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2025年天津市数学学业水平测试模拟试卷（1）
一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合,，则=
（A） （B）{c}
（C）{a, b} （D）{ a, b，c}
（2）不等式的解集为
（A） （B）
（C） （D）
（3）用弧度制表示为
（A） （B）
（C） （D）
（4）命题P：“”的否定是
（A） （B）
（C） （D）
（5）下列函数是偶函数的为
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知圆锥的底面直径和高均为2，则这个圆锥的体积为
（A） （B）
（C） （D）
（7）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（8）已知函数的图象经过点，则
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知，，则
（A） （B）3
（C）9 （D）20
（10）要得到的图象，只需将上所有点
（A）向右平行移动个单位长度 （B）向左平行移动个单位长度
（C） 向右平行移动个单位长度 （D）向左平行移动个单位长度
（11）如图，在平行四边形ABCD中，设，，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量可以表示为
（A） （B）
（C） （D）
（12）盒子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸出黄球的概率为
（A） （B）
（C） （D）
（13）天气预报端午假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为
（A）0.4 （B）
（C） （D）
（14）设函数，则函数的零点所在的区间是
（A） （B）
（C） （D）
（15）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年,薪火相传”的知识竟赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是
（A）直方图中x的值为0.035
（B）在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70)的学生数为10
（C）估计全校学生的平均成绩不低于80分
（D）估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。
（16）函数，的最小正周期为 .
（17）i为虚数单位，则复数_________.
（18）某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为 .52
（19）已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，则b=_________.
（20）已知函数的最小值为-3，则_________.
三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（21）已知,.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求，的值.
（22）已知，，.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）若，求实数x的值.
（23）如图，在直三棱柱中，,,M为的中点，N为的中点.
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）求证：平面
（24）已知函数，.
（Ⅰ）若函数是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）判断函数在区间上上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（III）已知函数，函数的定义域为M，对，，使得成立，求实数t的取值范围.2025年天津市数学学业水平测试模拟试卷（1）
一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合,，则=
（A） （B）{c}
（C）{a, b} （D）{ a, b，c}
（2）不等式的解集为
（A） （B）
（C） （D）
（3）用弧度制表示为
（A） （B）
（C） （D）
（4）命题P：“”的否定是
（A） （B）
（C） （D）
（5）下列函数是偶函数的为
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知圆锥的底面直径和高均为2，则这个圆锥的体积为
（A） （B）
（C） （D）
（7）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（8）已知函数的图象经过点，则
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知，，则
（A） （B）3
（C）9 （D）20
（10）要得到的图象，只需将上所有点
（A）向右平行移动个单位长度 （B）向左平行移动个单位长度
（C） 向右平行移动个单位长度 （D）向左平行移动个单位长度
（11）如图，在平行四边形ABCD中，设，，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量可以表示为
（A） （B）
（C） （D）
（12）盒子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸出黄球的概率为
（A） （B）
（C） （D）
（13）天气预报端午假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为
（A）0.4 （B）
（C） （D）
（14）设函数，则函数的零点所在的区间是
（A） （B）
（C） （D）
（15）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年,薪火相传”的知识竟赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是
（A）直方图中x的值为0.035
（B）在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70)的学生数为10
（C）估计全校学生的平均成绩不低于80分
（D）估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。
（16）函数，的最小正周期为 .
（17）i为虚数单位，则复数_________.
（18）某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为 .52
（19）已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，则b=_________.
（20）已知函数的最小值为-3，则_________.
三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（21）已知,.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求，的值.
（22）已知，，.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）若，求实数x的值.
（23）如图，在直三棱柱中，,,M为的中点，N为的中点.
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）求证：平面
（24）已知函数，.
（Ⅰ）若函数是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）判断函数在区间上上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（III）已知函数，函数的定义域为M，对，，使得成立，求实数t的取值范围.
2025年天津市数学学业水平测试模拟试卷参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
D B A C B A C B D D A C B C C
二、填空题
16 17 18 19 20
52 -2或3
三、解答题
（21）解: (Ⅰ) ,
(Ⅱ)
（22）解：（Ⅰ）； ；.
（Ⅱ）
因为
所以
所以
（23）
证明：（Ⅰ）取BC的中点D，连接DN,AD.
∵在中,N为的中点，D为的中点.
∴是的中位线，
∴
又∵M为的中点，∴
∴, ∴四边形AMND为平行四边形
∴
∵平面ABC，平面ABC
∴平面
（Ⅱ）在直三棱柱中，∵平面ABC,平面ABC,
∴
∵,又、是平面内的两条相交直线
∴平面
又平面，∴
又∵在中，,N为的中点
∴
又、AB是平面内的两条相交直线
∴平面
（24）解：（Ⅰ）因为函数是奇函数，定义域为.
所以，即，
所以，得.
（Ⅱ）函数在区间上上的单调递增，证明如下：
设，且，
因为，所以
所以,
函数在区间上上的单调递增.
（III）依题意可知，,,定义域为.
因为对，，使得成立，
即.
由（Ⅱ）知，在区间上上的单调递增，
同理得在区间上上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，解得，所以实数t的取值范围为.

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