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第19讲　电荷守恒定律　电场力的性质
知识内容 说明
电荷及其守恒定律 1、常考查对基本概念的理解，如判断不同起电方式下电荷的转移情况、根据电荷分布判断电场强度的大小和方向、分析点电荷在电场中的受力情况等。也可能考查简单的计算，如利用库仑定律计算两电荷间的作用力，或根据电场强度的定义式和叠加原理计算某点的电场强度。 2、通常会结合力学知识综合考查。例如，以带电粒子在电场中的运动为背景，考查粒子的受力分析、运动状态变化，要求考生运用牛顿第二定律、动能定理等知识求解粒子的加速度、速度、位移等物理量。或者以电场中的平衡问题为背景，通过受力分析，结合库仑定律和力的平衡条件求解相关未知量。还可能与电场线、等势面等知识相结合，考查考生对电场性质的综合理解和应用能力。
库仑定律
电场强度
一、电荷及其守恒定律
1．元电荷
最小的电荷量，其值为e＝1.60×10－19_C.
其他带电体的电荷量皆为元电荷的整数倍．
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持不变．
(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子．
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量．
3．适用条件：真空中的点电荷．
三、电场强度
1．场强公式的比较
三个公式
2．电场的叠加
(1)电场的叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和．
(2)运算法则：平行四边形定则．
四、电场线
1．特点
(1)电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远处或负电荷；
(2)电场线在电场中不相交；
(3)在同一电场里，电场线越密的地方场强越大；
(4)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向；
(5)沿电场线方向电势逐渐降低；
(6)电场线和等势面在相交处相互垂直．
2．几种典型电场的电场线(如图1)
命题点一　库仑定律的理解和应用
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图3所示．
图3
(1)同种电荷：F＜k；(2)异种电荷：F＞k.
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
如图所示质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为Q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l。O点与小球 B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则（　　）

A．A、B间库仑力大小
B．A、B间库仑力
C．小球B的带电量为
D．细线拉力大小
如图，在粗糙水平地面上放置一倾角的绝缘斜面，斜面上方某处固定一带正电的小球，一可视为点电荷的滑块静止于斜面上，小球和滑块的连线与斜面垂直，滑块与斜面之间的动摩擦因数为。则关于滑块的情况，下列说法正确的是（　　）
A．滑块带负电
B．将带电小球沿两者的连线靠近滑块，滑块受到的摩擦力将变大
C．将带电小球沿两者的连线远离滑块，滑块将有可能与斜面发生相对运动
D．将带电小球沿两者的连线靠近滑块，滑块将有可能与斜面出现相对运动
如图所示，在点电荷Q产生的电场作用下，位于Q下方的原子的负电荷中心与正电荷中心出现很小距离l（l远小于h），形成电偶极子，此过程称为原子极化。电偶极矩p是电偶极子的特征量，且，其中q为电偶极子中正、负点电荷所带电荷量的绝对值，实验显示p=αE，α为极化系数，只与原子本身有关，E为Q在电偶极子中心产生的电场强度。被极化的原子与点电荷Q之间的电场力为F，则（　　）
A．若点电荷Q电荷量加倍，F将变为原来的2倍
B．若点电荷Q电荷量加倍，F将变为原来的8倍
C．若点电荷Q与电偶极子中心间距离h减半，F将变为原来的16倍
D．若点电荷Q与电偶极子中心间距离h减半，F将变为原来的32倍
如图所示，一光滑大圆环固定在竖直平面内，其半径为R，一带负电、质量为m的小球A套在圆环上，圆环中心固定一带正电的小球B，两球之间的库仑力大小为0.5mg（g为重力加速度，两球均视为点电荷）。若将小球A从光滑大圆环顶部由静止开始释放，从大圆环最高点运动到最低点的过程中，求：
(1)小球A运动到圆环最低点时的速率；
(2)两小球连线与竖直方向角度多大时，小球A对大圆环的压力为零
命题点二　电场强度的理解
类型1　点电荷电场强度的叠加及计算
等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，方向指向负电荷 为零
连线上的场强大小(从左到右)　 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小　　 O点最大，向外逐渐变小 O点为零，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强　　 等大同向 等大反向
类型2　非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
如图所示，两个可看做点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘边缘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从=0沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度Ex随变化的图像（如图乙）和沿y方向的电场强度Ey随变化的图像（如图丙）。下列说法正确的是（　　）
A．小球A带负电荷，小球B带正电荷
B．小球A、B所带电荷量之比为1∶2
C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小
D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度最小值为0
