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第31讲　微专题六 动力学、动量和能量观点在电学中的应用
命题点一　电磁感应中的动量和能量的应用
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起.解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(牛顿运动定律、动量守恒定律、动量定理、动能定理等).解决这类问题的方法：
(1)选择研究对象.即是哪一根导体棒或几根导体棒组成的系统.
(2)分析其受力情况.安培力既跟电流方向垂直又跟磁场方向垂直.
(3)分析研究对象所受的各力做功情况和合外力情况，选定所要应用的物理规律.
(4)分析研究对象(或系统)是否符合动量守恒的条件.
(5)运用物理规律列方程求解.注意：加速度a＝0时，速度v达到最大值.
类型1　动量定理和功能关系的应用
类型2　动量守恒定律和功能关系的应用
如图，水平面（纸面）内固定有两足够长、光滑平行金属导轨，间距为l，其左端接有阻值为R的定值电阻。一质量为m的金属杆（长度略大于l）垂直放置在导轨上。在电阻和金属杆间，有两个垂直于纸面向里的匀强磁场，圆形磁场面积为S，磁感应强度大小随时间的变化关系为（k为大于零的常量）；矩形磁场磁感应强度大小。从时刻开始，矩形磁场以速度向右匀速运动；时，边恰好到达金属杆处。之后，金属杆跟随磁场向右运动；时，系统达到稳定状态。已知金属杆与导轨始终垂直且接触良好，整个过程金属杆未离开矩形磁场区域，不计金属杆和导轨电阻，磁场运动产生的其他影响可忽略，求：
(1)到时间内，流经电阻R的电荷量；
(2)时刻，加速度的大小；
(3)到时间内与矩形磁场的相对位移。
如图所示，足够长的固定平行金属导轨A1B1B2A2与水平面的夹角θ=30°，导轨的右端接有开关S及阻值为R的电阻，导轨的间距为2L，导轨上的C1C2下方存在随空间交替变化的条形区域的匀强磁场，方向如图，磁感应强度大小均为B，每一条形磁场区域的宽度均为L。相同的金属棒MN和PQ用绝缘轻质杆D1D2固定在一起组成一个“工”字形工件。现闭合开关S并将“工”字形工件从C1C2的上方某一位置由静止释放，金属棒MN刚进入磁场时加速度变为零。已知金属棒MN和PQ的质量均为3m、电阻均为2R、长度均为2L，二者之间的间距为L，运动过程中两金属棒与导轨始终接触良好，不计金属棒与导轨之间的摩擦力，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
(1)金属棒MN刚进入磁场时，求电阻R两端的电压；
(2)求“工”字形工件由静止释放时，金属棒MN与C1C2之间的距离x1；
(3)当金属棒PQ刚进入磁场时打开开关S并开始计时，经过时间t，“工”字形工件的加速度再次变为零，求此时金属棒PQ与C1C2之间的距离x2。
如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，窄轨M1N1、M2N2之间的距离L1=1m，光滑的宽轨O1P1、O2P2之间的距离L2=2m。窄轨以垂直于轨道的虚线A1A2为分界线，左侧粗糙，右侧光滑。窄轨左侧通过开关S1连接一电容C=0.02F的电容器（耐压值足够大）。宽轨和窄轨连接处有开关S2，宽轨左侧接有电阻R1=10Ω。质量m=1kg的金属棒ab静止在窄轨上，ab棒到A1A2的距离x=4.5m，与窄轨粗糙部分间的动摩擦因数μ=0.2；质量M=2kg的金属棒cd静止在宽轨上。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小B=10T的匀强磁场中。现闭合S1，断开S2，给ab棒施加一与导轨平行、大小为5N的恒力F，当其运动到A1A2时，撤去F，同时断开S1，闭合S2。窄轨和宽轨足够长，ab始终在窄轨上运动，cd棒始终在宽轨上运动。两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，cd棒连入电路中的电阻R2=20Ω，其余电阻均不计。重力加速度g=10m/s2。求：
(1)恒力F的作用时间；
(2)cd棒从开始运动到匀速的过程中，通过cd的电荷量；
(3)cd棒从开始运动到匀速的过程中，cd棒中产生的焦耳热。
如图1所示，两条间距为、电阻不计的光滑平行金属轨道固定在水平面上，轨道右侧与光滑绝缘斜面的底部平滑连接，斜面倾角为，水平轨道处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。将长度均为的金属棒P、Q放在轨道上，两棒均与轨道垂直，Q棒到斜面底部的距离为。现给P棒一定的初速度，在Q棒第一次到达斜面底端之前，两棒的速度—时间图像如图2所示，已知P棒的质量为，两棒电阻均为，重力加速度为，整个过程两棒未相碰，P棒始终在水平轨道上，Q棒未冲出斜面，求：
(1)Q棒第一次到达水平轨道右端时的加速度大小；
