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第27讲　微专题四 带电粒子在叠加场和组合场中的运动
命题点一　带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，可由此求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取）
(1)求电场强度的大小；
(2)求磁感应强度的大小；
(3)求斜面的长度。
如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，电场强度，磁感应强度。将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成角斜向上的速度射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，，求：
(1)粒子在y轴和虚线之间运动的时间；
(2)电场强度的大小；
(3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。
如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，电场中半径为、平行于电场的圆面内有垂直于电场向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，圆心到垂直于电场的圆面的弦的距离为。一足够大的荧光屏固定在电场中，电场与荧光屏垂直，一个带正电的粒子以初速度沿方向从点射入电磁场，在段做直线运动，粒子打在荧光屏上时，速度与荧光屏夹角为；若撤去电场，粒子仍从点沿方向以初速度射入磁场，经历一段时间后，粒子从点（图中未标出）离开磁场，离开磁场时速度方向偏转了。不计粒子的重力，求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)点到荧光屏的距离；
(3)若撤去磁场，原电场大小不变、方向反向，再叠加一个平行圆面的匀强电场，粒子仍从点沿方向以初速度射入叠加电场，粒子到达点的速度大小仍为，则所加的匀强电场的电场强度多大。
命题点二　带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
←←←→→→
第3步：用规律
→→→→
→
2．解题步骤
(1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
模型1　磁场与磁场组合
模型2　电场与磁场组合
某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为，匀强电场方向竖直向下，场强大小为。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)粒子由P点射出时水平分速度vx的大小；
(2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程；
(3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比；
(4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。
如图，是交替出现的宽为的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为，2、4区域为磁场，场强均为，方向如图所示。质量为，带电量为的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　）
A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为
B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为
C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为
D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足
如图，空间直角坐标系中有一与面平行的界面将空间分为、两个区域，界面与轴交点的坐标为（0，L，0）且界面上有一足够大的接收屏。在点存在一粒子发射源，仅在面内向各个方向均匀发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子。区域存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径和周期；
(2)若在区域再加一个沿轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上坐标最大值点和坐标最小值点的空间坐标；
(3)若点发射源只向轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面上点（未画出）进入区域II，区域II存在沿轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为（为常量）。粒子进入区域II后速度方向第一次沿轴正方向时达到点（未画出），点的坐标为，求点的坐标、坐标和粒子在点的速度大小。
如图所示，平行边界、间为区域II，宽度为，上方的区域I内有与纸面平行、垂直于向下的匀强电场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场， 下方的区域III内还有与纸面平行、垂直向下的匀强电场，两电场的电场强度均为。一个质量为、电荷量为的带正电的粒子在区域I中的A点由静止释放，粒子经电场加速、区域II中的磁场偏转，在区域II中的轨迹刚好与相切，A点离的距离为，不计粒子的重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)粒子从静止释放到第次经过所用的时间；
(3)将粒子在区域I中的点由静止释放，点到的距离为，则粒子在区域III中的最大速度为多少。
如图所示，在第一象限的区域内和第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内的曲线上方有沿轴负方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于轴上，能够持续不断地沿轴正方向发射速度为、质量为、电荷量为的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过点，已知从A点射出的粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。
(1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标和间的关系式）；
(2)若某带电粒子在第二象限从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的匀强磁场，刚好不从磁场上边界射出，求磁感应强度的大小；