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在外产生的电场．如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，为通过半球顶点与球心O的直线，且．若A、B点的电场强度大小分别为和，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，完全相同的四分之一绝缘圆弧所带电荷量的绝对值相等，且电荷均匀分布。下列四种放置方法中坐标原点均与圆弧的圆心重合，则坐标原点处电场强度最大的是（　　）
A． B．
C． D．
图中箭头所示的是真空中两点电荷中垂线上某点p的场强方向，关于两点电荷带电性质以及电量多少的判断，下列选项中正确的是（　　）
A．，且带正电
B．，带正电，带负电
C．，负电，正电
D．，正电，负电
命题点三　电场中的平衡问题
涉及电场力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了电场力，具体步骤如下：
注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向．
如图所示为密立根油滴实验示意图，两块水平放置的平行金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把许多油滴从上板中间的小孔喷入电场。油滴从喷口出来时由于摩擦而带负电，油滴的大小、质量各不相同。油滴进入电场时的初速度、油滴间的相互作用及空气对油滴的浮力忽略不计。下列说法正确的是（　　）
A．悬浮的油滴所带的电荷量一定相等
B．若某油滴向下加速运动，则重力和静电力的合力做负功
C．若某油滴向下加速运动，减小平行金属板间距离，可使油滴处于平衡状态
D．若某油滴悬浮不动，增加平行金属板两端电压，则油滴仍不动
如图所示，一轻质细绳两端固定于两根竖直杆等高的P、Q两点，带电小球通过光滑绝缘轻挂钩挂在细绳上，小球静止时细绳位置如图中实线所示。现加一水平向右的匀强电场，当小球再次平衡时，细绳位置如图中虚线所示。已知绳长保持不变，当小球再次平衡时，下列说法正确的是（　　）
A．挂钩两侧细绳的夹角和原来相等
B．挂钩对小球的作用力比原来大
C．细绳对挂钩的作用力大小和原来相等
D．两杆在P、Q两点对细绳的作用力比原来小
A、B两小球质量相等，A球不带电，B球带正电，光滑的绝缘斜面倾角为，图甲中，A、B两球用轻质绝缘弹簧相连，图乙中，A、B两球用轻质绝缘杆相连，两个装置均处于平行于斜面向上的匀强电场E中，此时A、B两球组成的系统均处于静止状态，轻弹簧、轻杆均与斜面平行，重力加速度大小为g，当撤去匀强电场E的瞬间，则下列说法正确的是（　　）
A．两图中A、B两球的加速度大小均为
B．两图中A球的加速度大小均为零
C．图乙中轻杆的作用力一定不为零
D．图甲、乙中B球的加速度大小之比为
如图所示，长的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角。已知小球所带电荷量，匀强电场的场强，取重力加速度。求：
（1）小球所受电场力的大小和方向；
（2）小球的质量；
命题点四　力电综合问题
电场力虽然从本质上区别于力学中的重力、弹力、摩擦力，但产生的效果遵循牛顿力学中的所有规律，因此带电体在电场力作用下的运动问题(尤其是力电综合问题)依然需要根据力学解题思路求解．
一带电荷量为＋q的滑块放在粗糙水平地面上，空间存在水平向右、电场强度大小为E的匀强电场，给滑块一向右的初速度，滑块恰好做匀速直线运动。突然在空间施加沿纸面与水平方向成60°角、斜向右下方、电场强度大小也为E的另一匀强电场，滑块仍然做匀速直线运动，关于滑块在两个叠加电场中的运动，下列说法正确的是（　　）
A．滑块对地面的压力大小为
B．滑块与地面间的动摩擦因数为
C．滑块受到地面的滑动摩擦力大小为
D．滑块在两个叠加电场中运动时受到的电场力与受到的重力大小相等
如图所示，水平向右的匀强电场中，绝缘丝线一端固定悬挂于O点，另一端连接一带负电小球，小球质量为m，电荷量为Q。O点正下方投影为M点。等量异种电荷A、B的电荷量均为Q，对称放置于M点两侧，小球静止时恰好处于的中点N处。已知，且绝缘丝线，静电力常数为k，求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）撤去匀强电场，保持A、B位置不变，三者电性不变，A、B和小球的电荷量均变为（未知），保持电荷量仍相等，换一根绝缘丝线让小球仍静止于N点，平衡时丝线与竖直方向所成的夹角为、求等量异种电荷A、B在N处产生的总场强（已知）。


如图所示，与水平面成30°角的绝缘细杆AD穿过一固定均匀带电圆环，并垂直圆环所在平面，细杆与平面的交点为圆环的圆心O。一套在细杆上的小球从A点以某一初速度向上运动，恰能到达D点。已知绝缘细杆与小球间的动摩擦因数，圆环半径为L、带电量为+Q，小球的质量为m、带电量为+q，，静电力常量为k，重力加速度大小为g，求：
（1）圆环在C点产生的场强；
（2）小球在A点的速度大小。
光滑绝缘水平面AB上有C、B两点。CB长L＝21cm。另有一半径R=0.1m竖直放置的光滑半圆形金属导轨BM与水平面平滑相连，金属导轨BM接地，连接处能量无损失。现将一个带电量为Q的点电荷，固定在C点，如图所示。将另一带电量为＋q，质量的金属小球（可视为点电荷）从D点（B、C间一点）静止释放，（感应电荷的影响忽略不计），若小球过圆弧的最高点后恰能击中C处的点电荷，已知金属小球进入金属导轨时，电量都导入大地，此后不带电（重力加速度）求：
（1）小球在最高点M点时对轨道的压力为多大？
（2）若不改变小球的质量而改变小球的电量q，仍从D点由静止释放，发现小球落地点到B点的水平距离s与小球的电量q满足下面图像的关系，则点电荷Q的电场在DB两点的电势差？
关于两个点电荷之间的静电力，下列说法正确的是（　　）
A．一定是引力 B．是通过电场而产生的
C．跟距离成反比 D．跟带电荷量无关
如图所示，在直角坐标系中，先固定一个不带电的金属导体球B，半径为，球心的坐标为。再将一点电荷A固定在原点处，带电量为。是轴上的两点，两点对称地分布在轴两侧，点到坐标原点的距离均为与金属导体球B的外表面相切于点，已知金属导体球B处于静电平衡状态，为静电力常量，则下列说法正确的是（　　）
A．图中两点的电势相等
B．两点处电场强度相同
C．金属导体球B上的感应电荷在外表面处的场强大小一定为
D．金属导体球B上的感应电荷在球心处产生的电场强度大小一定为
