资源简介

2025年深圳中考考前冲刺Day1
一．选择题（共6小题）
1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝45°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AD于点E，连接CE，若AB＝2，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
2．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.8米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝2米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为α，当tanα时，此时悬托架AE的长度为（　　）
A．0.3米 B．0.4米 C．0.5米 D．0.8米
4．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2＝0的解的取值范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
5．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD′E′F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．3π C．2π+2 D．22π
6．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（　　）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
二．填空题（共4小题）
7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，，∠AOB的平分线交弧AB于点C，过点C作CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
8．如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为　 　 ．
9．在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，若tan∠BAC，则的值为 　 　 ．
10．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A，B，与x轴交于点D，E，如图，抛物线对称轴与x轴交于点F．点P，Q分别为AB、BC边上一点，当四边形OPQF周长最短时，则PO与QF的数量关系为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
11．已知，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是优弧CBD上的任意一点，AH＝2，CH＝4．
（1）如图1，
①求⊙O的半径；
②求sin∠CMD的值．
（2）如图2，直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CD于点F，求MH HN的值．
12．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（即i＝tan∠ABE），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
（3）河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
13．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
【问题发现】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则　 　 ；
【拓展研究】（2）如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝3，AD＝5，则　 　 ；
【解决问题】（3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；
小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：.发现△DEA与△CFD显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？
老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？
同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程；
（4）如图4，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．
14．数学兴趣小组对面积为9的矩形，其周长m的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决：
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得xy＝9，即，由周长为m，得2（x+y）＝m，即．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第　 　 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x．
（3）观察函数图象．
平移直线y＝﹣x，
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点（3，3）时，周长m的值为　 　 ；
②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论．
面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为　 　 ．
15．如图，BE是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，过点C作CD⊥BE于点D，交⊙O于点F，连接BC，与⊙O相交于点A，点P为线段FC上一点，且AP＝CP．
（1）求证：AP为⊙O的切线；
（2）若点F为的中点，⊙O的半径为5，AB＝6，求DE的长．
16．综合与实践
【问题提出】
如图（1）在△ABC中，∠A＝90°，D为AB中点，点P沿折线D﹣A﹣C运动（运动到点C停止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF．设点P运动的路程为x，正方形DPEF的面积为y．
【初步感悟】
（1）当点P在AD上运动时，
①若，则y＝　 　 ；
②y关于x的函数关系式为　 　 ；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线x＝2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）连接正方形DPEF的对角线DE，PF，两对角线的交点为M，在（2）的情况下，求点A在△DFM内部时x和y的取值范围．
17．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E为平面内一点，且BE＝1．
（1）若AB＝BC，
①如图1，当点E在BC上时，连接AE，作∠EAF＝60°交CD于点F，连接AC、EF，求证：△EAF为等边三角形；
②如图2，连接AE，作∠EAF＝30°，作EF⊥AF于点F，连接CF，当点F在线段BC上时，求CF的长度；
（2）如图3，连接AC，若∠BAC＝90°，P为AB边上一点（不与A、B重合），连接PE，以PE为边作Rt△EPF，且∠EPF＝90°，∠PEF＝60°，作∠PEF的角平分线EG，与PF交于点G，连接DG，点E在运动的过程中，DG的最大值与最小值的差为 　 　 ．
