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2025 铁岭县莲花一中中考三模
数 学 试 题
(满分: 120 分 考试时间: 120 分钟)
考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效。
一、选择题 (本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.下面是由几个相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图为 ( )
2.某一天，沈阳、铁岭、鞍山、大连四个城市的最低气温分别是-5℃，-4℃，-3℃，1℃，其
中气温最低的城市是 ( )
A.沈阳 B.铁岭 C.鞍山 D.大连
3.国家统计局发布的 2024 年国民经济和社会发展统计公报显示，2024 年全国居民人均可支
配收入约为 41300 元。其中 41300 用科学记数法表示应为 ( )
. 0.413 × 105 . 413 × 102 . 4.13 × 104
. 41.3 × 103
4.下列运算正确的是( )
. 3 2 = 6 B.2x+2y=4xy
C.3(x+8)=3x+8 . 2 3 = 3 6
5.下列事件是必然事件的是 ( )
A.大连市明天最高气温是 15℃
B.三角形内角和为 180°
C.射击运动员射击一次，命中 10 环
D.某运动员跳高的最好成绩是 8m
6.平面直角坐标系中，点 P(2，1)关于 y轴的对称点 P'的坐标是 ( )
A. (-2, - 1) B.(1, 2) C.(2, - 1) D. (-2, 1)
7.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道题，其大意为：快马每天走 240 里，慢马每
天走 150 里，慢马先走 12 天，快马几天可追上慢马 若设快马 x 天可追上慢马，由题意得
( )
. = 12 . = +12
240 150 240 150
1
C.240x=150(x+12) . = +
150 240 20
8.如图, 在矩形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, 若 OA=5, AB=6, 则四边形
ABCD 的面积为 ( )
A.24 B.36
C.48 D.60
9.如图, 在△ABC 中, AD 为角平分线, 若∠B=∠C=60°, AB=4, 则 CD 的长度
为 ( )
A.1 . 3
C.2 D.4
10.如图, 函数 y =-4x 与 y = kx+5 (k≠0) 的图象相交于点 A(m, 2), 则
关于 x的不等式-4x> kx+5 的解集为 ( )
A. x>-2 B. x<-2
. > 1 . < 1
2 2
二、填空题 (本题共 5小题，每小题 3分，共 15 分)
1 3
11.分式方程 = 的解为 .
4
12.如图，在平面直角坐标系中，点 A，C，B 的坐标分别为(-1,0), (0, 3),-(m, 0),m>0,
连接 AC, BC.若 AB:BC, 则 m 的值为 .
13.如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, D 为线段 AB 的中点, AC=3, BC=4, 则 CD= .
14.如图, 在△ABC 中, ∠C=90°, AB=10cm, BC=8cm, 点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的
速度运动,同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm /s 的速度运动 (点 Q 运动到点 B 停
止)，在运动过程中，△CPQ 面积的最大值为 cm .
15.如图, 一次函数 y=-x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4, 0), B(0, 4),
点 C(1, m) 在一次函数 y=-x+4 的图象上, 连接 OC, 以点 O 为圆
心，以适当长为半径作弧，分别与 OC，OA 相交于点 M，N；再分别
1
以点 M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内
2

部相交于点 P,作射线 OP,交函数 y=-x+4 的图象于点 D, 则 的值

为 .
三、解答题 (本题共 8小题，共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16. (10 分) 计算:
1 18 + 3 ÷ 3 ∣ 1)2. 2
2
1 ÷ 4 .
3 2 2 4 +4
17.(8 分)某校生物实验兴趣小组的同学计划用 39m 长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种
植甲、乙两种植物，其中墙长为 20 m.
(1)设 AB 边的长为 xm，则 BC 边的长为 m.(用含 x的代数式表示)
(2)若所围成的试验田的总面积为 126 2,求 BC 的长.
(3)能否围成总面积为 160 '的试验田 请说明理由.
18.(8 分)某校为开展礼仪知识竞答活动，从七、八年级中各随机抽取 20 名学生的竞答成
绩 (百分制，单位：分)进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于 90 分
(成绩用 x 表示, 共分为五组: A: 98≤94; E: 90七年级 20 名学生竞答成绩如下：
92, 94, 94, 94, 95, 95, 97, 97, 97, 98, 99, 99, 99, 100, 100, 100, 100, 10
0,100, 100.
八年级 20 名学生的竞答成绩在 B 等级的数据如下：
97, 97, 98, 98, 98, 98.
七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数
七年级 97.5 a 98.5
八年级 97.5 99 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 上述表中 a= , b= .
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握礼仪知识较好 请说明
理由 (写出一条理由即可).
(3)该校七年级有 900 名学生、八年级有 800 名学生参加了此次礼仪知识竞答活动，
估计该校七、八年级参加此次竞答活动成绩高于 96 分的学生共有多少人.
; :
19.(8 分)商场出售某种商品，每件的进价为 40 元，经市场调查发现，平均日销售量 y(件)与
每件售价 x (元)( (40 < ≤ 100)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价 x/元 … 90 80 70
日销售量 y/件 … 10 20 30
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式( (40 < ≤ 100).
(2)该商品应如何定价才能使利润 W 最大
20.(8 分)某数学活动小组在 一座山峰 AB 上测量东西走向的两处景点 C，D 之间的距离.经测
量，点 C 在点 A 的南偏西 30 方向上，点 D 在点 A 的南偏东 76 方向上，已知山峰 AB
的高度为 60m，求 CD 的长.(结果精确到 1m；参考数据： 3 ≈ 1.73, sin76 ≈ 0.97,
cos76 ≈ 0.24, tan76 ≈ 4.01)
21. (8 分) 如图, 在 △ 中， = ,, 以 AB 为直径作⊙O, 交 AC 于点 E, 连接 BE,过
点 A 作⊙O 的切线交 BC 的延长线于点 D，延长 BE 交 AD 于点 F.
(1) 求证: = .
(2) 若 = 10, = 4 5,求 AF 的长.
22. (12 分) 等腰直角三角形 ABC 中,. ∠ = 90 , = ,, 点 D 是 BC 的中点, 连接 A
D,点 E 是 AC 上一点, BE, AD 交于点 F, 于点 G.
(1) 如图 1, 若( = 2 ,求证 = .
(2) 如图 2, 连接 AG, 若 ∠ = ∠ , 求 的值.