如图所示，A、B、C为真空中边长为L的正三角形的三个顶点，D为AB中点，在A、B两点各固定一个电荷量为＋q的点电荷，在C点固定一个电荷量为＋2q的点电荷，静电力常量为k，则D点的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
如图甲所示，a、b、c为同一水平直线上的三点，在点c右边固定着两点电荷、，时一电荷量为的试探电荷从b点沿着ba方向运动，速度大小为，时刻到达a点，其图像如图乙所示，若带负电，则（　　）
A．从c点到a点电势能先减小后增大
B．一定带正电，且电荷量大于
C．c点和b点之间可能存在电场强度为零的点
D．c点电场强度方向一定水平向左
如图为著名的密立根油滴实验装置：水平放置的两平行绝缘金属板间距，两极板间电压。在上极板的中间开一小孔，使质量的微小带电油滴从这个小孔落到极板中，观察到油滴缓慢降落，最终悬浮在距上极板的位置，规定下极板的电势为零，取，则油滴在点的电势能为（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，用两根同样长的绝缘细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点。小球A的质量大于小球B的质量，小球A所带的电荷量大于小球B所带的电荷量。两小球静止时，细绳与竖直方向的夹角分别为α和β，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　）
A．小球A受到的库仑力大于小球B受到的库仑力
B．小球A受到的库仑力小于小球B受到的库仑力
C．α＜β
D．α＞β
如图所示，、、为真空中边长为的正三角形的三个顶点，为中点，在、两点各固定一个电荷量为的点电荷，在点固定一个电荷量为的点电荷，静电力常量为，则点的电场强度大小为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，A、B两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d，带电小球C固定在的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B两个小球绕过C的竖直轴转动（转动角速度可变，之间距离不变），已知三个小球均可视为质点，A、B两个小球的质量均为m，带电量均为，小球C的带电量大小为，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）

A．C球带正电
B．A球转动的角速度ωA为
C．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，C的电荷量为
D．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，B球转动的角速度ωB为
静电场中有一水平光滑绝缘桌面，桌面上有一电场线与x轴重合，将一个质量为m、电荷量为可视为点电荷的带电小球从桌面上坐标处由静止释放后，小球沿x轴向正方向运动，其加速度a随坐标x变化的图像如图所示。小球在运动过程中电荷量不发生变化，下列说法正确的是（ ）
A．该电场为匀强电场 B．该电场线上电场的方向沿x轴负方向
C．小球运动到处的速度大小为 D．小球运动到处速度减为0
如图所示，不带电的半径为r的空心金属球放在绝缘支架上，右侧放一个电荷量为+Q的点电荷，点电荷到金属球球心的距离为3r，达到静电平衡后，下列说法正确的是（　　）
A．金属球的左侧感应出负电荷，右侧感应出正电荷
B．点电荷Q在金属球内产生的电场的场强处处为零
C．若用导线连接球的左右两侧，球两侧都不带电
D．感应电荷在金属球球心处产生的电场场强大小为
图甲为一段粗细均匀的绝缘材料制成的圆环，使其均匀带电后，它在圆心处产生的场强大小为E。现将该环裁掉后变成图乙所示的半圆环，则它在圆心处的场强大小为（　　）
A． B． C． D．
图A所示是半径为R的圆心角为的均匀带电圆环，带电量为Q，图B所示是半径为R的圆心角为的均匀带电圆环，带电量为2Q。将电荷量为q的试探电荷分别放在图A、B圆环的圆心处，若已知图A中环对试探电荷的静电力大小为F，则图B中环对试探电荷的静电力大小为（　　）
A． B．F C． D．2F
如图所示，真空中两个电荷量均为的点电荷分别固定在同一水平线上的A、B两点，O为连线的中点，C、D为连线竖直中垂线上关于O点对称的两点，A、C两点的距离为r，与的夹角为。已知连线竖直中垂线上的点到A点的距离为x，则该点的电势为（以无穷远处为零电势点），静电力常量为k，重力加速度为g。
（1）求C点的电场强度；
（2）将一质量为M带负电的小球从D点以某一初速度向上抛出，恰能上升到C点，求抛出时的速度；
（3）一个质量为m、电荷量为的试探电荷（重力不计）从C点以某一竖直向下的初速度运动，若此电荷能够到达O点，求其在C点的速度最小值。
在粗糙绝缘水平桌面上，以O点为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy，在坐标为（，0）的M点和（，0）的N点处分别固定电荷量为和的带电体（可视为点电荷），在坐标为（0，）处有一带电荷量为的滑块（可视为质点），滑块通过长为l的绝缘轻细绳与O点相连。给滑块一沿x轴正方向的初速度，使滑块绕O点逆时针做圆周运动，在此过程中，当滑块运动到图中a点时速度达到最大值，此时，当滑块运动到b点（图中未标出）时滑块的电势能最小，此时。已知静电力常量为k，，。求：
（1）运动过程中滑块受到的滑动摩擦力大小；
（2）滑块的电势能最小时，的值（可用根号表示）。

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第19讲　电荷守恒定律　电场力的性质
知识内容 说明
电荷及其守恒定律 1、常考查对基本概念的理解，如判断不同起电方式下电荷的转移情况、根据电荷分布判断电场强度的大小和方向、分析点电荷在电场中的受力情况等。也可能考查简单的计算，如利用库仑定律计算两电荷间的作用力，或根据电场强度的定义式和叠加原理计算某点的电场强度。 2、通常会结合力学知识综合考查。例如，以带电粒子在电场中的运动为背景，考查粒子的受力分析、运动状态变化，要求考生运用牛顿第二定律、动能定理等知识求解粒子的加速度、速度、位移等物理量。或者以电场中的平衡问题为背景，通过受力分析，结合库仑定律和力的平衡条件求解相关未知量。还可能与电场线、等势面等知识相结合，考查考生对电场性质的综合理解和应用能力。
库仑定律
电场强度
一、电荷及其守恒定律
1．元电荷
最小的电荷量，其值为e＝1.60×10－19_C.