(2)Q棒从开始运动至第一次到达水平轨道右端所用的时间；
(3)P棒做减速运动的总位移大小和Q棒在斜面上运动的总时间。
命题点二　电场、磁场中动量和能量观点的应用
动量与电磁学知识综合应用类问题的求解与一般的力学问题求解思路并无差异，只是问题的情景更复杂多样；分析清楚物理过程，正确识别物理模型是解决问题的关键.
类型1　电场中动量和能量观点的应用
类型2　磁场中动量和能量观点的应用
随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。
(1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力常量为G。求该星球的质量M。
(2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）的初始质量为，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻（），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。
(3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为的探测器以相对太阳的速率飞向质量为的行星，行星相对太阳的轨道速率为，方向与相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为，方向与相反；行星运动方向不变。已知，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。
①推导的表达式（用表示）；
②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。
目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭载了一种全新的推进装置——离子推进器，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。该装置获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。已知每个离子质量为、电荷量为，单位时间内飘入的正离子数目为。将该离子推进器固定在地面上进行试验。
(1)求正离子经过电极B时的速度的大小；
(2)求推进器获得的平均推力的大小；
(3)加速正离子束所消耗的功率不同时，引擎获得的推力也不同，试推导的表达式，并指出为提高能量的转换效率，要使尽量大可以采取的两条措施。
如图所示，在真空建立坐标系O-xyz，z轴正方向垂直于纸面向外（未画出），xOy平面的第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着沿y轴负方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场；区域存在方向均沿着x轴正方向的匀强磁场和匀强电场（未画出），磁感应强度大小，电场强度大小，k为常数。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好从坐标原点O进入区域，过O点时速度大小为、方向与y轴负方向的夹角。不计粒子重力，求：

(1)在平面坐标系xOy的第二象限中电场强度大小；
(2)在区域内，粒子偏离xOy平面的最大距离；
(3)在区域内，粒子偏离xOy平面距离最大时的x坐标；
(4)在平面坐标系xOy的第二象限中磁感应强度大小。
如图所示，位于轴上处有一电子源，能向其上方平面内发射速度大小均为，方向任意的电子。电子质量为，电荷量为。已知在区域存在垂直纸面向里的磁感应强度大小为的匀强磁场，在区域存在垂直纸面向里的磁感应强度大小满足（为已知正常数）的非匀强磁场（图中未画出）。
(1)某时刻电子源同时放出大量电子，为了使所有进入匀强磁场区域的电子都不能进入非匀强磁场区域，可以在轴上适当位置放置一挡板。则挡板至少有多长？
(2)在（1）问条件下，求在挡板上能持续接收到电子的时间有多长？
(3)取走挡板，再次从电子源发射电子，其中以垂直于轴方向进入非匀强磁场区域的电子，能深入到非匀强磁场区域的距离最大。求当该电子距轴最远时，其进入非匀强磁场区域的轨迹线与轴所围成区域的面积。
离子推进器常用于调整卫星姿态。如图甲所示，离子推进器可简化为由内、外半径分别为和的同轴圆柱体构成，分为电离区Ⅰ和加速区Ⅱ，电离区Ⅰ的同轴圆柱体间充有稀薄气体铯，且存在磁感应强度大小为B的轴向匀强磁场。其简化工作过程：推进器初速度为零，电离区Ⅰ的内圆柱体表面持续发射电子，电子碰撞气体铯原子使之电离带电，然后，带正电的铯离子以接近零（计算中可视为零）的初速度进入两端电压为U的加速区Ⅱ，从右侧高速喷出，对离子推进器产生反推力，推动卫星运动。在出口处，灯丝发射的电子注入正铯离子束中，使铯离子不再带电，对推进器不再有作用力。已知电子质量为，电荷量为e；铯离子质量为m，电荷量为q。不计铯原子和电子的重力。