2025年深圳中考考前冲刺Day1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B C B B C
一．选择题（共6小题）
1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝45°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AD于点E，连接CE，若AB＝2，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BE，设直线MN交AB于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝180°﹣∠A＝135°．
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∠AFE＝90°，AF，
∵∠A＝45°，
∴∠ABE＝∠A＝45°，AE，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°，BE，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE．
故选：A．
2．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．
故选：B．
3．如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.8米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝2米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为α，当tanα时，此时悬托架AE的长度为（　　）
A．0.3米 B．0.4米 C．0.5米 D．0.8米
【解答】解：过点E作EH⊥AD交AD于点H，
∵FD⊥DG，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADF+∠DGB＝90°，
∵∠BDG+∠BGD＝90°，
∴∠ADF＝∠BGD＝α，
∵AB＝2.8m，BD＝2m，
∴AD＝AB﹣BD＝0.8m，
∵AE＝DE，
∴AH，
∵tanα，
∴，
∴HE＝0.3m，
∴AE0.5m．
故选：C．
4．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2＝0的解的取值范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
【解答】解：根据下列表格中的对应值，得x＝0.5时，x2﹣4x+2＝0.25，x＝1.5时，x2﹣4x+2＝﹣1；x＝3时，x2﹣4x+2＝﹣1，x＝3.5时，x2﹣4x+2＝0.25，
判断一元二次方程x2﹣4x+2＝0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5，
故选：B．
5．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD′E′F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．3π C．2π+2 D．22π
【解答】解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC＝30°，∠B＝∠BCD＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝3，
∴AD＝2CD＝6，
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∵S四边形ADEF＝S四边形AD′E′F′，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形ADEF+S扇形DAD′﹣S四边形AF′E′D′，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形DAD′3π，
故选：B．
6．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（　　）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP＝90°，
∵∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠APD＝130°，
∴∠CPF＝50°，
∵F为PD的中点，
∴DF＝PFPD＝1，
∴CF＝PF＝1，
∴CP＝2PG＝2×PF cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.28≈1.5（m）．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，，∠AOB的平分线交弧AB于点C，过点C作CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，则图中阴影部分的面积为 　8π﹣16　 ．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠EOC＝∠FOC＝45°，
∵CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，
∴∠ECO＝∠FCO＝45°，
∴OE＝CE＝OF＝CF，
∴四边形OFCE是正方形，
∵OC＝OA＝4，
∴OE＝OF＝4，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S正方形OFCE16＝8π﹣16，
故答案为：8π﹣16．
8．如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为　y　 ．
【解答】解：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F，
设EF＝h，OM＝a，
那么由题意可知：AM＝OM＝a，ON＝NC＝2a，AB＝OC＝4a，BC＝AO＝2a
△AON中，MG∥ON，AM＝OM，
∴MGON＝a，
∵MG∥AB
∴，
∴BE＝4EM，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AM，
∴．
∴FEAM，即ha，
∵S△ABM＝4a×a÷2＝2a2，
S△AON＝2a×2a÷2＝2a2，
∴S△ABM＝S△AON，
∴S△AEB＝S四边形EMON＝2，
S△AEB＝AB×EF÷2＝4a×h÷2＝2，
ah＝1，又有ha，a（长度为正数）
∴OA，OC＝2，因此B的坐标为（﹣2，），
那么经过B的双曲线的解析式就是y．
9．在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，若tan∠BAC，则的值为 　　 ．
【解答】解：过点A作AP⊥BC于点P，过点B作BH⊥AC于点H，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，如图所示：
则AP∥EF，
在Rt△ABH中，tan∠BAC，
∴设BH＝24a，AH＝7a，
由勾股定理得：AB25a，
∴AB＝AC＝25a，
∴CH＝AC﹣AH＝25a﹣7a＝18a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：BC30a，
∵AP⊥BC，
∴BP＝CP＝15a，
∴，
∴BDAB10a，
∴CD＝BC﹣BD＝30a﹣10a＝20a，DP＝BP﹣BD＝15a﹣10a＝5a，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP20a，