(3)若第四象限内磁场为非匀强磁场，磁感应强度大小随轴坐标均匀变化，其关系为（为第（2）问中求得的值），某带电粒子从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的非匀强磁场，求粒子从射入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程中，其运动轨迹与轴所围成的面积。
如图所示为某质谱仪的简化示意图，它由加速电场、静电偏转区、真空通道和磁场偏转区组成。现有一粒子在点从静止开始经电压恒定的电场加速后进入静电偏转区，然后匀速通过真空通道后进入磁场偏转区，最终打到点，运动轨迹如图中虚线所示。粒子在静电偏转区和磁场偏转区中均做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．静电偏转区内的电场是匀强电场
B．磁场偏转区内磁场方向垂直于纸面向里
C．仅将粒子改为质子，质子仍能在静电偏转区沿虚线运动
D．仅将粒子改为氘核（），氘核不会沿虚线运动到点
离子推进器是太空飞行器常用的动力系统，其利用强电场的作用将离子加速喷出，通过反作用力推动飞行器进行姿态调整或者轨道转移等任务。如图所示，右侧是间距为的两金属板，间存在大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧是间距为的两金属板，其中板带有小孔，和 之间用导线相连。现有大量的等离子体从右侧以速度垂直于磁场方向进入金属板间，其中离子体电荷量的绝对值相等。稳定后，从板附近的粒子源发射出初速度为零的大量同种带电粒子，粒子最终从板的小孔喷出。下列说法正确的是（　　）
A．板的电势比板的电势高
B．从粒子源发射出的粒子带负电
C．增大，可使粒子从板小孔喷出的速度变大
D．、、都加倍，可使粒子从板小孔喷出的速度变为原来的倍
某实验室内充满匀强磁场和匀强电场，磁场、电场与水平地面夹角均为45°且斜向右上，如图所示。房间内在离地面h处的位置有一个粒子发射源，源源不断地发射出质量为m、电荷量为q的粒子，粒子在房间内以v做匀速直线运动。某次实验中，撤去磁场，电场不变，粒子发射后经过一段时间落到地面上（不计空气阻力），重力加速度为g，以下说法正确的（　　）

A．粒子带负电，磁感应强度为，电场强度为
B．电场力做功为
C．粒子运动过程中机械能增大
D．落地点到发射点的水平距离
回旋加速器的工作原理如图所示，粒子源A产生的进入狭缝后被加速，进入D形盒中偏转，再次进入狭缝后加速……，则下列说法正确的是（　　）
A．该回旋加速器可用来加速
B．加速电压越大，粒子获得的最大动能越大
C．回旋加速器可将粒子的速度提高至光速
D．为确保粒子每次经过狭缝时都被加速，则交流电源的频率随速度增加而增大
如图所示，已知匀强电场方向向下，边界为矩形ABGH，匀强磁场方向垂直纸面向里，边界为矩形BCDG，GD长为L，磁感应强度为B。电量为q，质量为m的粒子，从AH中点以垂直电场的速度（未知量）进入电场，然后从边界BG进入磁场，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）
A．粒子一定带正电
B．AB长为2L
C．
D．若电场强度减弱，粒子在磁场中运动时间将变长
上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。

(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。
(3)如图丙，电子在磁感应强度为的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从A点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。
如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于，延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。
(1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为，求粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域：
（ⅰ）当磁感应强度大小为时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到的距离；
（ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。
如图所示，O点处有一粒子源，能够向xOy平面内各个方向射出质量为、电量为、初速度为的高能粒子。为了减小粒子对周围环境的影响，在以O为圆心，半径R1=0.04m处加上接地的网状电极，在内部产生沿半径方向的电场，使粒子的速度减小到。不计重力，不考虑粒子间的碰撞和相互作用力，粒子可以穿过网状电极。
(1)求网状电极和O点间电势差的大小U；
(2)为了使粒子离开电场后，离O点的距离不超过R2=0.16m，可以紧贴网状电极在外侧施加垂直于xOy平面向里的范围足够大的匀强磁场（图中未画出），求磁场的磁感应强度B1的最小值；
(3)为了使第一象限射出电场的粒子最终都能够沿y轴正方向运动，需要紧贴电场区域外施加垂直于xOy平面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为。求满足要求的最小磁场区域边界上的点x坐标的最大值和y坐标的最大值。
如图所示，金属板和互相平行竖直放置，形成两条狭缝，金属板上的小孔和O点共线，狭缝的电势差与狭缝的电势差均为U，一质量为m，电荷量为的粒子从小孔飘入狭缝（初速度为零），通过小孔进入金属板和P之间的区域I，区域I中存在匀强磁场和匀强电场（未画出），其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线运动，经过进入狭缝，经O点进入金属板右侧区域II，区域II具有和区域I完全相同的电场和磁场。以O点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为轴正方向，平行于金属板向上的方向为轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求：
(1)粒子刚进入区域I时的速度大小；
(2)区域I、区域II电场强度E；
(3)粒子到达O点开始计时，第二次到达距轴最远处的速度和需要的时间。
如图所示，距离地面足够高的一水平面上固定一弹射器，每次均会弹射出质量为、带电量为的金属小球.弹射器出口O在MN线上，MN右侧存在方向垂直水平面向上的匀强磁场，整个水平面存在竖直向上的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为，垂直于方向放置一足够大的目标板、板面竖直放置，且O点到目标板的距离为.小球初速度大小均为，方向在水平面内且可沿、之间的任意方向，、与MN的垂线的夹角为，.（不计空气阻力，忽略小球间的相互作用，取重力加速度大小为、、，计算结果均保留1位小数）
(1)若沿出射的小球恰好与目标板相切，求磁场的磁感应强度大小；
(2)若磁感应强度大小为
①若a、b球先后分别沿着、出射且在MN线相遇，求两球出射的时间间隔；
②求沿出射的小球击中目标板的点与MN的距离.