(1)求铯离子通过加速区Ⅱ后瞬间的速度大小：
(2)若时间内从加速区Ⅱ右侧喷射出N个铯离子，求推进器获得的平均推力大小：
(3)从内圆柱体表面发射的电子在电离区Ⅰ内运动时，如果接触外圆柱体壁，则将被吸收，所以要求电子不能与外圆柱体壁相碰。若电子在垂直于圆柱轴线的截面内沿与径向成角的方向发射，如图乙所示，不考虑电子间相互作用力和碰撞，不考虑电子与铯原子之间的碰撞，求电子的最大发射速率。
如图所示，坐标系平面在纸面内，在的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，的区域Ⅰ和的区域Ⅱ的磁感应强度大小分别为和。大量质量为、电荷量为的带正电的粒子，同时从原点射入磁场，粒子射入的速度大小相等，在坐标平面内与正方向成角。沿轴正方向射入的粒子在点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子从原点射入磁场时的速度大小；
(2)求不能进入区域Ⅱ内的粒子，在区域Ⅰ内运动的最长时间；
(3)若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为，观察发现沿轴正方向射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并与两磁场的边界相切于Q点（未画出），求：
①该粒子由点运动到Q点的时间；
②该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度。
如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B0、足够大的匀强磁场。质量为m、电荷量为+q的带电粒子在xOy平面内从y轴上的M（0，L）点以不同速率射入磁场，且速度方向与y轴正半轴的夹角θ=53°保持不变。题中B0、m、q、L为已知值，不计粒子重力，sin53°=0.8。回答下列问题：
（1）若粒子从x轴下方离开磁场，求粒子速度大小应满足的条件；
（2）若粒子从y轴左侧离开磁场，求y轴上有粒子经过的区域长度；
（3）若x轴上方充满着方向垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小随纵坐标y均匀增大，且满足。粒子以大小为的速度从M点沿原方向（即图示方向）射入磁场，求粒子在磁场中从M点运动到离x轴最远位置的过程中运动轨迹与x轴围成的面积S。
列车在进站的过程中，其刹车原理可简化为如图所示。在车身下方固定一单匝矩形导线框，利用线框进入磁场时所受安培力，辅助列车刹车。已知列车质量为m，线框总电阻为R，线框ab边长为L，bc边长近似等于车身长度s，列车轨道上匀强磁场区域足够长，且磁感应强度的大小为B。车头刚进入磁场时速度大小为，车尾进入磁场瞬间列车恰好停止，列车停止前所受所有摩擦阻力恒为f。求：
(1)列车车头进入磁场瞬间，列车加速度的大小a；
(2)列车从进站到停止过程中，线框产生的焦耳热Q；
(3)列车从进站到停止过程中需要多长时间。
如图所示，水平面上固定两对称导轨，两导轨左端各有一段向内侧偏折，其余部分平行且足够长，平行部分的间距为L，两导轨间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。初始时导体棒a位于导轨左端，导体棒a与导轨间的夹角均为，导体棒b刚好位于两导轨弯折处。两导体棒a、b的质量均为m，导体棒a光滑且不考虑电阻，导体棒b粗糙且接入两导轨间部分的电阻为R。现在外力作用下让a棒向右做匀速直线运动，速度大小为v0，当a、b两棒间距缩至时，导体棒b由静止开始向右加速运动，当a棒运动至导轨弯折处时，导体棒b的速度大小为，此时立即撤去施加在a棒上的外力，同时给b棒施加一水平向右的外力，外力大小刚好平衡其所受滑动摩擦力，两棒在运动过程中始终平行，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。不计导轨电阻，已知重力加速度为g。
(1)求导体棒b与导轨间的动摩擦因数μ；
(2)求当导体棒a运动至弯折处时，a、b两棒间的距离d；
(3)若a、b棒在平行直导轨上运动过程中始终不会相碰，则速度v0需满足什么条件？（用含B、m、R、L 的式子表示）
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第31讲　微专题六 动力学、动量和能量观点在电学中的应用
命题点一　电磁感应中的动量和能量的应用
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起.解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(牛顿运动定律、动量守恒定律、动量定理、动能定理等).解决这类问题的方法：
(1)选择研究对象.即是哪一根导体棒或几根导体棒组成的系统.
