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第30讲　微专题五 动力学和能量观点在电磁感应中的应用
命题点一　电磁感应中的动力学问题
1．题型简述
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
2．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
3.动态分析的基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大值或最小值的条件．具体思路如下：
如图所示，质量为2 kg的单匝矩形线框PMNQ恰好静止在倾角的粗糙绝缘固定斜面上，PQ、MN的电阻分别为和， PM、QN的电阻不计。虚线下方区域存在垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为1 T。一质量为1kg的光滑导体棒ab水平放置在矩形线框上，接入回路的有效长度为3 m，电阻为。运动过程中导体棒始终与线框接触良好，且与 PQ平行。现将导体棒从距磁场边界S处静止释放，进入磁场的瞬间，线框恰好不滑动。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 g取。则下列说法正确的是（　　）
A．导体棒进入磁场瞬间的加速度大小为
B．距离S为
C．导体棒匀速运动时的速度大小为
D．导体棒进入磁场后，经已达到匀速运动状态，此过程回路中产生的总焦耳热为
【答案】BD
【详解】A．由题意可知，线框在斜面上恰好静止，则有
解得
导体棒进入磁场的瞬间，由右手定则可知，电流从b到a，从P到Q，且PQ所受安培力沿斜面向下，由平衡关系可知大小为6N
由
解得
再由电流关系可知
所以ab所受安培力大小为，方向沿斜面向上
对ab受力分析有
解得加速度为，方向沿斜面向上，故 A错误；
B．由公式和可知导体棒进入磁场时速度为，再由运动学公式，可知释放距离S为，故B正确；
C．速度稳定时有
其中,
解得速度为，故C错误；
D．由动量定理有
解得
可知进入磁场后1s内导体棒运动了15m
又由动能定理
且
故D正确。
故选BD。
如图所示，AME、HDG为两条足够长的光滑平行金属导轨。导轨倾斜部分倾角θ=30°，置于垂直倾斜导轨平面向下、磁感应强度大小为2T的匀强磁场中，距离MD足够远处放置一质量为20g、内阻不计的导体棒ab。导轨水平部分通过导线分别连接有电容C=5000μF的电容器和R=2Ω的电阻，导轨G端接有一单刀双掷开关。t=0时刻开关接1，对导体棒施加一个沿导轨向上、功率恒定的牵引力F，使导体棒从静止开始沿导轨向上运动，t=4s时达到最大速度2m/s，0~4s内电阻R上产生的热量为8.5J。t=6s时撤去牵引力，同时断开开关；t=6.4s时，开关接2。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计，导轨间距L=0.5m，重力加速度g=10m/s2 ，则（　　）
A．0~6s内导体棒先做匀加速运动后做匀速运动
B．整个过程中牵引力做功为13.2J
C．导体棒沿轨道向上运动的最远距离为6m
D．t=7s时，导体棒的速度大小为2.4m/s
【答案】BD
【详解】A．根据牛顿第二定律可得
又
，
可得
由于牵引力功率恒定，所以0~6s内导体棒先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速运动，故A错误；
B．由题意可知t=4s时达到最大速度2m/s，则有
解得牵引力的功率为
则整个过程中牵引力做功为
故B正确；
C．t=6s时撤去牵引力，同时断开开关，此时导体棒的加速度大小为
t=6.4s时，开关接2，此时导体棒的速度为
可知此时导体棒的速度刚好为0；设0~4s内导体棒向上运动的距离为，根据功能关系可得
解得
从4~6s内导体棒向上运动的距离为
从6~6.4s内导体棒向上运动的距离为
则导体棒沿轨道向上运动的最远距离为
故C错误；
D．导体棒从t=6.4s时，开始向下运动，且导体棒与电容器构成回路，设导体棒的加速度为，则有
又
联立可得
则t=7s时，导体棒的速度大小为
故D正确。
故选BD。
如图所示，MN和PQ是两根相互平行竖直放置的光滑金属导轨，间距为L，导轨足够长，PM由导线连接，且导轨与导线电阻不计。折线金属杆abcdef与导轨在同一平面内，杆与导轨垂直，且始终与导轨接触良好，边长，，，，在同一直线上，金属杆abcdef的质量为m，电阻为R。整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，开始时，让金属杆由静止自由下落，当cd边刚进入磁场时，金属杆恰好匀速运动，运动后，水平边进入磁场，下落时间后，金属杆再次匀速，重力加速度为g，则（　　）
A．开始时，cd边到磁场的上边缘距离为
B．水平边进入磁场时，金属杆abcdef的加速度大小为
C．水平边进入磁场，下落时间，下落高度为
D．下落时间内，金属杆产生的焦耳热大于金属杆重力势能的减少量
【答案】BD
【详解】A．金属杆自由下落，设cd边进入磁场时速度为，由机械能守恒定律有
金属杆匀速运动时，有
而
，
联立解得
故A错误；