某离子注入工艺原理如图所示。离子源产生的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计。加速后的离子竖直向上进入速度选择器，该区域存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场；通过速度选择器的离子射出后从小孔进入电场分析器，电场分析器内为圆弧辐射状电场，离子沿半径为（未知）的圆弧做匀速圆周运动；随后离子从小孔射出并沿水平方向进入磁场分析器，该区域存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场（未画出），离子偏转后沿 的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，速度选择器电场、电场分析器内离子所经位置的电场强度大小均为E；速度选择器、磁场分析器中的磁感应强度大小均为B；偏转电场的上下边界MN和PQ间距为L，水平方向足够宽。晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，忽略边缘效应，求：
(1)通过速度选择器离子的比荷；
(2)离子在电场分析器中运动轨迹的半径及运动时间t；
(3)磁场分析器中“圆形匀强磁场”区域的最小面积S；
(4)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小。
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第27讲　微专题四 带电粒子在叠加场和组合场中的运动
命题点一　带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，可由此求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取）
(1)求电场强度的大小；
(2)求磁感应强度的大小；
(3)求斜面的长度。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零
由电场力与重力平衡得
代入数据解得电场强度的大小
（2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用
在垂直于斜面方向上
由平衡知识可得
下滑距离的过程只有重力和电场力做功
由动能定理得
联立并代入数据解得，
（3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R
由洛伦兹力提供向心力得
代入数据解得
由几何关系可得
故斜面的长度
如图所示，在平面直角坐标系中，虚线垂直于x轴，在y轴和虚线之间的区域空间有沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小未知，磁感应强度大小；在虚线的右侧区域空间有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平面向外的匀强磁场，电场强度，磁感应强度。将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从坐标原点以与x轴正方向成角斜向上的速度射入第一象限，粒子刚好在第一次过x轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x轴正方向的夹角为37°，不计粒子的重力，，求：
(1)粒子在y轴和虚线之间运动的时间；
(2)电场强度的大小；
(3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子射入第一象限后，在垂直磁感应强度平面内做匀速圆周运动，有
运动到第一次过x轴的时间刚好是一个周期，则
解得
（2）粒子在y轴与虚线之间沿电场方向做匀加速直线运动，初速度大小为
粒子经过虚线时，沿x轴方向的分速度大小
根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
解得
（3）粒子进入虚线右侧区域时，由于
因此粒子的运动可以看成是沿x轴正方向以速度做匀速直线运动和以速度做匀速圆周运动的合运动，设做圆周运动的半径为R，则有
解得
因此粒子在虚线右侧运动过程中，离x轴的最大距离为
如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，电场中半径为、平行于电场的圆面内有垂直于电场向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，圆心到垂直于电场的圆面的弦的距离为。一足够大的荧光屏固定在电场中，电场与荧光屏垂直，一个带正电的粒子以初速度沿方向从点射入电磁场，在段做直线运动，粒子打在荧光屏上时，速度与荧光屏夹角为；若撤去电场，粒子仍从点沿方向以初速度射入磁场，经历一段时间后，粒子从点（图中未标出）离开磁场，离开磁场时速度方向偏转了。不计粒子的重力，求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)点到荧光屏的距离；
(3)若撤去磁场，原电场大小不变、方向反向，再叠加一个平行圆面的匀强电场，粒子仍从点沿方向以初速度射入叠加电场，粒子到达点的速度大小仍为，则所加的匀强电场的电场强度多大。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）圆面内无电场时，粒子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的轨道半径为，由几何关系得