其他带电体的电荷量皆为元电荷的整数倍．
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持不变．
(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子．
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量．
3．适用条件：真空中的点电荷．
三、电场强度
1．场强公式的比较
三个公式
2．电场的叠加
(1)电场的叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和．
(2)运算法则：平行四边形定则．
四、电场线
1．特点
(1)电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远处或负电荷；
(2)电场线在电场中不相交；
(3)在同一电场里，电场线越密的地方场强越大；
(4)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向；
(5)沿电场线方向电势逐渐降低；
(6)电场线和等势面在相交处相互垂直．
2．几种典型电场的电场线(如图1)
命题点一　库仑定律的理解和应用
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图3所示．
图3
(1)同种电荷：F＜k；(2)异种电荷：F＞k.
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
如图所示质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为Q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l。O点与小球 B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则（　　）

A．A、B间库仑力大小
B．A、B间库仑力
C．小球B的带电量为
D．细线拉力大小
【答案】D
【详解】D．A的受力如图所示

几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例
解得
故D正确；
ABC．由余弦定律得
几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例
可得
解得
故ABC错误。
故选D。
如图，在粗糙水平地面上放置一倾角的绝缘斜面，斜面上方某处固定一带正电的小球，一可视为点电荷的滑块静止于斜面上，小球和滑块的连线与斜面垂直，滑块与斜面之间的动摩擦因数为。则关于滑块的情况，下列说法正确的是（　　）
A．滑块带负电
B．将带电小球沿两者的连线靠近滑块，滑块受到的摩擦力将变大
C．将带电小球沿两者的连线远离滑块，滑块将有可能与斜面发生相对运动
D．将带电小球沿两者的连线靠近滑块，滑块将有可能与斜面出现相对运动
【答案】C
【详解】A．因为
欲使滑块静止于斜面上，必须增大其对斜面的正压力，故滑块受到带电小球的库仑力为斥力，故滑块带正电，A错误；
B．无论将带电小球沿两者的连线靠近或者远离滑块，只要处于静止状态，其所受斜面的静摩擦力总是与其重力的下滑分力等大反向，静摩擦力不变，B错误；
CD．但若远离，库仑力随距离增大而减小，滑块对斜面的正压力减小，其最大静摩擦力减小，故有可能出现相对滑动，C正确。
D．但若靠近，库仑力随距离减小而增大，滑块对斜面的正压力增大，其最大静摩擦力增大，故不可能出现相对滑动，D错误。
故选C。
如图所示，在点电荷Q产生的电场作用下，位于Q下方的原子的负电荷中心与正电荷中心出现很小距离l（l远小于h），形成电偶极子，此过程称为原子极化。电偶极矩p是电偶极子的特征量，且，其中q为电偶极子中正、负点电荷所带电荷量的绝对值，实验显示p=αE，α为极化系数，只与原子本身有关，E为Q在电偶极子中心产生的电场强度。被极化的原子与点电荷Q之间的电场力为F，则（　　）
A．若点电荷Q电荷量加倍，F将变为原来的2倍
B．若点电荷Q电荷量加倍，F将变为原来的8倍
C．若点电荷Q与电偶极子中心间距离h减半，F将变为原来的16倍
D．若点电荷Q与电偶极子中心间距离h减半，F将变为原来的32倍
【答案】D
【详解】点电荷Q对电偶极子的作用力为
由于h远大于，则
又因为
联立解得
若点电荷Q电荷量加倍，F将变为原来的4倍；若点电荷Q与电偶极子中心间距离h减半，F将变为原来的32倍。
故选D。
如图所示，一光滑大圆环固定在竖直平面内，其半径为R，一带负电、质量为m的小球A套在圆环上，圆环中心固定一带正电的小球B，两球之间的库仑力大小为0.5mg（g为重力加速度，两球均视为点电荷）。若将小球A从光滑大圆环顶部由静止开始释放，从大圆环最高点运动到最低点的过程中，求：
(1)小球A运动到圆环最低点时的速率；
(2)两小球连线与竖直方向角度多大时，小球A对大圆环的压力为零
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球A沿大圆环运动时，圆环的弹力不做功，B对A的库仑力不做功，由动能定理
解得
（2）假设两小球连线与竖直方向夹角为，根据动能定理
小球对大圆环的压力为0时，重力分量与库仑力的合力指向圆心，提供向心力
联立上式得
命题点二　电场强度的理解
类型1　点电荷电场强度的叠加及计算
等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，方向指向负电荷 为零
连线上的场强大小(从左到右)　 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小　　 O点最大，向外逐渐变小 O点为零，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强　　 等大同向 等大反向
类型2　非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
