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第22章
一元二次方程
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形的面积问题
教学目标/Teaching aims
1
分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2
会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3
会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
复习回顾
二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，y的最值是 .
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是 ，顶点坐标是 ___ .当x= ____时，函数有最值，是 _____ .
x=h
（h，k）
k
h



复习回顾
3. 二次函数y=2(x-3)2-5的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，y的最 值是 .
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最___ 值，是 .
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最______值，是 .
x=3
（3，5）
3
小
-5
x=-4
（-4，-1）
-4
大
-1
x=2
（2,1）
2
1
小
新知探究
二次函数与几何图形面积的最值
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t-5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t-5t 2
可以看出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
新知探究
二次函数与几何图形面积的最值
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
想一想：如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
新知探究
二次函数与几何图形面积的最值
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t-5t 2
新知探究
二次函数与几何图形面积的最值
一般地，当a＞0（a____）时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低(_____)点，也就是说，当x=______时，y有最小（____）值是________。
<0
高
大
巩固练习

A．10m B．3m C．4m D．2m或10m
A
类比探究
二次函数与几何图形面积的最值
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值.
类比探究
二次函数与几何图形面积的最值

你能画出此函数的图象吗？
类比探究
如图，该函数图象是一条抛物线的一部分，该抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，s有最大值.
O
．
即l是15m时，场地的面积S最大.（S=225㎡)
二次函数与几何图形面积的最值
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
归纳小结
解决此类问题的基本思路：
【1】理解问题；
【2】分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
【3】 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
【4】 在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值；
【5】 检验结果的合理性。
二次函数与几何图形面积的最值
巩固练习
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形鸡场，设鸡场的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成鸡场的最大面积。
A
B
C
D
二次函数与最大面积
巩固练习
A
B
C
D
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃长为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝ 时，
S最大值＝ ＝36（平方米）
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4时，S最大值＝32 平方米
课堂练习
C
课堂练习
B
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂总结
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积
谢谢观看
二次函数

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