(2)分析其受力情况.安培力既跟电流方向垂直又跟磁场方向垂直.
(3)分析研究对象所受的各力做功情况和合外力情况，选定所要应用的物理规律.
(4)分析研究对象(或系统)是否符合动量守恒的条件.
(5)运用物理规律列方程求解.注意：加速度a＝0时，速度v达到最大值.
类型1　动量定理和功能关系的应用
类型2　动量守恒定律和功能关系的应用
如图，水平面（纸面）内固定有两足够长、光滑平行金属导轨，间距为l，其左端接有阻值为R的定值电阻。一质量为m的金属杆（长度略大于l）垂直放置在导轨上。在电阻和金属杆间，有两个垂直于纸面向里的匀强磁场，圆形磁场面积为S，磁感应强度大小随时间的变化关系为（k为大于零的常量）；矩形磁场磁感应强度大小。从时刻开始，矩形磁场以速度向右匀速运动；时，边恰好到达金属杆处。之后，金属杆跟随磁场向右运动；时，系统达到稳定状态。已知金属杆与导轨始终垂直且接触良好，整个过程金属杆未离开矩形磁场区域，不计金属杆和导轨电阻，磁场运动产生的其他影响可忽略，求：
(1)到时间内，流经电阻R的电荷量；
(2)时刻，加速度的大小；
(3)到时间内与矩形磁场的相对位移。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由电流定义式
欧姆定律
法拉第电磁感应定律
得
累加求和，可知流过电阻R电荷量的绝对值
（2）时，由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律
由牛顿第二定律
联立求解得时刻，的加速度
（3）当时，系统达到稳定状态，回路中电流为零，设此时金属杆的速度为，则
求解得
设在到时间内，与矩形磁场的相对位移为
由
得
对金属杆，由动量定理
联立求解得
如图所示，足够长的固定平行金属导轨A1B1B2A2与水平面的夹角θ=30°，导轨的右端接有开关S及阻值为R的电阻，导轨的间距为2L，导轨上的C1C2下方存在随空间交替变化的条形区域的匀强磁场，方向如图，磁感应强度大小均为B，每一条形磁场区域的宽度均为L。相同的金属棒MN和PQ用绝缘轻质杆D1D2固定在一起组成一个“工”字形工件。现闭合开关S并将“工”字形工件从C1C2的上方某一位置由静止释放，金属棒MN刚进入磁场时加速度变为零。已知金属棒MN和PQ的质量均为3m、电阻均为2R、长度均为2L，二者之间的间距为L，运动过程中两金属棒与导轨始终接触良好，不计金属棒与导轨之间的摩擦力，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
(1)金属棒MN刚进入磁场时，求电阻R两端的电压；
(2)求“工”字形工件由静止释放时，金属棒MN与C1C2之间的距离x1；
(3)当金属棒PQ刚进入磁场时打开开关S并开始计时，经过时间t，“工”字形工件的加速度再次变为零，求此时金属棒PQ与C1C2之间的距离x2。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）金属棒MN刚进入磁场时加速度变为零，则可得
R两端的电压
解得
（2）金属棒MN刚进入磁场时有，
工件从静止释放到金属棒MN刚进入磁场，由动能定理可得
解得
（3）工件完全进入磁场后有，
工件受到的安培力
解得
工件再次加速度为零时，此时速度为v1，有
工件完全进入磁场后到再次加速度为零，由动量定理可得
其中
解得