B．水平边进入磁场时，安培力
由牛顿第二定律有
解得
，方向竖直向上
故B正确；
C．全部进入磁场后金属杆开始减速，假设再次匀速时速度为，有
两次匀速过程中根据动量定理有
其中
解得
故C错误；
D．根据能量守恒定律有
由于，所以，故D正确。
故选BD。
如图所示，间距、倾角、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小的匀强磁场中；匝数匝、横截面积、电阻的线圈处于方向竖直向上、磁感应强度大小随时间的变化规律为的磁场中，线圈两端通过导线分别与导轨的M、P端连接。时刻闭合开关S，同时将质量、长度也为、电阻的金属棒ab从导轨上端由静止释放，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好。已知重力加速度，导轨电阻不计，则下列说法正确的是（　　）
A．时刻通过金属棒的电流大小为
B．时刻金属棒的加速度大小为
C．金属棒在导轨上运动的最大速度大小为
D．当金属棒刚开始匀速运动时断开开关S，它继续下滑时的速度大小为
【答案】ACD
【详解】A．线圈产生的感应电动势
所以时刻通过金属棒的电流
故A正确；
B．时刻金属棒受到的安培力
由左手定则可知金属棒受到的安培力沿导轨平面向上，由牛顿第二定律
解得加速度大小
故B错误；
C．设金属棒在导轨上运动的最大速度为，则其产生的感应电动势
由楞次定律可知，金属棒切割磁感线产生的感应电动势与线圈产生的感应电动势方向相同，由平衡条件有
解得
故C正确；
D．当金属棒刚开始匀速运动时断开开关S，则金属棒中无电流，不再受安培力的作用，下滑过程中机械能守恒，有
解得它继续下滑时的速度大小
故D正确。
故选ACD。
命题点二　电磁感应中动力学和能量观点的综合应用
1．题型简述
电磁感应过程的实质是不同形式的能量相互转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的．安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程．
2．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；
(3)根据能量守恒定律或功能关系列式求解．
3．求解电能应分清两类情况
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算．
(2)若电流变化，则
①利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；
②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能．
如图，虚线be的左边有倾斜的金属轨道，它与水平面的倾角为30°，上方有一电容器，电容为，水平光滑金属轨道bc、ef平行且足够长，整个装置处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，虚线左侧磁场方向与导轨垂直向上，虚线右侧磁场方向竖直向上，导轨电阻不计，倾斜轨道与水平轨道通过绝缘材料相连，倾斜轨道与水平轨道上有质量均为m的导体棒P、Q，两导体棒垂直于导轨，P的电阻忽略不计，Q的电阻为R，现让P由倾斜轨道上高为h处静止释放，P与倾斜轨道间的动摩擦因数为，轨道间距与导体棒长度均为L，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．P滑至最低点前加速度越来越小
B．P滑至最低点时速度大小为
C．P滑上水平轨道时，Q的加速度大小为a=
D．P滑上水平轨道后，系统产生的焦耳热为
【答案】BD
【详解】A．导体棒P在倾斜轨道上有
又
联立，解得
故A错误；
B．P滑至最低点时过程，有
解得
故B正确；
C．运动到水平面时有
对Q有
联立，解得
故C错误；
D．P滑上水平轨道后，系统动量守恒，可得
系统产生的焦耳热为
故D正确。
故选BD。
如图所示，两平行光滑长直金属导轨固定在水平面上，导轨间距为L，电阻不计。金属棒a、b垂直导轨放置，b棒右侧MNPQ矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。a棒以大小为的水平速度向右运动，一段时间后a与静止的b发生弹性碰撞，碰后两棒先后进入磁场区域。已知两棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，a、b的质量分别为4m、m，电阻均为R，长度均为L。
(1)求碰撞后瞬间a、b的速度大小；
(2)若b在磁场中运动距离时，a还未进入磁场，求此过程中b棒产生的焦耳热；
(3)若a刚进入磁场时，b已经离开磁场区域，要使a、b不会再次发生碰撞，求磁场区域宽度x需满足的条件。
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）设碰后瞬间a、b速度大小分别为、，由于发生的是弹性碰撞，则有，
解得，
（2）设导体棒b在磁场中运动距离为d时速度大小为，此过程中a、b棒中产生的焦耳热分别为、，b从进入磁场到运动距离为d过程中，根据动量定理有
根据闭合电路欧姆定律有
根据法拉第电磁感应定律有
根据能量守恒定律有