联立解得
粒子进入磁场，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律
解得
（2）粒子在圆面内电磁场中做匀速直线运动时
得
粒子从点射出后做类平抛运动，根据题意可知，打在荧光屏上时沿电场方向的速度大小等于，设点到荧光屏的距离为，根据运动学公式
根据牛顿第二定律
解得
（3）两匀强电场叠加后，仍为匀强电场，由于粒子在、两点速度大小相等，因此为等势线，粒子从点射出后做类斜上抛运动，由几何关系可知，与的夹角为。则由几何关系
粒子沿方向做匀速直线运动，则
沿垂直方向做类竖直上抛运动，则
设叠加后电场的电场强度大小为，则
根据牛顿第二定律
解得
根据矢量合成可知
命题点二　带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
←←←→→→
第3步：用规律
→→→→
→
2．解题步骤
(1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
模型1　磁场与磁场组合
模型2　电场与磁场组合
某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为，匀强电场方向竖直向下，场强大小为。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)粒子由P点射出时水平分速度vx的大小；
(2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程；
(3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比；
(4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。
【答案】(1)3v0
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）设从P 点射出的一粒子，其速度大小为v，方向与y 轴正方向成θ角。
可得
即从P 点射出的粒子其平行于x 轴的分速度大小是3v0。
（2）电场方向沿y 轴负方向。粒子到达O 点后分布在与x 轴正方向成60°的范围内。
电场区域的边界为从O 点进入电场的粒子经电场偏转后速度平行于x 轴正方向时的}出点的集合。令出点的坐标为（x，y），有x =vxt
消去 t 得
（3）若粒子恰能水平进入探测器，即竖直减速为零位移等于探测器高度

其中
解得
即当粒子发射方向与y 轴正方向成45 至90 角的范围内能进入探测器所占比例为
（4）粒子以大小为3v0的水平速度进入电磁场，为抵消粒子所受的电场力，需给粒子一个水平向右的速度v0，粒子在探测器中的运动可以看成匀速直线运动和圆周运动的合运动,其圆周半径，即离x 轴高L 的粒子恰能与上边界相切
根据
解得
即粒子发射方向与y 轴正方向成60°至90°角的范围内能达到右边收集板
收集粒子数
作用时间
根据探测器水平长度，假设粒子以v0匀速向右，则
其中圆周周期
根据,可知
如图所示
解得 θ=60°
则撞击瞬间粒子水平速度为
由动量定理
解得
如图，是交替出现的宽为的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为，2、4区域为磁场，场强均为，方向如图所示。质量为，带电量为的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　）
A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为
B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为
C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为
D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足
【答案】A
【详解】A．由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得
可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为
故A正确；
BCD．由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，水平方向根据动量定理可得
其中
联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为
则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为
若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有
解得
故BCD错误。
故选A。
如图，空间直角坐标系中有一与面平行的界面将空间分为、两个区域，界面与轴交点的坐标为（0，L，0）且界面上有一足够大的接收屏。在点存在一粒子发射源，仅在面内向各个方向均匀发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子。区域存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径和周期；
(2)若在区域再加一个沿轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上坐标最大值点和坐标最小值点的空间坐标；