如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，窄轨M1N1、M2N2之间的距离L1=1m，光滑的宽轨O1P1、O2P2之间的距离L2=2m。窄轨以垂直于轨道的虚线A1A2为分界线，左侧粗糙，右侧光滑。窄轨左侧通过开关S1连接一电容C=0.02F的电容器（耐压值足够大）。宽轨和窄轨连接处有开关S2，宽轨左侧接有电阻R1=10Ω。质量m=1kg的金属棒ab静止在窄轨上，ab棒到A1A2的距离x=4.5m，与窄轨粗糙部分间的动摩擦因数μ=0.2；质量M=2kg的金属棒cd静止在宽轨上。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小B=10T的匀强磁场中。现闭合S1，断开S2，给ab棒施加一与导轨平行、大小为5N的恒力F，当其运动到A1A2时，撤去F，同时断开S1，闭合S2。窄轨和宽轨足够长，ab始终在窄轨上运动，cd棒始终在宽轨上运动。两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，cd棒连入电路中的电阻R2=20Ω，其余电阻均不计。重力加速度g=10m/s2。求：
(1)恒力F的作用时间；
(2)cd棒从开始运动到匀速的过程中，通过cd的电荷量；
(3)cd棒从开始运动到匀速的过程中，cd棒中产生的焦耳热。
【答案】(1)
(2)
(3)1J
【详解】（1）先闭合电键S1，断开电键S2，金属棒ab在拉力作用下从静止开始做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得：
解得：
根据
解得：
（2）当金属棒ab运动到A1A2处时，其速度为，
此时撤去恒力F，同时断开电键S1，闭合电键S2，金属棒ab在安培力作用下向右减速，金属棒cd在安培力作用下向右加速，最终都做匀速运动，金属棒ab、cd的速度分别为、，在此过程中，根据动量定理可得：
对金属棒ab：
对金属棒cd：
对整个闭合电路：
解得：
对金属棒cd：
解得：
（3）金属棒cd在向右加速的过程中，系统所产生的焦耳热为Q，根据能量守恒定律可得：
则金属棒cd产生的焦耳热
如图1所示，两条间距为、电阻不计的光滑平行金属轨道固定在水平面上，轨道右侧与光滑绝缘斜面的底部平滑连接，斜面倾角为，水平轨道处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。将长度均为的金属棒P、Q放在轨道上，两棒均与轨道垂直，Q棒到斜面底部的距离为。现给P棒一定的初速度，在Q棒第一次到达斜面底端之前，两棒的速度—时间图像如图2所示，已知P棒的质量为，两棒电阻均为，重力加速度为，整个过程两棒未相碰，P棒始终在水平轨道上，Q棒未冲出斜面，求：
(1)Q棒第一次到达水平轨道右端时的加速度大小；
(2)Q棒从开始运动至第一次到达水平轨道右端所用的时间；
(3)P棒做减速运动的总位移大小和Q棒在斜面上运动的总时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在Q棒第一次到达斜面底端之前，由动量守恒定律得
解得
对Q棒，根据牛顿第二定律
又有，，
综合得
又有
解得
（2）在Q棒第一次到达斜面底端之前，对Q棒，由动量定理有
解得
解得
由动量守恒定律有
所以。
将代入得
（3）由题意知，棒最终停在斜面底部，整个过程对得
解得
又有
解得
对系统整个过程
解得
命题点二　电场、磁场中动量和能量观点的应用
动量与电磁学知识综合应用类问题的求解与一般的力学问题求解思路并无差异，只是问题的情景更复杂多样；分析清楚物理过程，正确识别物理模型是解决问题的关键.