两个导体棒电阻相等，根据焦耳定律知
联立以上各式解得
（3）导体棒a、b在磁场中做减速运动，当导体棒a出磁场时速度不大于导体棒b出磁场时的速度，则a与b不会再次发生碰撞，取临界状态当磁场区域宽度为时，导体棒a、b出磁场时的速度大小均为v，则b在磁场中运动过程，由动量定理得
感应电流的平均值，
联立解得
同理，导体棒a在磁场中运动过程，与其出磁场时的速度v的关系为
联立以上各式可得
要使a与b不会再次发生碰撞，则磁场区域的宽度x需满足条件
解得
如图所示，足够长光滑平行金属导轨水平固定，导轨间距，导轨右端接有直流电源和开关S，电源电动势，内阻。与导轨垂直的边界右侧空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=2T。质量、电阻的金属棒垂直导轨置于MN右侧导轨上某一位置。表面涂有绝缘层的矩形线框置于导轨上，MN左侧，线框边长，边长，电阻，质量与金属棒相同。不可伸长的轻质绝缘细线两端分别与金属框长边中点和金属杆中点拴接。断开开关S，让线框和金属棒以的共同速度向右匀速运动，此时细线刚好伸直。当线框全部进入磁场区域后闭合开关S，一段时间后金属棒速度减为零。金属棒与导轨接触良好且导轨电阻忽略不计，线框与金属棒没有发生碰撞，下列说法正确的是（　　）
A．线框cd边刚进入磁场瞬间细线上的拉力大小为
B．线框刚好全部进入磁场区域时的速度大小为
C．闭合开关S到金属棒速度减为零过程中，棒上产生的焦耳热为
D．闭合开关S到金属棒速度减为零过程中，棒上产生的焦耳热为
【答案】AB
【详解】A．线框cd边刚进入磁场时，线框产生的感应电动势
线框中的感应电流
解得
对线框进行分析，根据牛顿第二定律有
对金属棒进行分析，根据牛顿第二定律有
解得
故A正确；
B．令框cd边刚进入磁场到线框刚好全部进入磁场区域经历时间为，根据动量定理有
感应电流的平均值
其中
解得
故B正确；
CD．闭合开关S后，穿过线框的磁通量不变，线框中没有感应电流，金属棒在安培力作用下减速，线框向右匀速运动，细线随后处于松弛状态，则闭合开关S到金属棒速度减为零过程中，根据动量定理有
流经金属棒的电量
根据能量守恒有
则棒上产生的焦耳热为
故CD错误。
故选AB。
如题图1所示，一电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上，导轨两平行边的间距为L，斜面倾角为。虚线下方区域充满一垂直斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一细直金属棒从虚线上方a处由静止释放，进入磁场后，立即受到沿斜面的外力 F作用，经过 b点下行至c点并反向上行。该金属棒在磁场中第一次下行和上行的图像满足余弦关系，如题图2所示。若该金属棒连入电路的阻值恒为R，该金属棒始终与导轨垂直并接触良好，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．该金属棒下行和上行经过b处时所受安培力大小相等
B．该金属棒下行和上行经过b处时所受安培力大小不等
C．内，该金属棒上产生的焦耳热为
D．内，该金属棒上产生的焦耳热为
【答案】AD
【详解】AB．由图可知，该金属棒下行和上行经过 b处时，速度大小相等、方向相反，由楞次定律和左手定则可知，两次经过 b处时所受安培力大小相等、方向相反，选项 A正确，选项 B错误；
CD．内，回路中产生的感应电动势有效值
该金属棒中产生的焦耳热
选项C错误，选项D正确。
故选AD。
如图所示，处于同一水平面的光滑金属直导轨和之间夹角为。两点间距离为，其间接有一阻值为的电阻。空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。一质量为的较长金属棒在水平外力作用下从处以初速度向右运动，在运动的过程中通过上的电流恒定不变，除外其余电阻不计，金属棒运动过程中始终与垂直，且与两导轨保持良好接触，取，则在此过程中（　　）
A．通过的电流为 B．金属棒的最小速度为
C．金属棒运动的时间为 D．水平外力所做的功为
【答案】AD
【详解】A．金属棒在处产生的感应电动势为
回路中的感应电流为
解得
故A正确；
B．由于在运动的过程中通过上的电流恒定不变，表明运动中感应电动势不变，由于金属棒切割磁感线有效长度增大，可知，金属棒应做减速运动，在处速度最小，金属棒切割磁感线产生的感应电动势
解得
故B错误；
C．结合上述可知，金属棒在运动过程中的感应电动势始终不变，则有
解得
故C错误；
D．根据动能定理有
其中
结合上述解得
故D正确。
故选AD。
如图，左侧两光滑平行导轨ab、a b 和右侧两粗糙平行导轨cd、c d 均固定在同一水平面上，导轨间距均为L，左、右两导轨间用长度不计且由绝缘材料制成的bc、b c 平滑连接，两导轨间有磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场，质量为m、长度为L的导体棒AD静置于图示位置。现对AD施加一水平向右的恒定拉力F，经时间t时AD到达bb ，此时撤去力F，AD再经时间t恰好停下（未到达dd 。已知电容器的电容，运动过程中 AD始终与导轨垂直且接触良好，AD与右侧导轨间的动摩擦因数为，d、d 间电阻阻值为R，其余电阻忽略不计，重力加速度大小为g，，则（　　）