如图所示，两个可看做点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘边缘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从=0沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度Ex随变化的图像（如图乙）和沿y方向的电场强度Ey随变化的图像（如图丙）。下列说法正确的是（　　）
A．小球A带负电荷，小球B带正电荷
B．小球A、B所带电荷量之比为1∶2
C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小
D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度最小值为0
【答案】B
【详解】A．乙、丙两图可知，当时，小球B在O点正上方，此时
则说明小球A一定在y轴上固定；当时有
小球B在O点正右侧，而水平方向场强方向为x轴负向，则说明小球B为正电荷，此时
说明竖直方向的场强方向为y轴负向，若小球A在O点正上方固定，则小球A带正电荷，若小球A在O点正下方固定，则小球A带负电荷，所以小球A的带电性质不能确定，故A错误；
B．由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘，所以到O点的距离r相同，当时有、
由
可得
故B正确；
C．盘中心O处的电场强度为小球A和小球B在O点产生的场强的矢量和，随着小球B从转到2π的过程中，和大小都不变，和的夹角在增大的过程中，当时，O处的合场强最大；当时，O处的合场强最小；所以小球B从转到2π的过程中，中心O处的合场强先增大后减小再增大，故CD错误；
D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，当时，O处的合场强最小，其值大小为
故D错误。
故选B。
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处在外产生的电场．如图所示，在半径为r的半球面上均匀分布着正电荷，为通过半球顶点与球心O的直线，且．若A、B点的电场强度大小分别为和，静电力常量为k，则半球面上的电荷量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设半球面上的电荷量为q，补全右半球面，球面上也均匀的带上电荷量为q的正电荷，则完整带电球面可以等效为在球心O处的电荷量为的点电荷，根据题意，该点电荷在A点产生的电场强度为
解得
故选B。
如图所示，完全相同的四分之一绝缘圆弧所带电荷量的绝对值相等，且电荷均匀分布。下列四种放置方法中坐标原点均与圆弧的圆心重合，则坐标原点处电场强度最大的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意每个四分之一圆弧在O点形成的电场强度大小均相等（设为E），但方向有所不同，如图所示，可知A选项对应坐标原点O处场强最大。
图中箭头所示的是真空中两点电荷中垂线上某点p的场强方向，关于两点电荷带电性质以及电量多少的判断，下列选项中正确的是（　　）
A．，且带正电
B．，带正电，带负电
C．，负电，正电
D．，正电，负电
【答案】A
【详解】合场强向外，且夹在ap、bp连线之间偏右，则可知，且ab均为正电荷，两点电荷电荷在P点的原场强如图所示
故选A。
命题点三　电场中的平衡问题
涉及电场力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了电场力，具体步骤如下：
注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向．
如图所示为密立根油滴实验示意图，两块水平放置的平行金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把许多油滴从上板中间的小孔喷入电场。油滴从喷口出来时由于摩擦而带负电，油滴的大小、质量各不相同。油滴进入电场时的初速度、油滴间的相互作用及空气对油滴的浮力忽略不计。下列说法正确的是（　　）
A．悬浮的油滴所带的电荷量一定相等
B．若某油滴向下加速运动，则重力和静电力的合力做负功
C．若某油滴向下加速运动，减小平行金属板间距离，可使油滴处于平衡状态
D．若某油滴悬浮不动，增加平行金属板两端电压，则油滴仍不动
【答案】C
【详解】A．油滴进入电场后受重力与电场力，若油滴悬浮不动，说明重力与电场力平衡即
则
则油滴比荷相等，电荷量不一定相等，故A错误；
B．若某油滴向下加速运动，根据动能定理可知，重力与静电力的合力做正功，故B错误；
C．若某油滴向下加速运动，说明重力大于电场力，减小平行金属板间距离，根据可知电场力增大，从而使油滴处于平衡状态，故C正确；
D．若某油滴悬浮不动，增加平行金属板两端电压，根据可知，电场力增大，则油滴向上运动，故D错误。
故选C。
如图所示，一轻质细绳两端固定于两根竖直杆等高的P、Q两点，带电小球通过光滑绝缘轻挂钩挂在细绳上，小球静止时细绳位置如图中实线所示。现加一水平向右的匀强电场，当小球再次平衡时，细绳位置如图中虚线所示。已知绳长保持不变，当小球再次平衡时，下列说法正确的是（　　）
A．挂钩两侧细绳的夹角和原来相等
B．挂钩对小球的作用力比原来大
C．细绳对挂钩的作用力大小和原来相等
D．两杆在P、Q两点对细绳的作用力比原来小
【答案】B
【详解】A．设绳长为L，因光滑轻质挂钩，可知两边绳子的拉力相等，设为F，绳子与竖直方向的夹角相等，则由平衡可知
受到水平向右的电场力时，四力平衡，两个绳子的拉力的合力与重力、电场力的合力相平衡，设有风时绳子夹角的一半为
由几何关系有
由上述分析可知不加电场时，由几何关系有
因为
联立可知
故A错误；
B．根据平衡可知，加上电场力后，挂钩对小球的作用力等于重力和电场力的合力，大于小球重力，故B正确
C．细绳对挂钩的作用力大小等于重力和电场力的合力，大于原来的作用力，即重力大小，故C错误；
D．两杆在P、Q两点对细绳的作用力
根据等式可知，无法判断绳中弹力变化，根据牛顿第三定律可知，两杆在P、Q两点对细绳的作用力无法判断，故D错误。