类型1　电场中动量和能量观点的应用
类型2　磁场中动量和能量观点的应用
随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。
(1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力常量为G。求该星球的质量M。
(2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）的初始质量为，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻（），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。
(3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为的探测器以相对太阳的速率飞向质量为的行星，行星相对太阳的轨道速率为，方向与相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为，方向与相反；行星运动方向不变。已知，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。
①推导的表达式（用表示）；
②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。
【答案】(1)
(2)
(3)①；②见解析
【详解】（1）探测器绕星球沿圆轨道匀速率运行时，万有引力提供向心力
即
可得
（2）氙离子经加速电压U加速后，相对探测器的速度大小为v，根据动能定理得
在t时间内喷出氙离子质量为
根据动量定理得
联立解得
根据牛顿第三定律知：探测器获得的反冲作用力大小为
探测器质量随时间的变化规律为
探测器加速度随时间的变化规律为
（3）①设探测器绕过行星后，行星速率为，以行星运动方向为正方向，根据动量守恒定律得
根据机械能守恒定律得
联立解得
由于
得。
②行星与探测器相互作用时，发生动量和能量的转化。由于行星与探测器相对运动，行星具有较大的轨道速率，且，行星动能（或动量）损失很小，探测器却获得了较大的速率。
目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭载了一种全新的推进装置——离子推进器，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。该装置获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。已知每个离子质量为、电荷量为，单位时间内飘入的正离子数目为。将该离子推进器固定在地面上进行试验。
(1)求正离子经过电极B时的速度的大小；
(2)求推进器获得的平均推力的大小；
(3)加速正离子束所消耗的功率不同时，引擎获得的推力也不同，试推导的表达式，并指出为提高能量的转换效率，要使尽量大可以采取的两条措施。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）正离子在A、B之间加速过程，根据动能定理，有
解得
（2）设正离子束所受的电场力为，根据牛顿第三定律，有
以很短时间时间内飘入电极间的个正离子为研究对象，以离子喷出时的速度方向为正方向，根据动量定理，有
其中
解得
（3）设正离子束所受的电场力为，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有
则
根据的表达式可知，为增大可用比荷较小的离子（质量大，带电量小的离子）、或减小加速电压。
如图所示，在真空建立坐标系O-xyz，z轴正方向垂直于纸面向外（未画出），xOy平面的第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着沿y轴负方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场；区域存在方向均沿着x轴正方向的匀强磁场和匀强电场（未画出），磁感应强度大小，电场强度大小，k为常数。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好从坐标原点O进入区域，过O点时速度大小为、方向与y轴负方向的夹角。不计粒子重力，求：

(1)在平面坐标系xOy的第二象限中电场强度大小；
(2)在区域内，粒子偏离xOy平面的最大距离；
(3)在区域内，粒子偏离xOy平面距离最大时的x坐标；
(4)在平面坐标系xOy的第二象限中磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）粒子从P到Q，电场力做正功，洛仑兹力不做功，由动能定理得
解得
（2）将O点的速度分解，水平方向的速度为
竖直方向的速度为
根据洛伦兹力充当向心力，有