23.(13 分)在平面直角坐标系中，二次函数 = 2 + 4 ≠ 0 的图象经过点 A(2, 0),
4 0 ,，与 y轴交于点 C，连接 AC，BC，点 P为第三象限抛物线上一动点，过点 P作
‖ 轴交直线 BC 于点 M，过点 P作 ‖ 交 x轴于点 N.
(1)求抛物线的函数表达式.
2 5
(2) 如图 1, 求 + 的最大值及此时点 P的坐标.
5
(3)如图 2，当点 M 在抛物线的对称轴上时，若点 Q，E 分别在对称轴和抛物线上，且
= 2 , ‖ ,求点 E的坐标.
一、选择题
1. B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. D 7. C 8. C 9. C 10. D
二、填空题
5 10
11. x=6 12.4 13. 14.9 15.
2 4
三、解答题
1 2
16.解: (1) 原式 = 3 2 + 1 = 3 2 + .
3 3
= +2 2
2 2 2 2 2
(2) 原式 = = .
2 +2 2 2 +2 2 +2
17.解: (1) (39-3x).
(2)由题意得， 39 3 = 126, ∴ 2 13 + 42 = 0,解得 x=6 或 x=7.
当 x=6 时, 39-3x=21>20, 不符合题意, 舍去;
当 x=7 时, 39-3x=18<20, 符合题意,
∴BC 的长为 18 m.
(3) 不能.理由: 由题意可得方程 x(39-3x)=160, ∴3x -39x+160=0.
∵△= ( 39)2 4 × 3 × 160 = 399 < 0,，∴方程无实数解，
∴不能围成总面积为 160m 的实验田.
18.解: (1) 100 97.5
(2)我认为七年级学生掌握礼仪知识较好.理由：
因为七年级、八年级学生竞答成绩的平均数相等，但是七年级学生成绩的中位数和众数
比八年级学生成绩的中位数和众数都高，因此我认为七年级学生掌握礼仪知识较好.
3 900 × 14 + 800 × 14 = 1190(人) .
20 20
答：估计该校七、八年级参加此次竞答活动成绩高于 96 分的学生共有 1 190 人.
19.解： (1)由题意，设 y与 x之间的函数关系式为 y=kx+b (k≠0)，又结合表格数据可
知图象过点(90, 10), (80, 20),
∴ {90 + = 10, = 1,80 + = 20,解得 { = 100,
∴y与 x之间的函数关系式为 y=-x+100 (40(2)根据题意得， = 40 + 100 = 2 + 140 400 = 70 2 + 900.
∵40答：该商品应定价为 70 元，才能使利润 W 最大.
20.解: 由题意得, AB⊥CD, ∴∠ABC=∠ABD=90°.
= 30 , = 60 , tan = 在 Rt△ABC 中, ∠ ∠ ,

∴ tan30 = ,解得 = 60tan30 = 60 × 3 = 20 3 ≈ 20 × 1.73 = 34.6 .
60 3
= 76 , tan = 在 Rt△ABD 中, ∠ ∠ ,