故选B。
A、B两小球质量相等，A球不带电，B球带正电，光滑的绝缘斜面倾角为，图甲中，A、B两球用轻质绝缘弹簧相连，图乙中，A、B两球用轻质绝缘杆相连，两个装置均处于平行于斜面向上的匀强电场E中，此时A、B两球组成的系统均处于静止状态，轻弹簧、轻杆均与斜面平行，重力加速度大小为g，当撤去匀强电场E的瞬间，则下列说法正确的是（　　）
A．两图中A、B两球的加速度大小均为
B．两图中A球的加速度大小均为零
C．图乙中轻杆的作用力一定不为零
D．图甲、乙中B球的加速度大小之比为
【答案】D
【分析】本题考查牛顿第二定律的瞬时性，意在考查考生的理解能力。
【详解】AB．题图甲、乙中两球组成的系统静止时，对两球组成的系统受力分析，可得B球受到的电场力均为，轻弹簧和轻杆的弹力均为，突然撤去匀强电场时，轻弹簧中弹力不变，题图甲中A球加速度为零，B球加速度大小为，轻杆中弹力发生突变，题图乙中A、B两球的加速度大小均为，轻杆的弹力突变为零，故ABC错误；
D．在撤去匀强电场的瞬间，题图甲中B球的加速度大小为，题图乙中B球加速度大小为，故D正确。
如图所示，长的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角。已知小球所带电荷量，匀强电场的场强，取重力加速度。求：
（1）小球所受电场力的大小和方向；
（2）小球的质量；
【答案】（1），方向水平向右；（2）
【详解】根据电场强度的定义式可得
解得
方向水平向右；
根据平衡条件可得
解得
命题点四　力电综合问题
电场力虽然从本质上区别于力学中的重力、弹力、摩擦力，但产生的效果遵循牛顿力学中的所有规律，因此带电体在电场力作用下的运动问题(尤其是力电综合问题)依然需要根据力学解题思路求解．
一带电荷量为＋q的滑块放在粗糙水平地面上，空间存在水平向右、电场强度大小为E的匀强电场，给滑块一向右的初速度，滑块恰好做匀速直线运动。突然在空间施加沿纸面与水平方向成60°角、斜向右下方、电场强度大小也为E的另一匀强电场，滑块仍然做匀速直线运动，关于滑块在两个叠加电场中的运动，下列说法正确的是（　　）
A．滑块对地面的压力大小为
B．滑块与地面间的动摩擦因数为
C．滑块受到地面的滑动摩擦力大小为
D．滑块在两个叠加电场中运动时受到的电场力与受到的重力大小相等
【答案】BCD
【分析】本题考查带电物体在电场中的运动，目的是考查学生的创新能力。
【详解】ABC．只有水平电场时滑块匀速运动，则
再加沿纸面与水平方向成60°角、斜向右下方、电场强度大小也为E的另一匀强电场时滑块也做匀速运动，则
解得
故A错误，BC正确；
D．滑块在叠加电场中运动时受到的电场力
故D正确。
故选BCD。
如图所示，水平向右的匀强电场中，绝缘丝线一端固定悬挂于O点，另一端连接一带负电小球，小球质量为m，电荷量为Q。O点正下方投影为M点。等量异种电荷A、B的电荷量均为Q，对称放置于M点两侧，小球静止时恰好处于的中点N处。已知，且绝缘丝线，静电力常数为k，求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）撤去匀强电场，保持A、B位置不变，三者电性不变，A、B和小球的电荷量均变为（未知），保持电荷量仍相等，换一根绝缘丝线让小球仍静止于N点，平衡时丝线与竖直方向所成的夹角为、求等量异种电荷A、B在N处产生的总场强（已知）。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）对小球受力分析可知
解得
对球的库仑力
小球在匀强电场中受到的电场力
由受力平衡有
联立解得

（2）撤去电场后，小球受力平衡，有
其中
解得
等量异种电荷在处产生的总场强
如图所示，与水平面成30°角的绝缘细杆AD穿过一固定均匀带电圆环，并垂直圆环所在平面，细杆与平面的交点为圆环的圆心O。一套在细杆上的小球从A点以某一初速度向上运动，恰能到达D点。已知绝缘细杆与小球间的动摩擦因数，圆环半径为L、带电量为+Q，小球的质量为m、带电量为+q，，静电力常量为k，重力加速度大小为g，求：
（1）圆环在C点产生的场强；
（2）小球在A点的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意可知，圆环上电荷分布均匀，取环上一点，设其电荷量为Q1，该点到C点的距离为
圆环上某点和C点的连线与细杆的夹角为θ，如图所示
根据数学知识
解得
则Q1在C点产生的场强为
以O点为坐标原点，OC方向为正方向建立x轴，Q1在C点产生的场强在x轴方向的分量为
同理，圆环上某点的对称点在C点产生的场强在x轴方向的分量为
因此圆环上沿垂直与细杆方向的合场强为零，设圆环上有n个Q1点，则电荷量
则圆环在C点产生的场强大小为
（2）根据题意，由对称性可知，小球从A点运动到D点过程中，电场力做功为零，由动能定理有
解得
光滑绝缘水平面AB上有C、B两点。CB长L＝21cm。另有一半径R=0.1m竖直放置的光滑半圆形金属导轨BM与水平面平滑相连，金属导轨BM接地，连接处能量无损失。现将一个带电量为Q的点电荷，固定在C点，如图所示。将另一带电量为＋q，质量的金属小球（可视为点电荷）从D点（B、C间一点）静止释放，（感应电荷的影响忽略不计），若小球过圆弧的最高点后恰能击中C处的点电荷，已知金属小球进入金属导轨时，电量都导入大地，此后不带电（重力加速度）求：
（1）小球在最高点M点时对轨道的压力为多大？
（2）若不改变小球的质量而改变小球的电量q，仍从D点由静止释放，发现小球落地点到B点的水平距离s与小球的电量q满足下面图像的关系，则点电荷Q的电场在DB两点的电势差？
【答案】（1）；（2）450V
【详解】（1）设小球在最高点速度为v，恰好水平抛出能击中C点，则有
联立可得
设最高点压力为N，则有
解得
由牛顿第三定律可得对轨道压力
（2）带电小球从D开始运动，设D、B电势差为，经金属轨道到从最高点下落，根据平抛运动规律可知
可得速度
由动能定理得
联立可得函数关系为
当q=0时，纵轴截距为
通过图线的坐标，斜率
而斜率
可得
关于两个点电荷之间的静电力，下列说法正确的是（　　）
A．一定是引力 B．是通过电场而产生的
C．跟距离成反比 D．跟带电荷量无关
【答案】B