(3)若点发射源只向轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面上点（未画出）进入区域II，区域II存在沿轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为（为常量）。粒子进入区域II后速度方向第一次沿轴正方向时达到点（未画出），点的坐标为，求点的坐标、坐标和粒子在点的速度大小。
【答案】(1)，
(2)（，L， ），（0，L, ）
(3)，，
【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得
由题可知
联立解得
故粒子圆周运动的周期
（2）粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律
由题可知
联立解得
粒子在垂直z轴的平面上做半径为L的匀速圆周运动如图所示
初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最长
对应z坐标有最大值
由几何知识可得该点x坐标为,其对应的坐标为（，L， ）
初速度沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最短
由几何知识可得该点x坐标为0，对应z坐标有最小值
其对应的坐标为（0，L, ）
（3）粒子从c点至d点过程，沿y轴方向由动量定理有，
其中
解得
所以d点坐标为
粒子从c点至d点过程，沿z轴方向由动量定理有，
解得
如图所示，平行边界、间为区域II，宽度为，上方的区域I内有与纸面平行、垂直于向下的匀强电场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场， 下方的区域III内还有与纸面平行、垂直向下的匀强电场，两电场的电场强度均为。一个质量为、电荷量为的带正电的粒子在区域I中的A点由静止释放，粒子经电场加速、区域II中的磁场偏转，在区域II中的轨迹刚好与相切，A点离的距离为，不计粒子的重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)粒子从静止释放到第次经过所用的时间；
(3)将粒子在区域I中的点由静止释放，点到的距离为，则粒子在区域III中的最大速度为多少。
【答案】(1)
(2)n为奇数时，n为偶数时，
(3)
【详解】（1）设粒子刚进区域II时的速度大小为，根据动能定理有：
解得
根据题意可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径
根据牛顿第二定律
解得
（2）设粒子第一次在电场中运动的时间为，则
解得
粒子每次在磁场中运动的时间
粒子从静止释放到第n次经过PQ所用的时间
当n为奇数时：
当n为偶数时：
（3）由题求得粒子进入区域III的水平分速度大小为，在区域III中运动的速度最大时，速度方向与MN平行，设最大速度为v，根据动量定理：，
即
根据动能定理
解得
如图所示，在第一象限的区域内和第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内的曲线上方有沿轴负方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于轴上，能够持续不断地沿轴正方向发射速度为、质量为、电荷量为的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过点，已知从A点射出的粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。
(1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标和间的关系式）；
(2)若某带电粒子在第二象限从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的匀强磁场，刚好不从磁场上边界射出，求磁感应强度的大小；
(3)若第四象限内磁场为非匀强磁场，磁感应强度大小随轴坐标均匀变化，其关系为（为第（2）问中求得的值），某带电粒子从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的非匀强磁场，求粒子从射入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程中，其运动轨迹与轴所围成的面积。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电场区域做类平抛运动，则，
代入
解得
（2）由段的边界方程可知
粒子在电场中做类平抛运动，水平、竖直位移分别满足，
联立可得
从点出电场时的速度与水平方向的夹角满足
则
粒子从点出电场时的速度为
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，粒子轨迹刚好磁场上边界相切时，由几何关系得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）粒子进入第四象限的磁场后，沿轴方向应用动量定理有
对粒子从进入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程求和得
可得
运动轨迹与轴所围成的面积
代入
解得
如图所示为某质谱仪的简化示意图，它由加速电场、静电偏转区、真空通道和磁场偏转区组成。现有一粒子在点从静止开始经电压恒定的电场加速后进入静电偏转区，然后匀速通过真空通道后进入磁场偏转区，最终打到点，运动轨迹如图中虚线所示。粒子在静电偏转区和磁场偏转区中均做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．静电偏转区内的电场是匀强电场