∴ = tan76 ≈ 60 × 4.01 = 240.6 ,
∴CD=BC+BD=34.6+240.6=275.2≈275 (m) .答: CD 的长约为 275 m.
21. (1) 证明: ∵AD 为⊙O 的切线, ∴BA⊥AD, ∴∠D+∠ABD=90°.
∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠AEB=90°, ∴∠EBC+∠ACB=90°.
∵AB=AC, ∴∠ABD=∠ACB, ∴∠D=∠EBC, ∴FB=FD.
(2) 解: 设 AE=x, 则 CE=10-x.
在 Rt△ABE 和 Rt△CBE 中,. 2 2 = 2 2,
2
即 102 2 = 4 5 10 2,解得 x=6,∴AE=6, CE=4.
在 Rt△ABE 中, = 2 2 = 102 62 = 8.
∵ ∠ = ∠ , ∴ tan∠ = tan = = = 4 = 10 , ∴ = 20.
8
设 AF=y, 则 BF=DF=20-y.在 Rt△ABF 中, ∠BAD=90°, AB +AF =BF
,即 102 + 2 = 20 2, ∴ = 15 , 15即 AF 的长为
2 2
22. (1) 证明: 如图 1, 取 BE 的中点 T, 连接 DT.
∵T 为 BE 的中点, D 为 BC 的中点, ∴DT∥AC, 且 = 1 .
2
∵CE=2AE, ∴DT=AE.∵DT∥AC, ∴∠1=∠ADT.在△AFE 和△DFT
∠1 = ∠ ,
中, {∠ = ∠ , ∴△ △ , ∴ = .
= ,
(2) 解: 如图 2, 过点 A 作 AT⊥GD 交 DG 的延长线于点 T.
∵∠BAC=90°, AB=AC, D 为 BC 的中点,
1
∴AD= BC, ∴AD=BD=CD, ∴∠ADB=90°, ∴∠1+∠2=90°.
2
∵DG⊥BE, ∴∠BGD=90°, ∴∠3+∠2=90°, ∴∠1=∠3.
∠1 = ∠3,
在△DBG 和△ADT 中, {∠ = ∠ = 90 ,
= ,
∴△DBG≌△ADT, ∴DG=AT.
∵∠AGE=∠ADG, ∠ATD=∠FGD=90°,
∴AT∥BE, ∴∠AGE=∠TAG=∠ADG.
设 TG=x, AT=GD=y,∴TD=x+y,
2
∴ 2 = + , 2 + 2 = 0, + 1 = 0,

1+ 5 1 5 1+ 5
解得 = , = < 0(舍去), ∴ = = .
2 2 2
∵ ‖ , ∴ = = 1+ 5 .
2
取 BE 的中点 K, 连接 DK,
∴ = 1∵D为 BC 的中点, , ‖ ,
2
∴∠AEF=∠EKD, ∠AFE=∠DFK,
∴△ △ , ∴ = = 1+ 5 ,
2
∴ = 1+ 5 , ∴ = 1+ 51 . 2 42
23.解: (1) 当 x=0 时, y=-4, ∴C(0, - 4) .
设 y=a(x-2)(x+4), 将 C(0, - 4) 代入 y=a(x-2)(x+4) 中, 解
= 1 , ∴ = 1 2 + 4 = 1得 2 + 4.
2 2 2
(2) 如图 1, 过点 P作 PH⊥x 轴于点 H, ∴∠PHN=90°=∠COA.
∵ ‖ , ∴ ∠1 = ∠2, ∴△ △ , ∴ = .

在 Rt△AOC 中, = 2, = 4, ∴ = 2 + 2 = 22 + 42 = 2 5.
1设 2 + 4 ( 4 < < 0), ∴ = 1 2 + 4 .
2 2
∴ 2 5 = 1 2 + 4 .
5 2
1
∵PM∥x 轴, ∴ = = 2 + 4.2
设 lBc: y= kx+b(k≠0),
将 B(-4, 0), C(0,-4)代入 lBc: y= kx+b (k≠0),
= 4,
得 {0 = 4 + ,解得
令 4 = 1 2 + 4,解得 = 1 2 , ∴ 1 2 1 2 + 4 ,
2 2 2 2
= =
1 2 2 , ∴ 2 5 + = 1 2 + 4 1 2 2 2 2
2 5 2 2
2
3 + 4 = + 3 + 25
2 4
3 2 5
∵-1<0, - 42 5 4
3 35
的坐标为 .
2 8
1
(3) 由 (2) 得 2 1 2 + 4 , 且 = 1.
2 2 2
1
∵点 M在对称轴上， ∴ 2 = 1,
2
解得 1 = 1 3, 2 = 1+ 3(舍去),
∴ = 1 3, ∴ = = 1 1 3 = 3,
∴ = 2 = 2 3.
∵QE∥PM, PM∥x 轴, 点 Q 在对称轴上, ∴QE∥x 轴, = 1.
① = + , ∴ = 1+ 2 3.
将 = 1+ 2 3代入 =
1 2 + 4,
2
3
得 1 1+ 2 3 .2
② = , ∴ = 1 2 3.
将 = 1 2 3
1
代入 = 2 + 4,
2
得 2 1 2 3
3 .
2
综上所述， 1 1+ 2 3
3 , 3
2 2
1 2 3 .
2

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