A．AD到达bb 之前做变加速直线运动 B．AD到达bb 时的速度大小为
C．AD停下的位置与cc 距离为 D．电阻R中产生的总焦耳热为
【答案】BC
【详解】A．AD到达bb 之前，设在极短的时间Δt内AD速度变化量为Δv，AD中的电流为i，则，，
解得
即AD到达bb 之前做初速度为零，加速度大小为的匀加速直线运动，故A错误；
B．AD到达bb 时的速度大小
故B正确；
C．设AD停下的位置与cc 距离为s，根据动量定理得，
解得
故C正确；
D．摩擦产生的热量
电阻R中产生的总焦耳热为
故D错误。
故选BC。
如图所示，平面内有一外、内直径分别为和的环形区域，以直径AD为分界，左、右半环形区域内分别有垂直平面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。直径为、电阻不计的两个半圆形金属框，置于环形区域的外圆处，并在A、D两处分别用长度可忽略的绝缘材料连接金属框的、两点间连有一阻值为的电阻，一长度为、电阻为的导体棒过圆心放置于金属框上，并绕过点的转轴以角速度顺时针匀速转动，转动过程其两端与金属框接触良好当导体棒转至图中位置时，下列说法正确的是（　　）
A．电阻中电流方向由到
B．流过的电流大小为
C．、两点间的电势差为
D．导体棒段所受安培力大小为
【答案】ABD
【详解】A．根据右手定则，金属棒转动切割磁感线时，点电势高，电阻中电流方向由到，故A正确；
B．导体棒切割磁感线产生的感应电动势
流过的电流大小为
解得
故B正确；
C．结合上述可知，、两点间的电势差为
解得
故C错误；
D．导体棒段所受安培力大小为
结合上述解得
D正确。
故选ABD。
如图所示为电磁炮的简化原理图，直流电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，质量为m的导体棒MN（炮弹）接入电路的电阻为R，导轨间距为L，导轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，摩擦不计。开始时，S接a，电路稳定后，S接b，导体棒MN将会向右运动，以下说法正确的是（　　）
A．S接a时，电容器内电场强度方向向下
B．S接a达到稳定状态时，电容器带电荷量为CE
C．S接b后，导体棒MN加速度逐渐减小到0
D．S接b后，导体棒最终速度大小为
【答案】BCD
【详解】A．S接a时，电容器与电源相连，电容器处于充电状态，下极板带正电，上极板带负电，所以电容器内电场强度方向向上，故A错误；
B．S接a达到稳定状态时，电容器两极板间电势差等于电源电动势，所以
故B正确；
CD．S接b后，电容器放电，流过导体棒的电流方向向上，所以导体棒受到向右的安培力，导体棒向右加速运动，产生感应电动势，回路中电流减小，则导体棒受到的安培力减小，加速度减小，当加速度减为零时，导体棒速度达到最大，此时有
根据动量定理有，
联立可得
故CD正确。
故选BCD。
在方向垂直于纸平面的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的关系式为（其中，，且、k均为已知常量），纸平面内一等边三角形金属线圈的匝数为，边长为，单位长度的电阻为，且一半处在磁场中。时磁场方向如图所示，随着磁场的变化，下列说法正确的是（　　）
A．线圈中感应电流的方向始终为
B．线圈受到的安培力的方向先向右后向左
C．线圈中产生的感应电动势的大小为
D．线圈中感应电流的大小为
【答案】B
【详解】A．由楞次定律和安培定则，线圈中的电流始终是，故A错误；
B．根据关系式（其中，，且、k均为已知常量），随着时间的延长，磁场的方向会变成由外向里且逐渐增强，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外时线圈所受安培力的方向向右，磁场方向垂直纸面向里时，安培力方向向左，即线圈受到的安培力的方向先向右后向左，故B正确；
C．由法拉第电磁感应定律
又
联立，解得，故C错误；
D．感应回路的总电阻
感应电流
故D错误。
故选B。
两间距为的光滑导轨水平放置于的竖直向下匀强磁场中。导轨左端接一单刀双掷开关，一电容为的电容器与定值电阻分别接在1和2两条支路上，其俯视图如图。导轨上有一质量为的金属棒与导轨垂直放置。将开关S接1，时刻起，金属棒ab在的恒力作用下由静止开始向右运动，经过时间t，ab的位移大小为。忽略导轨和导体棒的所有电阻，电容器耐压值很大，不会被击穿。下列说法正确的是（　　）
A．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．
C．在t时刻撤去拉力F，并将开关拨向2，导体棒做匀减速运动
D．在t时刻撤去拉力F，并将开关拨向2，R上消耗的焦耳热为8J
【答案】D
【详解】A．ab棒由牛顿第二定律得
又
，，
得
则
做匀加速直线运动，故A错误；
B．根据
得
，
故B错误；
C．在t时刻撤去拉力F，并将开关拨向2，导体棒受到的安培力与 v成正比，故加速度越来越小，故 C错误；
D．在t时刻撤去拉力F，并将开关拨向2， R上消耗的焦耳热为导体棒的动能转化而来，故
故 D正确。
故选D。
