洞口面积为，洞口到地面的高度为，水柱最高点离地高度为，水流与地面碰撞后沿水平方向散开，水的密度为，重力加速度大小g取。求：
(1)水从喷出到落地所用时间；
(2)水流对地面的冲击力；
(3)空中水柱的机械能（以地面为零势能面）。
如图所示，将一质量为的小物块P放在O点，某时刻用弹射装置将其弹出，使其沿着竖直面内半径为的光滑半圆形轨道OA运动，物块P恰好通过轨道最高点A。之后，物块P进入同一竖直面内一个半径为、圆心为O点的光滑半圆形管道AB（管径远小于），A、O、B在同一竖直线上，物块P的大小略小于管径且经过A、B两处时均无能量损失。管道AB与长度为的粗糙水平轨道BC相切于点B，在水平轨道BC末端C点放置另一质量为的小物块Q。P与水平轨道BC间的动摩擦因数，P运动到C点时与Q发生弹性正碰。EF为放在水平地面上的缓冲垫（厚度不计且物块落入后立即被吸附不反弹），EF离C点的竖直高度为，长度也为。P、Q均可视为质点，重力加速度为，不计空气阻力。求：
(1)P离开O点时速度；
(2)P到达半圆管道末端B点时，管道对P的作用力大小；
(3)要使P、Q碰后均能平抛落入缓冲垫EF，EF最左端E点离C点的水平距离应满足的条件。
如图甲所示，半径R＝0.9m的光滑半圆弧轨道COD固定在竖直平面内，端点D为轨道的最低点，过D点的轨道切线水平。在圆弧轨道圆心O的正上方F点右侧有一固定的水平轨道，水平轨道与倾角θ＝37°的固定粗糙斜面轨道平滑相接（物体通过时没有能量损失），斜面上E点距斜面底端的距离s0＝3.2m。现有质量分别为mA＝1kg，mB＝0.5kg的物块A、B静置于水平轨道上，且物块B的右侧水平轨道光滑，左侧水平轨道粗糙。物块A、B中间夹有少量炸药，炸药突然爆炸，爆炸后物块A在水平轨道上运动的速度v与时间t的关系图像如图乙所示，物块A从F点离开轨道，刚好能从C点切入圆弧轨道做圆周运动。已知物块A与左侧水平轨道和物块B与斜面轨道间的动摩擦因数相同，A、B均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，1.34。求：
(1)物块A经过D点时受到圆弧轨道的支持力FN的大小；
(2)物块A与左侧水平轨道间的动摩擦因数μ；
(3)若从物块B运动到斜面轨道底端时开始计时，经多长时间通过E点。（计算结果保留三位有效数字）
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