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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k
的图象与性质
第3课时：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第二十二章
y = a(x-h)2 a>0 a<0
图象 h>0
h<0
开口方向
对称轴 顶点坐标 函数的增减性
最值
x=h时，y最小值=0
x=h时，y最大值=0
当x当x>h时，y随x增大而减小.
当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
（h，0）
x
y
O
x
y
O
O
y
x
O
y
x

探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象
【列表】
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点。
【描点】

【连线】

-2
2
-2
-4
-6
4
-4
y
x
0
通过描点法画出y = - (x+1)2 -1的图象？
探索二次函数y=a(x-h)2+k的性质
开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
x=-1
（-1，-1）
抛物线y = - (x+1)2 -1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
探索二次函数平移规律


-2
2
-2
-4
-6
4
-4
y
x
0



向左平移一个单位
向左平移一个单位
向下平移一个单位


向下平移一个单位

提问：还有其他平移方法吗？
探索二次函数平移规律
向下平移1个单位
向上平移1个单位
向左平移1个单位
向右平移1个单位
上加下减常数项，左加右减自变量
探索二次函数平移规律
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？

y=ax2+k


向右（h＞0）或向左（h＜0）平移|h|个单位长度
向右（h＞0）或向左（h＜0）平移|h|个单位长度
向上（k﹥0）或向下（k﹤0）平移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或向下（k﹤0）平移|k|个单位长度
向右（h＞0）或向左（h＜0）平移|h|个单位长度
再向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位长度
平移步骤
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h) +k，确定其顶点坐标(h,k)；
⑵ 保持抛物线y=ax 的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：
左右平移
上下平移 上下左右平移 上下平移
左右平移
探索二次函数平移规律
y= a(x-h) +k （a≠0） 图形 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
a＞0
a＜0
向上
向下
(h,k)
直线x=h
在对称轴左侧即当xy 随 x的增大而减小.
在对称轴右侧即当x>h时,
y随 x 的增大而增大.
在对称轴左侧即当xy 随 x的增大而增大，
在对称轴右侧即当x>h时,
y随 x 的增大而减小.
当x=h时,
y最小值=k
当x=h时,
y最大值=k
h﹥0，k﹥0
x
y
O
x
y
O
y
x
y
x
h﹤0，k﹥0
h﹤0，k﹤0
h﹥0，k﹤0
h﹥0，k﹥0
h﹤0，k﹥0
h﹤0，k﹤0
h﹥0，k﹤0
x
y
x
y
y
x
y
x
（考查二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质）
典例1 填空
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
开口向上
开口向下
开口向上
开口向下








（考查二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质）
变式1-1 对于二次函数 y=(x-2)2+2的图象,下列说法正确的是（ ）
A.开口向下 B.当x= -2时,y有最大值是2
C.对称轴是x= -2 D.顶点坐标是(2,2)
变式1-2 二次函数 y=2(x-1)2+3,当 x 时,y随x的增大而减小.
<1
（考查二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质）
变式1-3 若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【详解】
∵a=1>0，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵y=（x﹣m）2﹣1的对称轴是x=m，∴m≥3.故选C.
（考查二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质）
变式1-4 二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【详解】
解：观察函数图象，可知：m＞0，n＞0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限．
故选A．
（考查二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质）

【详解】
解: 设这个二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），
∴二次函数的解析式为y=a（x-2）2-1，
把（0，3）分别代入得a=1，所以y=（x-1）2-1．故选C
【详解】
顶点坐标（m,m+1）在第一象限，则有
解得：m>0,
故选B.
（考查二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质）
变式1-6 若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　)
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
（考查二次函数的平移规律）
典例2 已知 y=a(x-h)2+k是由抛物线 y= -2x2向上平移3个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的，则a= ,h= , k= ;
-2
1
3
（考查二次函数的平移规律）
变式2-1 把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1的图象.
（1）试确定a，h，k的值；
【解析】1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1，
∴可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，
而将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y= (x-1)2-5，∴a= ，b=1，k=-5；
（考查二次函数的平移规律）
变式2-1 把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1的图象.
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（2）二次函数y= (x-1)2-5，
开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.
第3课时：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

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