解得
偏离平面xOy的最大距离
（3）粒子运动周期为
可得
沿x轴正方向，根据牛顿第二定律
解得
根据运动学规律，得
解得
（4）根据题意粒子速度与y轴负方向的夹角
粒子在经过磁场时的水平方向上， 由牛顿第二定律，有
由动量定理，有
即
解得
如图所示，位于轴上处有一电子源，能向其上方平面内发射速度大小均为，方向任意的电子。电子质量为，电荷量为。已知在区域存在垂直纸面向里的磁感应强度大小为的匀强磁场，在区域存在垂直纸面向里的磁感应强度大小满足（为已知正常数）的非匀强磁场（图中未画出）。
(1)某时刻电子源同时放出大量电子，为了使所有进入匀强磁场区域的电子都不能进入非匀强磁场区域，可以在轴上适当位置放置一挡板。则挡板至少有多长？
(2)在（1）问条件下，求在挡板上能持续接收到电子的时间有多长？
(3)取走挡板，再次从电子源发射电子，其中以垂直于轴方向进入非匀强磁场区域的电子，能深入到非匀强磁场区域的距离最大。求当该电子距轴最远时，其进入非匀强磁场区域的轨迹线与轴所围成区域的面积。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据磁场方向和初速度方向可知，电子在发射后所受到的洛伦兹力向右并作为向心力，可得
代入数据可得
根据偏转分析可得，挡板长度
（2）挡板上持续收到电子的时间即为挡板第一次接收到电子与最后一次接收到的时间差，所有电子在均匀磁场中运动的周期都一致，故运动时间与偏转角度成正比。综上，需要找到偏转的角度范围即可求出持续时间。
出射点与源点的连线对应电子偏转轨迹的弦，偏转角大小与弦的大小成正比。经对图像分析可得，弦最短为，最长为。
所以，
设持续时间为，则
（3）由于
洛伦兹力方向与速度方向垂直，将速度沿方向和方向分解为和，在方向上所受到的洛伦兹力为，则
在方向上用动量定理进行分析，离轴最远的时候，所以
即
面积为
解得
离子推进器常用于调整卫星姿态。如图甲所示，离子推进器可简化为由内、外半径分别为和的同轴圆柱体构成，分为电离区Ⅰ和加速区Ⅱ，电离区Ⅰ的同轴圆柱体间充有稀薄气体铯，且存在磁感应强度大小为B的轴向匀强磁场。其简化工作过程：推进器初速度为零，电离区Ⅰ的内圆柱体表面持续发射电子，电子碰撞气体铯原子使之电离带电，然后，带正电的铯离子以接近零（计算中可视为零）的初速度进入两端电压为U的加速区Ⅱ，从右侧高速喷出，对离子推进器产生反推力，推动卫星运动。在出口处，灯丝发射的电子注入正铯离子束中，使铯离子不再带电，对推进器不再有作用力。已知电子质量为，电荷量为e；铯离子质量为m，电荷量为q。不计铯原子和电子的重力。
(1)求铯离子通过加速区Ⅱ后瞬间的速度大小：
(2)若时间内从加速区Ⅱ右侧喷射出N个铯离子，求推进器获得的平均推力大小：
(3)从内圆柱体表面发射的电子在电离区Ⅰ内运动时，如果接触外圆柱体壁，则将被吸收，所以要求电子不能与外圆柱体壁相碰。若电子在垂直于圆柱轴线的截面内沿与径向成角的方向发射，如图乙所示，不考虑电子间相互作用力和碰撞，不考虑电子与铯原子之间的碰撞，求电子的最大发射速率。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）铯离子在加速电场中，由动能定理有
铯离子通过加速电压后得到的速度大小
（2）时间内从加速区Ⅱ右侧喷射出N个铯离子，设质量为的推进器获得的速度大小为，根据动量守恒定律有
对推进器由动量定理得
解得
（3）设电子的轨道半径为r，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得电子最大初始发射速度
如图所示，坐标系平面在纸面内，在的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，的区域Ⅰ和的区域Ⅱ的磁感应强度大小分别为和。大量质量为、电荷量为的带正电的粒子，同时从原点射入磁场，粒子射入的速度大小相等，在坐标平面内与正方向成角。沿轴正方向射入的粒子在点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子从原点射入磁场时的速度大小；
(2)求不能进入区域Ⅱ内的粒子，在区域Ⅰ内运动的最长时间；
(3)若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为，观察发现沿轴正方向射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并与两磁场的边界相切于Q点（未画出），求：
①该粒子由点运动到Q点的时间；
②该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度。
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【详解】（1）由题意知，粒子做圆周运动的半径
由
解得