B．磁场偏转区内磁场方向垂直于纸面向里
C．仅将粒子改为质子，质子仍能在静电偏转区沿虚线运动
D．仅将粒子改为氘核（），氘核不会沿虚线运动到点
【答案】C
【详解】A．粒子在静电偏转区做匀速圆周运动，电场力提供向心力，方向不断变化，说明电场方向也不断变化，则电场不是匀强电场，故A错误；
B．粒子在磁场偏转区受到的洛伦兹力提供向心力根据左手定则可判断磁场方向垂直纸面向外，故B错误；
C．在从加速电场射出后，满足
在静电偏转区域，由
则
则质子也能在静电偏转区域沿虚线做匀速圆周运动，与电荷和质量无关，故C正确；
D．在从加速电场射出后，满足，粒子和氘核比荷相同，则两者射出后速度相同，在静电偏转区域，同样满足，做匀速圆周运动；在磁场区域，也满足，则氘核会沿虚线运动到M点，故D错误。
故选C。
离子推进器是太空飞行器常用的动力系统，其利用强电场的作用将离子加速喷出，通过反作用力推动飞行器进行姿态调整或者轨道转移等任务。如图所示，右侧是间距为的两金属板，间存在大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧是间距为的两金属板，其中板带有小孔，和 之间用导线相连。现有大量的等离子体从右侧以速度垂直于磁场方向进入金属板间，其中离子体电荷量的绝对值相等。稳定后，从板附近的粒子源发射出初速度为零的大量同种带电粒子，粒子最终从板的小孔喷出。下列说法正确的是（　　）
A．板的电势比板的电势高
B．从粒子源发射出的粒子带负电
C．增大，可使粒子从板小孔喷出的速度变大
D．、、都加倍，可使粒子从板小孔喷出的速度变为原来的倍
【答案】D
【详解】A．等离子体进入金属板MN后，受洛伦兹力偏转，根据左手定则判断知正离子向下偏转，使N极板带正电，负离子向上偏转使M极板带负电，所以N板的电势比M板的电势高，故A错误。
B．MP和NQ之间用导线相连，Q极板带正电，P极板带负电，要使从粒子源S发射出的粒子被加速，粒子应带正电，故B错误。
C．等离子体进入金属板MN稳定后，由
得
对粒子源S发射出的粒子由动能定理有
得
粒子从P板小孔喷出的速度大小与l无关，故C错误。
D．由 知，B、d、v0都加倍，粒子从P板小孔喷出的速度变为原来的 倍，故D正确。
故选D。
某实验室内充满匀强磁场和匀强电场，磁场、电场与水平地面夹角均为45°且斜向右上，如图所示。房间内在离地面h处的位置有一个粒子发射源，源源不断地发射出质量为m、电荷量为q的粒子，粒子在房间内以v做匀速直线运动。某次实验中，撤去磁场，电场不变，粒子发射后经过一段时间落到地面上（不计空气阻力），重力加速度为g，以下说法正确的（　　）

A．粒子带负电，磁感应强度为，电场强度为
B．电场力做功为
C．粒子运动过程中机械能增大
D．落地点到发射点的水平距离
【答案】D
【详解】A．粒子在匀强电场和磁场中做匀速直线运动，则粒子受到的合力为零；粒子受到的电场力与电场线平行，受到的洛伦兹力与磁场方向和电场方向都垂直，则粒子的受力如图所示：

若粒子带负电，则电场力、洛伦兹力和重力不可能平衡，因此粒子应带正电；
根据平衡条件mgcos45°=qE，mgsin45°=qvB
解得，
故A错误；
BC．由左手定则可知粒子的速度方向垂直纸面水平向外；撤去磁场后，重力与电场力的合力垂直于电场斜向下。则粒子运动轨迹在垂直于电场线的平面内，故电场力不做功。则粒子落地过程中，机械能守恒。故BC错误；
D．粒子的速度方向垂直纸面水平向外，粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据
根据
可得
水平向外做匀速直线运动，则
水平向右做匀加速运动
则水平向右的位移
落地点到发射点的水平距离
故D正确。
故选D。
回旋加速器的工作原理如图所示，粒子源A产生的进入狭缝后被加速，进入D形盒中偏转，再次进入狭缝后加速……，则下列说法正确的是（　　）
A．该回旋加速器可用来加速
B．加速电压越大，粒子获得的最大动能越大
C．回旋加速器可将粒子的速度提高至光速
D．为确保粒子每次经过狭缝时都被加速，则交流电源的频率随速度增加而增大
【答案】A
【详解】AD．为确保粒子每次经过狭缝时都被加速，加速电场的周期和粒子在磁场运动的周期相同，粒子在磁场中运动的周期为，可知粒子在磁场中运动的周期保持不变，则交流电源的频率不会随速度增加而变化；由于与的比荷相等，所以与在磁场中运动的周期相等，该回旋加速器可用来加速，故A正确，D错误；
B．当粒子在磁场中的轨迹半径等于D形盒半径时，粒子的速度最大，动能最大，则有
可得最大动能为
可知粒子的最大动能与加速电压无关，故B错误；
C．当粒子的速度很大，接近光速时，根据相对论原理，其质量明显变化，粒子在磁场中的周期也发生了明显变化，粒子运行的周期与交变电压的周期不再同步，无法再加速，所以回旋加速器不可以将粒子的速度提高至光速，故C错误。
故选A。
如图所示，已知匀强电场方向向下，边界为矩形ABGH，匀强磁场方向垂直纸面向里，边界为矩形BCDG，GD长为L，磁感应强度为B。电量为q，质量为m的粒子，从AH中点以垂直电场的速度（未知量）进入电场，然后从边界BG进入磁场，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）
A．粒子一定带正电
B．AB长为2L
C．
D．若电场强度减弱，粒子在磁场中运动时间将变长
【答案】B
【详解】A．由题意可知，若粒子带正电，运动轨迹如图所示，若粒子带负电，由对称性，粒子在电场中向上偏转，磁场中运动的圆轨迹与正粒子圆轨迹相重合，故不论带何种电荷，都符合题意，A错误；