如图所示，间距为的光滑平行金属导轨由倾斜部分、水平部分和竖直半圆弧部分组成，三部分平滑连接。倾斜部分与水平面间的夹角为，上端连接一电容值可调的电容器C（不带电），水平部分NP的长度为，半圆弧轨道半径为，倾斜部分中区域内存在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出），和之间的距离为。现将一绝缘棒b放置在水平导轨上，调节电容器的电容为某一合适的值，使另一金属棒a从位置由静止开始释放，a与b发生弹性碰撞后，b恰好能通过圆弧轨道的最高点。已知a和b的质量均为，长度均为L，两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度大小取，，不计导轨、金属棒a的电阻及空气阻力。
(1)求b棒经过位置时对轨道单边的压力大小；
(2)求a棒下滑到位置时电容器所带的电荷量；
(3)仅改变电容器的电容，使b棒沿飞出后落到倾斜轨道上时速度方向与轨道垂直，求此时电容器的电容。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知棒恰好可以经过圆弧轨道最高点，设棒在圆弧轨道最高点时的速度为，此时棒所受重力提供其做圆周运动的向心力，则有
设棒经过圆弧轨道最低点时的速度为，受到轨道单边对其的支持力为，棒对轨道单边的压力为，棒从圆弧轨道最低点运动至最高点过程中，由动能定理，有
棒在圆弧轨道最低点时，轨道对其的支持力与自身的重力的合力提供其做圆周运动的向心力，则有
由牛顿第三定律可得
联立并代入数据解得
（2）设棒运动到位置时的速度大小为，棒发生弹性碰撞后棒的速度大小为，由于水平导轨光滑，结合动量守恒定律与机械能守恒定律,有
联立解得
设棒在倾斜导轨上向下运动过程中很小一段时间内速度的变化量为，电容器带电量的变化量为，电容器两端电势差变化量为，由法拉第电磁感应定律，有
由电容的定义式有
电路中的电流为
棒的加速度为
由牛顿第二定律有
联立解得
则棒沿倾斜轨道向下运动过程中加速度保持不变，做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式,有
棒下滑到位置时电容器所带的电荷量为
联立解得
（3）棒从圆弧轨道最高点飞出后做平抛运动，设电容器的电容为时棒能垂直落到倾斜轨道上，棒飞出时速度大小为棒在空中运动的时间为，水平方向上的位移为，竖直方向上的位移为，由平抛运动规律和几何关系,有
又有
棒运动轨迹的正视图如图所示
由几何关系，有
设电容器的电容为时，棒在圆弧轨道最低点时的速度为，棒在倾斜导轨上的加速度为棒从圆弧轨道最低点运动至最高点过程中，由动能定理，有
由（2）分析可知，棒碰撞前的速度大小等于碰撞后的速度大小，即
加速度为
由运动学公式，有
联立解得
如图所示，在水平面上的装置由三部分构成，装置中间部分为电路控制系统，电源电动势恒定且为，内阻不计，两个开关、初始状态都断开。装置左右两侧均为足够长且不计电阻的光滑金属导轨，导轨宽度为，宽度为，导轨和之间存在匀强磁场，磁感应强度分别为和，磁场方向如图所示。将质量均为的金属杆，分别如图轻放在水平轨道上，两杆接入电路中的电阻相等，不计金属杆与导轨的摩擦。
(1)接通，求杆的最大速度；
(2)当杆做匀速运动后，断开同时闭合，当两杆再次匀速运动时，求杆产生的焦耳热。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）S1接通，ab中有a→b的电流，ab受水平向右的安培力 ab向右做加速运动，ab切割磁感线产生一个感应电动势,与电源相抵消。当ab产生的感应电动势与电源电动势完全相消时，ab棒不受安培力，ab将做匀速运动，速度为vm，此时产生的感应电动势为
解得
（2）断开S1，接通S2，ab向右运动切割磁感线产生感应电流，由b→a，电流再流经cd棒，方向由c到d。由左手是则可知，ab棒受水平向左的安培力，做减速运动； cd棒受水平向右的安培力，向右做加速运动，ab、cd.产生互相抵消的电动势，当完全抵消时，电路中无电流 。ab、cd做匀速运动速度分别为v1、v2，则
可得
v1=v2
ab、cd中电流相等。ab、cd的安培力分别为
F1=2BIL
F2=B×2LI=2BIL
安培力大小相等、方向相反，ab、cd满足动量守恒，有
联立解得
电路中的总热量为
因为ab、cd的阻值相等，所以cd杆产生的焦耳热为
如图（a），两组平行金属导轨在同一水平面固定，间距分别为d和1.5d，分别连接电阻R1、R2，边长为d的正方形区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化关系如图（b）所示。t = 0时，在距磁场左边界d处，一长为1.5d的均匀导体棒在外力作用下，以恒定速度v0向右运动，直至通过磁场，棒至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为3R，R1、R2的阻值分别为2R、R，其他电阻不计，棒与导轨垂直且接触良好。求：
(1)时间内，R1中的电流方向及其消耗的电功率P；
(2)时间内，棒受到的安培力F的大小和方向。
【答案】(1)N到M，
(2)，水平向左
【详解】（1）由图（b）可知在时间段内，磁场均匀增加，根据楞次定律可知R1中的电流方向为N到M；这段时间内的感应电动势根据法拉第电磁感应定律有
