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(共34张PPT)
第22章
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 抛物线型问题
教学目标/Teaching aims
1
掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2
利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3
能运用二次函数的图象与性质进行决策．
复习回顾
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
x
y
x
y
x
y
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k
（4）y=ax2+bx+c
O
O
O
复习回顾
回想一下，上节课我们学了什么？
商品利润问题的解题要点：
1.建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本。
2.确定自变量取值范围：涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0。
3.利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出最值。
新知导入
思考：欣赏下列图片，你能想到什么？
新课导入
抛物线
新知探究
利用二次函数解决实物抛物线问题
探究1：如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面 2 m时,水面宽 4 m。水面下降 1 m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少 ？
新知探究
利用二次函数解决实物抛物线问题
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
你能想出办法来吗？
新知探究
利用二次函数解决实物抛物线问题
（1）怎样把这个实际问题转化成数学问题来解？
二次函数的图像就是抛物线，在图像上建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，即可把实际问题转化成数学问题。
新知探究
利用二次函数解决实物抛物线问题
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。设这条抛物线的解析式为 y=ax2.
4
2
y
x
0
（2）求函数解析式的方法是什么？如何设这个函数解析式？
新知探究
利用二次函数解决实物抛物线问题
（3）你打算利用哪个点的坐标？这个点的坐标是什么？
4
2
y
x
0
(-2,-2)
●
(2,-2)
●
∵当拱桥顶离水面 2m时,水面宽 4m，
∴抛物线经点（2，-2）、（-2，-2）
新知探究
利用二次函数解决实物抛物线问题
解：把点（2，-2）代入二次函数y=ax2，


当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-3



新知探究
利用二次函数解决实物抛物线问题
还可以怎样建立直角坐标系？
以水面为横轴，水面中心为原点建立坐标系
你能构建二次函数模型并列出解析式吗？
拱形桥是一开口向下，对称轴为y轴，经过点（0，2）的抛物线因此这个二次函数的形式为y=-ax2+2
新知探究
利用二次函数解决实物抛物线问题
4
2
X
y
0
你能想出多少种方法？
以水面为横轴，水面4m宽左侧起点处为原点建立坐标系，则拱形桥是一开口向下，对称轴是x=2，经过（4，0）点的抛物线。
∴抛物线解析式设为：
y=-a（x-2）2+2
归纳小结
总结：坐标系的建立可有不同的方法，会得到不同的函数关系式，但不同的方法得到的结果是相同的。
利用二次函数解决实物抛物线问题
新知探究
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
利用二次函数解决实物抛物线问题
巩固练习
要使运动员坐船从拱形桥下面穿过，现已知拱形桥顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少
x
y
O
-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)
4米
巩固练习
当 时，
所以，水面下降1m，水面的宽度为 m.
所以水面的宽度增加了 　 　 m.
解：建立如图所示坐标系,
由抛物线经过点（2，-2），可得
所以，这条抛物线的解析式为
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
-3
x
y
O
(-2,-2) ●
● (2,-2)
设二次函数解析式为
新知探究
利用二次函数解决运动中抛物线型问题

3米
4米
4米
x
y
O
新知探究
利用二次函数解决运动中抛物线型问题

因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.

3米
4米
4米
x
y
A
B
C
O
新知探究
利用二次函数解决运动中抛物线型问题

当x=8时，则
所以此球不能投中.

判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；
新知探究
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中
（1）跳得高一点儿；
（2）向前平移一点儿.
3米
8米
4米
4米
x
y
O
新知探究
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
（1）跳得高一点儿；
y
x
（8，3）
（4，4）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
4
2
新知探究
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
（2）向前平移一点儿.
y
（8，3）
（4，4）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
4
2
（７，３）
●
x
归纳小结
解决抛物线型实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
巩固练习
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
巩固练习
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
巩固练习
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
解得
a=－0.2，
k=3.5，
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
2.25a+k=3.05，
k=3.5，
x
y
O
课堂练习
1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m
C
课堂练习

C




课堂练习
3.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x
(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.
x
y
O
2
课堂练习
4.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
O
A
C
D
B
y
x
20 m
h
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2 .
课堂总结
实际问题
数学模型
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（实物中的抛物线形问题）
转化的关键
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标
选择运算简便的方法
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 实物抛物线
谢谢观看
二次函数

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