（2）由旋转圆模型知，粒子沿轴正向进入Ⅰ区域的时间最长，即
（3）①该粒子在区域Ⅱ中的运动轨速如图所示
洛伦兹力提供向心力
可得
即角速度为一定值，又可知粒子与边界相切时转过的弧度为，时间
解得
②粒子在区域Ⅱ中做螺旋线运动，由于阻力最后停下来，在切线方向上，牛顿第二定律
则
有
解得
如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B0、足够大的匀强磁场。质量为m、电荷量为+q的带电粒子在xOy平面内从y轴上的M（0，L）点以不同速率射入磁场，且速度方向与y轴正半轴的夹角θ=53°保持不变。题中B0、m、q、L为已知值，不计粒子重力，sin53°=0.8。回答下列问题：
（1）若粒子从x轴下方离开磁场，求粒子速度大小应满足的条件；
（2）若粒子从y轴左侧离开磁场，求y轴上有粒子经过的区域长度；
（3）若x轴上方充满着方向垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小随纵坐标y均匀增大，且满足。粒子以大小为的速度从M点沿原方向（即图示方向）射入磁场，求粒子在磁场中从M点运动到离x轴最远位置的过程中运动轨迹与x轴围成的面积S。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）若粒子刚好不离开磁场，则运动轨迹与x轴相切，如图所示；由几何关系得
由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
故要使粒子从x轴下方离开磁场，粒子速度应满足
（2）若粒子从y轴正半轴的左侧离开磁场，经过y轴的区域长度为MN，粒子从y轴离开范围如图所示；由几何关系知
解得
（3）粒子在磁场中从M点运动到离x轴最远位置时速度沿y轴分量为零；在y轴方向由动量定理可知：即洛伦兹力竖直分力冲量等于竖直方向动量变化量。
设粒子在x轴方向上的分速度为，根据动量定理可得
又
解得
列车在进站的过程中，其刹车原理可简化为如图所示。在车身下方固定一单匝矩形导线框，利用线框进入磁场时所受安培力，辅助列车刹车。已知列车质量为m，线框总电阻为R，线框ab边长为L，bc边长近似等于车身长度s，列车轨道上匀强磁场区域足够长，且磁感应强度的大小为B。车头刚进入磁场时速度大小为，车尾进入磁场瞬间列车恰好停止，列车停止前所受所有摩擦阻力恒为f。求：
(1)列车车头进入磁场瞬间，列车加速度的大小a；
(2)列车从进站到停止过程中，线框产生的焦耳热Q；
(3)列车从进站到停止过程中需要多长时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）列车车头进入磁场瞬间，ab边切割磁感线产生的电动势为
则通过线框ab边的电流大小为
列车车头进入磁场瞬间，根据牛顿第二定律可得
联立解得列车加速度的大小为
（2）列车从进站到停止过程中，根据功能关系可得
解得线框产生的焦耳热为
（3）列车从进站到停止过程中，根据动量定理可得
由以上表达式可知
如图所示，水平面上固定两对称导轨，两导轨左端各有一段向内侧偏折，其余部分平行且足够长，平行部分的间距为L，两导轨间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。初始时导体棒a位于导轨左端，导体棒a与导轨间的夹角均为，导体棒b刚好位于两导轨弯折处。两导体棒a、b的质量均为m，导体棒a光滑且不考虑电阻，导体棒b粗糙且接入两导轨间部分的电阻为R。现在外力作用下让a棒向右做匀速直线运动，速度大小为v0，当a、b两棒间距缩至时，导体棒b由静止开始向右加速运动，当a棒运动至导轨弯折处时，导体棒b的速度大小为，此时立即撤去施加在a棒上的外力，同时给b棒施加一水平向右的外力，外力大小刚好平衡其所受滑动摩擦力，两棒在运动过程中始终平行，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。不计导轨电阻，已知重力加速度为g。
(1)求导体棒b与导轨间的动摩擦因数μ；
(2)求当导体棒a运动至弯折处时，a、b两棒间的距离d；
(3)若a、b棒在平行直导轨上运动过程中始终不会相碰，则速度v0需满足什么条件？（用含B、m、R、L 的式子表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由几何关系可知，当a、b两棒间距缩至时，a棒接入回路部分的长度为，回路中的电流为
此时，导体棒b所受安培力为
根据平衡条件得
联立可得
（2）对导体棒b运动距离d的过程由动量定理得
导体棒a从两棒相距运动至弯折处所用时间
且，，，
联立可得
（3）当导体棒a运动至导轨平行部分时，两棒组成的系统动量守恒，有
对导体棒a由动量定理得
即
联立可得
若保证两棒不相碰，需满足，联立可得
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