时间内，导体棒在MN之间的电阻为2R，所以电流为
R1的功率为
（2）在时间内根据左手定则可知棒受到的安培力方向水平向左；分析电路可知MN之间的部分导体棒相当于电源；MN之外的部分和R2串联然后再和R1并联，并联电路的总电阻为
回路中的总电阻为
根据
可得
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第30讲　微专题五 动力学和能量观点在电磁感应中的应用
命题点一　电磁感应中的动力学问题
1．题型简述
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
2．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
3.动态分析的基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大值或最小值的条件．具体思路如下：
如图所示，质量为2 kg的单匝矩形线框PMNQ恰好静止在倾角的粗糙绝缘固定斜面上，PQ、MN的电阻分别为和， PM、QN的电阻不计。虚线下方区域存在垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为1 T。一质量为1kg的光滑导体棒ab水平放置在矩形线框上，接入回路的有效长度为3 m，电阻为。运动过程中导体棒始终与线框接触良好，且与 PQ平行。现将导体棒从距磁场边界S处静止释放，进入磁场的瞬间，线框恰好不滑动。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 g取。则下列说法正确的是（　　）
A．导体棒进入磁场瞬间的加速度大小为
B．距离S为
C．导体棒匀速运动时的速度大小为
D．导体棒进入磁场后，经已达到匀速运动状态，此过程回路中产生的总焦耳热为
如图所示，AME、HDG为两条足够长的光滑平行金属导轨。导轨倾斜部分倾角θ=30°，置于垂直倾斜导轨平面向下、磁感应强度大小为2T的匀强磁场中，距离MD足够远处放置一质量为20g、内阻不计的导体棒ab。导轨水平部分通过导线分别连接有电容C=5000μF的电容器和R=2Ω的电阻，导轨G端接有一单刀双掷开关。t=0时刻开关接1，对导体棒施加一个沿导轨向上、功率恒定的牵引力F，使导体棒从静止开始沿导轨向上运动，t=4s时达到最大速度2m/s，0~4s内电阻R上产生的热量为8.5J。t=6s时撤去牵引力，同时断开开关；t=6.4s时，开关接2。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计，导轨间距L=0.5m，重力加速度g=10m/s2 ，则（　　）
A．0~6s内导体棒先做匀加速运动后做匀速运动
B．整个过程中牵引力做功为13.2J
C．导体棒沿轨道向上运动的最远距离为6m
D．t=7s时，导体棒的速度大小为2.4m/s
如图所示，MN和PQ是两根相互平行竖直放置的光滑金属导轨，间距为L，导轨足够长，PM由导线连接，且导轨与导线电阻不计。折线金属杆abcdef与导轨在同一平面内，杆与导轨垂直，且始终与导轨接触良好，边长，，，，在同一直线上，金属杆abcdef的质量为m，电阻为R。整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，开始时，让金属杆由静止自由下落，当cd边刚进入磁场时，金属杆恰好匀速运动，运动后，水平边进入磁场，下落时间后，金属杆再次匀速，重力加速度为g，则（　　）
A．开始时，cd边到磁场的上边缘距离为
B．水平边进入磁场时，金属杆abcdef的加速度大小为
C．水平边进入磁场，下落时间，下落高度为
D．下落时间内，金属杆产生的焦耳热大于金属杆重力势能的减少量
如图所示，间距、倾角、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小的匀强磁场中；匝数匝、横截面积、电阻的线圈处于方向竖直向上、磁感应强度大小随时间的变化规律为的磁场中，线圈两端通过导线分别与导轨的M、P端连接。时刻闭合开关S，同时将质量、长度也为、电阻的金属棒ab从导轨上端由静止释放，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好。已知重力加速度，导轨电阻不计，则下列说法正确的是（　　）
A．时刻通过金属棒的电流大小为
B．时刻金属棒的加速度大小为
C．金属棒在导轨上运动的最大速度大小为
D．当金属棒刚开始匀速运动时断开开关S，它继续下滑时的速度大小为
命题点二　电磁感应中动力学和能量观点的综合应用
1．题型简述
电磁感应过程的实质是不同形式的能量相互转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的．安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程．
2．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；
(3)根据能量守恒定律或功能关系列式求解．
3．求解电能应分清两类情况
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算．