B．如图所示，取正粒子运动轨迹，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场,所以圆弧对应的圆心角为，可知图中设定的，设粒子在磁场中运动轨道半径为r,由几何关系
设P点速度为,根据速度的分解可得
，
粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动时间为，则有
，
由几何关系
联立解得
B正确；
C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦磁力提供向心力，可得
代入数据解得
C错误；
D．若电场强度减弱，粒子进入磁场的偏转角减小，粒子在磁场中运动的轨道半径减小，圆轨道对应的圆心角变小，所以在磁场中运动时间将变短，D错误。
故选B。
上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。

(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。
(3)如图丙，电子在磁感应强度为的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从A点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。
【答案】(1)
(2)
(3)速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下
【详解】（1）根据动能定理
解得
（2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I区域向下偏转。洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
解得

根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下的电子刚好无法进入II区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I右边缘相切
联立解得
（3）将空间沿轴线方向分割成微元，经过任何一个微元，电子速度方位角的正弦值变化量近似为，其中为该微元处的平均磁感应强度。无限细分之后求和可知，速度偏向角的正弦值变化量为，其中为图线所围的面积。类比图，横轴下方面积为“负”。故有
沿轴线入射，因此，根据规律则有
解得
因此处，，即速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下。
如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于，延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。
(1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为，求粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域：
（ⅰ）当磁感应强度大小为时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到的距离；
（ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。
【答案】(1)
(2)（ⅰ）0，；（ⅱ）
【详解】（1）粒子在加速电场中，根据动能定理可得
在磁场中洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有，
当粒子在圆形磁场中轨迹对应弦长最长，为圆形磁场直径2a时，粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图所示
对应轨迹圆周运动的圆心角60°，在磁场中运动的最长时间
（2）（ⅰ）①d=0，粒子直线运动经过O点；
②粒子在右侧磁场中匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
解得
由几何关系得：当粒子指向圆心进入无磁场区域时，粒子轨迹与对称轴相切，如图所示
所以，粒子到对称轴的距离
（ⅱ）取临界状态，粒子在右侧磁场中运动轨迹圆恰好与无磁场区域圆相切，如图所示
根据题意有一半的粒子圆形区域，所以上下两轨迹圆圆心距离为，由几何关系可得
解得
由牛顿第二定律得
解得
如图所示，O点处有一粒子源，能够向xOy平面内各个方向射出质量为、电量为、初速度为的高能粒子。为了减小粒子对周围环境的影响，在以O为圆心，半径R1=0.04m处加上接地的网状电极，在内部产生沿半径方向的电场，使粒子的速度减小到。不计重力，不考虑粒子间的碰撞和相互作用力，粒子可以穿过网状电极。
(1)求网状电极和O点间电势差的大小U；
(2)为了使粒子离开电场后，离O点的距离不超过R2=0.16m，可以紧贴网状电极在外侧施加垂直于xOy平面向里的范围足够大的匀强磁场（图中未画出），求磁场的磁感应强度B1的最小值；
(3)为了使第一象限射出电场的粒子最终都能够沿y轴正方向运动，需要紧贴电场区域外施加垂直于xOy平面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为。求满足要求的最小磁场区域边界上的点x坐标的最大值和y坐标的最大值。
【答案】(1)
(2)
(3)；
【详解】（1）根据动能定理
解得
（2）如图，根据勾股定理
