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杭州学军中学2024学年第二学期高三数学学科模拟试卷
杭州学军中学高三数学备课组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3、已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4、正四棱台中，，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5、已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6、在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7、直线与圆交于两点，，则为（ ）
A． B． C． D．
8、已知、，且，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定、的大小
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9、已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则
A．的准线方程为 B．若，则
C．的最大值为16 D．为钝角
10．已知圆锥的侧面积为，母线，底面圆的半径为r，点P满足，则（ ）
A．当时，圆锥的体积为
B．当时，从点绕圆锥一周到达点的最短长度为
C．当时，顶点和两条母线构成的截面三角形的最大面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数在上单调递增
B．当时，函数有两个极值
C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
D．当时，若直线与曲线有三个交点，则
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12、已知函数若 ．
13、已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为 ．
14、某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、（13分）如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点．
（1）求证：⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16、（15分）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中．
（1）求及（）的通项公式；
（2）若数列的前项和，数列满足，令，证明：
（）．
17、（15分）在一不透明的纸箱中有5个完全相同的小球，其中白色小球2个，红色小球2个，黄色小球1个，现在A同学每次不放回从箱中随机取出一个球，若取到白色小球，则再取一次，直至取到红色或黄色小球为止．
（1）求A同学取到红色小球的概率；
（2）当A同学取球结束后，纸箱内还剩余X个球，求X的分布列以及数学期望；
（3）当A同学取球结束后（取出的球不放回），B同学按照以上规则继续取球，求B同学恰好取了两次球的概率．
18、（17分）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线AP，AQ的斜率之和；
（3）设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值．
19、（17分）对于函数，为的实数根，其中，若存在，，使得或者，则称为“攀登函数”．
（1）分析函数是否为“攀登函数”；
（2）函数为“攀登函数”
（i）求p的取值范围；
（ii）当时，设函数，其中，表示a，b中的较大者，分析是否存在w，使得为“攀登函数”，若存在，求出w的最大值，若不存在，说明理由．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A B D C B A
ABD ABD ACD
12．2 13． 14．609
15．【详解】（1）证明：底面是边长为2的正三角形，故，
为中点，，且，
在中，，故，
在中，，
，故．
由于，且平面，因此平面．
（2）解：以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，，
所以．
设平面的法向量为，
则有得
取，得．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
16．解：（1）由，得，，
由数列是一个二阶等差数列，得是以2为首项，1为公差的等差数列，
因此，
当时，，
满足上式，则，
所以的通项公式是．
（2）由，得，
时，，故．
当为奇数时，；
当为偶数时，．
计算得：
故．
，故
因此．
左边界：．
右边界：，
故
综上，．
17．(1) (2)
X 2 3 4
P 1/10 3/10 3/5
(3)
18．【详解】（1）
（2）由题知．
由于平移不改变斜率，作平移变换．
则点的坐标变为，点的坐标变为
双曲线方程变为，即①
设点与点连线的斜率为，则．
①式两边同除以，得，即②
由题知，直线PQ不过点，所以设直线
因为直线PQ过点，所以，即，所以
所以，代入(2)得
方程的两根即为AP，AQ的斜率，由韦达定理
所以直线AP，AQ的斜率之和为
（3）设AP斜率为斜率为
联立，得．联立，得．
由可知，AP为外接圆的切线，且
设，
所以，即，即
当时取等
所以，直线PR的斜率的最大值为
19．(1)解方程，即，根为，
取时，根为，满足攀登函数定义，故是攀登函数。
(2)(i)函数，解方程，即，根为，因，故，。
，极值点为和。
根据攀登函数定义，需存在使得或。
取，区间为，极值点（因对恒成立），计算（因是的根），故需或，但，满足，故对任意，均为攀登函数，即。
(2)(ii)当时，，解方程得根，重排顺序为。
，其中。
分析时，在处取极小值，在时单调递增，的周期为，导数。
要使为攀登函数，需存在，即，使得或。
。
当时，若在(0，2)内存在极大值点使且，则，满足攀登函数条件。
，因，故，当时，，即，，取，则，即。
同时，即，需，
当时，，在处取极大值，满足条件，且是最大正整数使周期内存在极值点在(0，2)内，故的最大值为6。
答案第1页，共2页

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