(2)若电流变化，则
①利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；
②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能．
如图，虚线be的左边有倾斜的金属轨道，它与水平面的倾角为30°，上方有一电容器，电容为，水平光滑金属轨道bc、ef平行且足够长，整个装置处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，虚线左侧磁场方向与导轨垂直向上，虚线右侧磁场方向竖直向上，导轨电阻不计，倾斜轨道与水平轨道通过绝缘材料相连，倾斜轨道与水平轨道上有质量均为m的导体棒P、Q，两导体棒垂直于导轨，P的电阻忽略不计，Q的电阻为R，现让P由倾斜轨道上高为h处静止释放，P与倾斜轨道间的动摩擦因数为，轨道间距与导体棒长度均为L，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．P滑至最低点前加速度越来越小
B．P滑至最低点时速度大小为
C．P滑上水平轨道时，Q的加速度大小为a=
D．P滑上水平轨道后，系统产生的焦耳热为
如图所示，两平行光滑长直金属导轨固定在水平面上，导轨间距为L，电阻不计。金属棒a、b垂直导轨放置，b棒右侧MNPQ矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。a棒以大小为的水平速度向右运动，一段时间后a与静止的b发生弹性碰撞，碰后两棒先后进入磁场区域。已知两棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，a、b的质量分别为4m、m，电阻均为R，长度均为L。
(1)求碰撞后瞬间a、b的速度大小；
(2)若b在磁场中运动距离时，a还未进入磁场，求此过程中b棒产生的焦耳热；
(3)若a刚进入磁场时，b已经离开磁场区域，要使a、b不会再次发生碰撞，求磁场区域宽度x需满足的条件。
如图所示，足够长光滑平行金属导轨水平固定，导轨间距，导轨右端接有直流电源和开关S，电源电动势，内阻。与导轨垂直的边界右侧空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=2T。质量、电阻的金属棒垂直导轨置于MN右侧导轨上某一位置。表面涂有绝缘层的矩形线框置于导轨上，MN左侧，线框边长，边长，电阻，质量与金属棒相同。不可伸长的轻质绝缘细线两端分别与金属框长边中点和金属杆中点拴接。断开开关S，让线框和金属棒以的共同速度向右匀速运动，此时细线刚好伸直。当线框全部进入磁场区域后闭合开关S，一段时间后金属棒速度减为零。金属棒与导轨接触良好且导轨电阻忽略不计，线框与金属棒没有发生碰撞，下列说法正确的是（　　）
A．线框cd边刚进入磁场瞬间细线上的拉力大小为
B．线框刚好全部进入磁场区域时的速度大小为
C．闭合开关S到金属棒速度减为零过程中，棒上产生的焦耳热为
D．闭合开关S到金属棒速度减为零过程中，棒上产生的焦耳热为
如题图1所示，一电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上，导轨两平行边的间距为L，斜面倾角为。虚线下方区域充满一垂直斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一细直金属棒从虚线上方a处由静止释放，进入磁场后，立即受到沿斜面的外力 F作用，经过 b点下行至c点并反向上行。该金属棒在磁场中第一次下行和上行的图像满足余弦关系，如题图2所示。若该金属棒连入电路的阻值恒为R，该金属棒始终与导轨垂直并接触良好，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．该金属棒下行和上行经过b处时所受安培力大小相等
B．该金属棒下行和上行经过b处时所受安培力大小不等
C．内，该金属棒上产生的焦耳热为
D．内，该金属棒上产生的焦耳热为
如图所示，处于同一水平面的光滑金属直导轨和之间夹角为。两点间距离为，其间接有一阻值为的电阻。空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。一质量为的较长金属棒在水平外力作用下从处以初速度向右运动，在运动的过程中通过上的电流恒定不变，除外其余电阻不计，金属棒运动过程中始终与垂直，且与两导轨保持良好接触，取，则在此过程中（　　）
A．通过的电流为 B．金属棒的最小速度为
C．金属棒运动的时间为 D．水平外力所做的功为
如图，左侧两光滑平行导轨ab、a b 和右侧两粗糙平行导轨cd、c d 均固定在同一水平面上，导轨间距均为L，左、右两导轨间用长度不计且由绝缘材料制成的bc、b c 平滑连接，两导轨间有磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场，质量为m、长度为L的导体棒AD静置于图示位置。现对AD施加一水平向右的恒定拉力F，经时间t时AD到达bb ，此时撤去力F，AD再经时间t恰好停下（未到达dd 。已知电容器的电容，运动过程中 AD始终与导轨垂直且接触良好，AD与右侧导轨间的动摩擦因数为，d、d 间电阻阻值为R，其余电阻忽略不计，重力加速度大小为g，，则（　　）