【详解】AB．两个点电荷之间的静电力是通过电场而产生的，可以是引力也可以是斥力，故A错误，B正确；
CD．根据库仑定律可知，静电力跟距离的平方成反比，与电荷量有关，故CD错误。
故选B。
如图所示，在直角坐标系中，先固定一个不带电的金属导体球B，半径为，球心的坐标为。再将一点电荷A固定在原点处，带电量为。是轴上的两点，两点对称地分布在轴两侧，点到坐标原点的距离均为与金属导体球B的外表面相切于点，已知金属导体球B处于静电平衡状态，为静电力常量，则下列说法正确的是（　　）
A．图中两点的电势相等
B．两点处电场强度相同
C．金属导体球B上的感应电荷在外表面处的场强大小一定为
D．金属导体球B上的感应电荷在球心处产生的电场强度大小一定为
【答案】D
【详解】A．由于感应电荷对场源电荷的影响，且沿着电场线方向电势逐渐降低，可得，故A错误；
B．b、c两点处电场强度大小相等，方向不同，故B错误：
C．点电荷A在d处的场强大小为
但金属导体球外表面场强不为零，则金属导体球B上的感应电荷在外表面d处的场强大小不等于，故C错误；
D．点电荷A在处的场强大小为
方向沿x轴正方向，金属导体球B处于静电平衡状态，其内部电场强度为零，则金属导体球B上的感应电荷在球心处产生的电场强度为，方向x轴负方向，故D正确。
故选D。
如图所示，A、B、C为真空中边长为L的正三角形的三个顶点，D为AB中点，在A、B两点各固定一个电荷量为＋q的点电荷，在C点固定一个电荷量为＋2q的点电荷，静电力常量为k，则D点的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A、B两点处的点电荷在D点处产生的电场强度大小为0，故三个点电荷在D点处产生的电场强度大小
故选B。
如图甲所示，a、b、c为同一水平直线上的三点，在点c右边固定着两点电荷、，时一电荷量为的试探电荷从b点沿着ba方向运动，速度大小为，时刻到达a点，其图像如图乙所示，若带负电，则（　　）
A．从c点到a点电势能先减小后增大
B．一定带正电，且电荷量大于
C．c点和b点之间可能存在电场强度为零的点
D．c点电场强度方向一定水平向左
【答案】B
【详解】A．由图像可知，在ab之间存在加速度为零的位置，即在ab之间某位置（设为d点）场强为零，且图乙可知粒子从b到a，速度先减小后增大，可知d点右侧+q受到的电场力方向向右，可知d点左侧+q受到的电场力方向向左，则从c点到a点，电场力对+q先做负功后做正功，所以从c点到a点电势能先增大后减小 ，故A错误；
BC．由于在ab之间某位置场强为零，因带负电，可知一定带正电，因距离场强为零的位置较远，可知带电量一定大于带电量，根据电场强度的叠加可知c点和b点之间不可能存在电场强度为零的点，故B正确，C错误；
D．由于在场强为0的右侧+q受到的电场力方向向右，则电场强度方向向右，即c点电场强度方向一定水平向右，故D错误。
故选B。
如图为著名的密立根油滴实验装置：水平放置的两平行绝缘金属板间距，两极板间电压。在上极板的中间开一小孔，使质量的微小带电油滴从这个小孔落到极板中，观察到油滴缓慢降落，最终悬浮在距上极板的位置，规定下极板的电势为零，取，则油滴在点的电势能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】油滴缓慢下落受力平衡，得
点的电势为
有题意可知油滴带负电，所以油滴在点的电势能为
联立得
故选D。
如图所示，用两根同样长的绝缘细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点。小球A的质量大于小球B的质量，小球A所带的电荷量大于小球B所带的电荷量。两小球静止时，细绳与竖直方向的夹角分别为α和β，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　）
A．小球A受到的库仑力大于小球B受到的库仑力
B．小球A受到的库仑力小于小球B受到的库仑力
C．α＜β
D．α＞β
【答案】C
【分析】本题考查静电力平衡，目的是考查学生的理解能力。
【详解】AB．由牛顿第三定律可知，小球A受到的库仑力与小球B受到的库仑力大小相等，故AB错误；
CD．对两小球受力分析，如图所示
每个小球均为三力平衡，有
且
所以解得
又由
解得，故D错误，C正确。
故选C。
如图所示，、、为真空中边长为的正三角形的三个顶点，为中点，在、两点各固定一个电荷量为的点电荷，在点固定一个电荷量为的点电荷，静电力常量为，则点的电场强度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、B两点的点电荷在的电场强度大小相等，方向相反，即A、B两点的点电荷在的合电场强度为零，则点的电场强度大小为
根据几何关系可得
联立可得点的电场强度大小
故选D。
如图所示，A、B两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d，带电小球C固定在的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B两个小球绕过C的竖直轴转动（转动角速度可变，之间距离不变），已知三个小球均可视为质点，A、B两个小球的质量均为m，带电量均为，小球C的带电量大小为，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）

A．C球带正电
B．A球转动的角速度ωA为
C．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，C的电荷量为
D．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，B球转动的角速度ωB为
【答案】C
【详解】A．A、B两个小球绕过C的竖直轴转动，且A、B两个小球带同种电荷，互相排斥，则带电小球C必给A、B两个小球吸引力，且吸引力的分力提供A、B两个小球绕过C的竖直轴转动所需的向心力，则根据牛顿第三定律可知小球C的受力分析如图所示

所以小球C必带负电，故A错误；
B．A球受力分析如图所示

对小球A，水平方向由牛顿第二定律有
解得A的转动的角速度为
，故B错误；