解得
洛伦兹力提供向心力
解得
即B1的最小值为
（3）洛伦兹力提供向心力
解得
如图，当粒子从x正方向进入磁场后，运动轨迹为四分之一圆周
即最小磁场区域的右边界函数方程为
其中，
根据几何关系，粒子运动轨迹的圆心O1分布在以O点为圆心，半径为
的圆周上，因此圆心所在的函数方程为
为了使出射速度沿y轴正方向，其对应的半径O1C平行于x轴，粒子出射点C在圆心右侧
因此出射点C与运动轨迹的圆心O1的y坐标相同，出射点x坐标比圆心x坐标大
因此出射点所在的函数方程为
即为未画出部分边界的函数方程，其中，
综上所述：x坐标的最大值；y坐标的最大值
如图所示，金属板和互相平行竖直放置，形成两条狭缝，金属板上的小孔和O点共线，狭缝的电势差与狭缝的电势差均为U，一质量为m，电荷量为的粒子从小孔飘入狭缝（初速度为零），通过小孔进入金属板和P之间的区域I，区域I中存在匀强磁场和匀强电场（未画出），其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线运动，经过进入狭缝，经O点进入金属板右侧区域II，区域II具有和区域I完全相同的电场和磁场。以O点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为轴正方向，平行于金属板向上的方向为轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求：
(1)粒子刚进入区域I时的速度大小；
(2)区域I、区域II电场强度E；
(3)粒子到达O点开始计时，第二次到达距轴最远处的速度和需要的时间。
【答案】(1)
(2)
(3),
【详解】（1）粒子在狭缝中做匀加速直线运动，经过时的速度为，由动能定理得
解得
（2）粒子在区域I中做匀速直线运动，则
解得
方向沿轴负方向；
（3）粒子在狭缝中做匀加速直线运动，经过O点速度为，由动能定理得
解得
粒子在区域II的运动看作是速度为的匀速直线运动和速率为的匀速圆周运动的合运动
又
解得
粒子第二次离轴最远时，恰好完成个周期的运动。
由运动的合成与分解，得，即
方向：沿轴正方向；
需要的时间为
如图所示，距离地面足够高的一水平面上固定一弹射器，每次均会弹射出质量为、带电量为的金属小球.弹射器出口O在MN线上，MN右侧存在方向垂直水平面向上的匀强磁场，整个水平面存在竖直向上的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为，垂直于方向放置一足够大的目标板、板面竖直放置，且O点到目标板的距离为.小球初速度大小均为，方向在水平面内且可沿、之间的任意方向，、与MN的垂线的夹角为，.（不计空气阻力，忽略小球间的相互作用，取重力加速度大小为、、，计算结果均保留1位小数）
(1)若沿出射的小球恰好与目标板相切，求磁场的磁感应强度大小；
(2)若磁感应强度大小为
①若a、b球先后分别沿着、出射且在MN线相遇，求两球出射的时间间隔；
②求沿出射的小球击中目标板的点与MN的距离.
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）根据电场力的计算公式有=1N
而重力=1N
可见qE=mg
因此，小球刚射出时由洛仑兹力提供向心力做匀速圆周运动，设磁感应强度大小为时，沿着OP方向的小球刚好与目标板相切，则小球半径m
由洛伦兹力提供向心力有
解得
（2）①设小球半径为，有
小球运动的周期为
a到达MN的时间为
b到达MN的时间为
则
②如图，沿着出射的小球，从边界向左出射击中目标板时与距离最小
由几何关系可知
解得
某离子注入工艺原理如图所示。离子源产生的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计。加速后的离子竖直向上进入速度选择器，该区域存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场；通过速度选择器的离子射出后从小孔进入电场分析器，电场分析器内为圆弧辐射状电场，离子沿半径为（未知）的圆弧做匀速圆周运动；随后离子从小孔射出并沿水平方向进入磁场分析器，该区域存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场（未画出），离子偏转后沿 的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，速度选择器电场、电场分析器内离子所经位置的电场强度大小均为E；速度选择器、磁场分析器中的磁感应强度大小均为B；偏转电场的上下边界MN和PQ间距为L，水平方向足够宽。晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，忽略边缘效应，求：
(1)通过速度选择器离子的比荷；
(2)离子在电场分析器中运动轨迹的半径及运动时间t；
(3)磁场分析器中“圆形匀强磁场”区域的最小面积S；
(4)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小。
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【详解】（1）在速度选择器中，由
可知
在加速电场中，由
解得离子的比荷为
（2）在电场分析器中，由
解得
在电场分析器中，由
离子在电场分析器中运动的时间
（3）在磁场分析器中，由
由几何关系可知，当匀强磁场面积最小时，其半径
由
可得
（4）在偏转电场中，竖直方向
水平方向
由几何关系可得
解得
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