A．AD到达bb 之前做变加速直线运动 B．AD到达bb 时的速度大小为
C．AD停下的位置与cc 距离为 D．电阻R中产生的总焦耳热为
如图所示，平面内有一外、内直径分别为和的环形区域，以直径AD为分界，左、右半环形区域内分别有垂直平面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。直径为、电阻不计的两个半圆形金属框，置于环形区域的外圆处，并在A、D两处分别用长度可忽略的绝缘材料连接金属框的、两点间连有一阻值为的电阻，一长度为、电阻为的导体棒过圆心放置于金属框上，并绕过点的转轴以角速度顺时针匀速转动，转动过程其两端与金属框接触良好当导体棒转至图中位置时，下列说法正确的是（　　）
A．电阻中电流方向由到
B．流过的电流大小为
C．、两点间的电势差为
D．导体棒段所受安培力大小为
如图所示为电磁炮的简化原理图，直流电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，质量为m的导体棒MN（炮弹）接入电路的电阻为R，导轨间距为L，导轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，摩擦不计。开始时，S接a，电路稳定后，S接b，导体棒MN将会向右运动，以下说法正确的是（　　）
A．S接a时，电容器内电场强度方向向下
B．S接a达到稳定状态时，电容器带电荷量为CE
C．S接b后，导体棒MN加速度逐渐减小到0
D．S接b后，导体棒最终速度大小为
在方向垂直于纸平面的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的关系式为（其中，，且、k均为已知常量），纸平面内一等边三角形金属线圈的匝数为，边长为，单位长度的电阻为，且一半处在磁场中。时磁场方向如图所示，随着磁场的变化，下列说法正确的是（　　）
A．线圈中感应电流的方向始终为
B．线圈受到的安培力的方向先向右后向左
C．线圈中产生的感应电动势的大小为
D．线圈中感应电流的大小为
两间距为的光滑导轨水平放置于的竖直向下匀强磁场中。导轨左端接一单刀双掷开关，一电容为的电容器与定值电阻分别接在1和2两条支路上，其俯视图如图。导轨上有一质量为的金属棒与导轨垂直放置。将开关S接1，时刻起，金属棒ab在的恒力作用下由静止开始向右运动，经过时间t，ab的位移大小为。忽略导轨和导体棒的所有电阻，电容器耐压值很大，不会被击穿。下列说法正确的是（　　）
A．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．
C．在t时刻撤去拉力F，并将开关拨向2，导体棒做匀减速运动
D．在t时刻撤去拉力F，并将开关拨向2，R上消耗的焦耳热为8J
如图所示，间距为的光滑平行金属导轨由倾斜部分、水平部分和竖直半圆弧部分组成，三部分平滑连接。倾斜部分与水平面间的夹角为，上端连接一电容值可调的电容器C（不带电），水平部分NP的长度为，半圆弧轨道半径为，倾斜部分中区域内存在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出），和之间的距离为。现将一绝缘棒b放置在水平导轨上，调节电容器的电容为某一合适的值，使另一金属棒a从位置由静止开始释放，a与b发生弹性碰撞后，b恰好能通过圆弧轨道的最高点。已知a和b的质量均为，长度均为L，两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度大小取，，不计导轨、金属棒a的电阻及空气阻力。
(1)求b棒经过位置时对轨道单边的压力大小；
(2)求a棒下滑到位置时电容器所带的电荷量；
(3)仅改变电容器的电容，使b棒沿飞出后落到倾斜轨道上时速度方向与轨道垂直，求此时电容器的电容。
如图所示，在水平面上的装置由三部分构成，装置中间部分为电路控制系统，电源电动势恒定且为，内阻不计，两个开关、初始状态都断开。装置左右两侧均为足够长且不计电阻的光滑金属导轨，导轨宽度为，宽度为，导轨和之间存在匀强磁场，磁感应强度分别为和，磁场方向如图所示。将质量均为的金属杆，分别如图轻放在水平轨道上，两杆接入电路中的电阻相等，不计金属杆与导轨的摩擦。
(1)接通，求杆的最大速度；
(2)当杆做匀速运动后，断开同时闭合，当两杆再次匀速运动时，求杆产生的焦耳热。
如图（a），两组平行金属导轨在同一水平面固定，间距分别为d和1.5d，分别连接电阻R1、R2，边长为d的正方形区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化关系如图（b）所示。t = 0时，在距磁场左边界d处，一长为1.5d的均匀导体棒在外力作用下，以恒定速度v0向右运动，直至通过磁场，棒至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为3R，R1、R2的阻值分别为2R、R，其他电阻不计，棒与导轨垂直且接触良好。求：
(1)时间内，R1中的电流方向及其消耗的电功率P；
(2)时间内，棒受到的安培力F的大小和方向。
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