C．若增大C的电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，地面对两球的支持力为零。
则A或者B小球竖直方向有
解得C的电荷量为
，故C正确；
D．当A、B小球刚好离开地面时，此时B小球受力分析如图所示

则水平方向由牛顿第二定律有
解得B球转动的角速度为
，故D错误。
故选C。
静电场中有一水平光滑绝缘桌面，桌面上有一电场线与x轴重合，将一个质量为m、电荷量为可视为点电荷的带电小球从桌面上坐标处由静止释放后，小球沿x轴向正方向运动，其加速度a随坐标x变化的图像如图所示。小球在运动过程中电荷量不发生变化，下列说法正确的是（ ）
A．该电场为匀强电场 B．该电场线上电场的方向沿x轴负方向
C．小球运动到处的速度大小为 D．小球运动到处速度减为0
【答案】B
【详解】A．由牛顿第二定律可知，小球的加速度为
因为小球的加速度先增大后减小，故电场强度先增大后减小，不是匀强电场，A错误；
B．由图像可知，加速度的方向一直沿x轴正方向，负电荷受力方向与场强方向相反，故电场方向沿x轴负方向，B正确；
C．由可知，图像的面积为
故，解得，C错误；
D．小球从至一直做加速度运动，故小球运动到处速度最大，D错误。
故选B。
如图所示，不带电的半径为r的空心金属球放在绝缘支架上，右侧放一个电荷量为+Q的点电荷，点电荷到金属球球心的距离为3r，达到静电平衡后，下列说法正确的是（　　）
A．金属球的左侧感应出负电荷，右侧感应出正电荷
B．点电荷Q在金属球内产生的电场的场强处处为零
C．若用导线连接球的左右两侧，球两侧都不带电
D．感应电荷在金属球球心处产生的电场场强大小为
【答案】D
【详解】A．金属球发生静电感应，靠近点电荷的一侧带异种电荷，远离的一侧带同种电荷，所以金属球的右侧感应出负电荷，左侧感应出正电荷，A错误；
B．静电平衡的导体内部场强处处为零，所以是点电荷和感应电荷在金属球内产生的合场强为零，B错误；
C．用导线连接球的左右两侧，由于静电感应现象，球依然左侧感应出正电荷，右侧感应出负电荷，C错误；
D．静电平衡的导体内部场强处处为零，点电荷在球心处产生的场强大小为
所以感应电荷在金属球球心处产生的电场场强大小也为
方向与点电荷产生的场强方向相反，D正确。
故选D。
图甲为一段粗细均匀的绝缘材料制成的圆环，使其均匀带电后，它在圆心处产生的场强大小为E。现将该环裁掉后变成图乙所示的半圆环，则它在圆心处的场强大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图
把材料按圆分成均等份，假设圆环带正电荷，每一份产生的电场强度如图。由对称性可知，左边图有两部分抵消了，其中一部分产生的电场强度即为合电场强度E。而右边的图没有抵消，由平行四边形定则结合对称性得O点的场强
故选C。
图A所示是半径为R的圆心角为的均匀带电圆环，带电量为Q，图B所示是半径为R的圆心角为的均匀带电圆环，带电量为2Q。将电荷量为q的试探电荷分别放在图A、B圆环的圆心处，若已知图A中环对试探电荷的静电力大小为F，则图B中环对试探电荷的静电力大小为（　　）
A． B．F C． D．2F
【答案】B
【详解】若圆环均带正电，根据对称性可知，图A中环对试探电荷的静电力大小为F，方向由环的中点指向圆心，所以图B中圆环可看成两个的均匀带电圆环，各自对试探电荷的静电力大小均等于F，方向均由各自的中点指向圆心，且两力的夹角为120°，所以两部分的合力大小应等于F。
故选B。
如图所示，真空中两个电荷量均为的点电荷分别固定在同一水平线上的A、B两点，O为连线的中点，C、D为连线竖直中垂线上关于O点对称的两点，A、C两点的距离为r，与的夹角为。已知连线竖直中垂线上的点到A点的距离为x，则该点的电势为（以无穷远处为零电势点），静电力常量为k，重力加速度为g。
（1）求C点的电场强度；
（2）将一质量为M带负电的小球从D点以某一初速度向上抛出，恰能上升到C点，求抛出时的速度；
（3）一个质量为m、电荷量为的试探电荷（重力不计）从C点以某一竖直向下的初速度运动，若此电荷能够到达O点，求其在C点的速度最小值。
【答案】（1），方向竖直向上；（2）；（3）
【详解】（1）两点电荷均为正电荷且带电量相等，则两点电荷在C点处的电场强度方向均背离各自电荷，电场强度如图所示
根据电场强度的矢量合成法则可得C点的场强
方向竖直向上。
（2）带负电的小球从D点O静电力做正功，从O到C电场力做负功，根据对称性可知，小球从D到C的过程中，静电力对小球所做功的代数和为零，则根据动能定理有
解得
（3）根据题意，C点的电势为
O点的电势为
则可得
若一个质量为m、电荷量为的试探电荷（重力不计）从C点以某一竖直向下的初速度运动恰好能够到达O点，则由动能定理有
解得
可知能够到达O点的最小速度
在粗糙绝缘水平桌面上，以O点为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy，在坐标为（，0）的M点和（，0）的N点处分别固定电荷量为和的带电体（可视为点电荷），在坐标为（0，）处有一带电荷量为的滑块（可视为质点），滑块通过长为l的绝缘轻细绳与O点相连。给滑块一沿x轴正方向的初速度，使滑块绕O点逆时针做圆周运动，在此过程中，当滑块运动到图中a点时速度达到最大值，此时，当滑块运动到b点（图中未标出）时滑块的电势能最小，此时。已知静电力常量为k，，。求：
（1）运动过程中滑块受到的滑动摩擦力大小；
（2）滑块的电势能最小时，的值（可用根号表示）。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）对滑块受力分析，如图甲所示

根据库仑定律有
，
当滑块运动到图中a点时速度达到最大值，可知所受的滑动摩擦力等于两电荷对滑块的库仑力在切线方向的分力的合力，大小为
（2）刚开始时，静电力（库仑力合力）与速度方向成锐角，做正功，电势能减小，直到静电力与速度方向垂直时，静电力做正功最多，电势能减至最小。故此时库仑力的合力沿绳子反方向，如图乙所示
Mb之间的距离
Nb之间的距离
则
，
联立解得
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