∴tan∠ACP，
在Rt△CEF中，tan∠ECF，
∵∠ACP＝∠ECF，
∴，
设EF＝4k，CF＝3k，
由勾股定理的：CE5k，
∴DF＝CD+CF＝20a+3k，
在Rt△APD中，tan∠DAP，
在Rt△DEF中，∠EDF，
∵DE⊥AD，AP⊥BC，
∴∠EDF+∠ADP＝90°，∠DAP+∠ADP＝90°，
∴∠EDF＝∠DAP，
∴，
解得：，
∴CE＝5k，
∴．
10．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A，B，与x轴交于点D，E，如图，抛物线对称轴与x轴交于点F．点P，Q分别为AB、BC边上一点，当四边形OPQF周长最短时，则PO与QF的数量关系为　　 ．
【解答】解：如图，作点O关于直线AB的对称点M，
由y＝﹣x2+2x+3得：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴E（3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
∵AB⊥OA，BC⊥OC，
∴A、B关于抛物线对称轴对称；
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴F（1，0），B（2，3），
∴C（2，0），
∴E，F关于直线BC对称；
连接ME，交AB于点P，交BC与Q，
∴QF＝QE，OP＝MP，
∴此时四边形OPQF周长为OF+OP+PQ+QF＝OF+MP+PQ+QE＝OF+ME，周长最短，
即点M、P、Q、E共线时，周长最短，
由题意可得得：
∴M（0，6），
设直线ME解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣2x+6，
当y＝3时，﹣2x+6＝3，
∴，
∴，
当x＝2时，y＝﹣2×2+6＝2，
∴Q（2，2），
∴，，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
11．已知，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是优弧CBD上的任意一点，AH＝2，CH＝4．
（1）如图1，
①求⊙O的半径；
②求sin∠CMD的值．
（2）如图2，直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CD于点F，求MH HN的值．
【解答】解：（1）①线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，如图1，连结OC，OD，
∴∠CHO＝90°，
∵AH＝2，CH＝4，
设OC＝r，则OH＝r﹣2，
在Rt△COH中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5；
②∵AB⊥CD，AB是直径，
∴，
∴．
∵，
∴∠CMD＝∠COA，
∴；
（2）如图2，连结AN、AM，
∵∠NAH＝∠BMH，∠AHN＝∠MHB，
∴△ANH∽△MBH，
∴，
∴HM HN＝AH HB，
∵AB＝10，
∴BH＝AB﹣AH＝8，
∴HM HN＝AH HB＝2×8＝16．
12．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（即i＝tan∠ABE），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
（3）河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
【解答】解：（1）由题意得，二次函数的顶点坐标为（2，3），
设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3（a≠0），二次函数经过原点，
∴4a+3＝0，
解得a，
∴该二次函数的解析式为y（x﹣2）2+3；
（2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
当x＝3.5时，
∵1.3125＞1.2，
∴水柱不能喷射到护栏上；
（3）①∵河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（其中i＝tan∠ABE），
∴AE：BE＝1：0.5，
即BE＝2.5，
则点B与原点O的水平距离为3.5+2.5＝6，
∴点B的坐标为（6，﹣5），
又∵点A的坐标为（3.5，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的表达式为：y1＝﹣2x+7（3.5≤x≤6），
∴﹣2x+7（x﹣2）2+3，
解得x1＝2（不合题意，舍去），x2，
当x，时，y，
即河水离地平面AD距离为米时，水柱刚好落在水面上；
13．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
【问题发现】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则　1　 ；
【拓展研究】（2）如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝3，AD＝5，则　　 ；
【解决问题】（3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；
小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：.发现△DEA与△CFD显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？
老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？
同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程；
（4）如图4，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∴∠AED＝∠CFD，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴，
故答案为：1；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝5，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴，
故答案为：；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥|BC，AB∥CD，
如图，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，
则∠CMF＝∠CFM，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，
∴∠B＝∠EGF，
∴∠EGF+∠A＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴，即；
（4）解：过点C作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，设CN＝a，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形AMCN为矩形，BM＝a﹣6，
∵BA＝BC＝6，DA＝DC＝10，BD为公共边，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠BCD＝∠BAD＝∠MCN＝90°，
∴∠BCM＝∠DCN，
∴△BCM∽△DCN，
∴，即，
∴CMa，
在Rt△BCM中，BM2+CM2＝BC2，即 ，
解得a＝0（舍去）或a，
∴CN，
∵∠BAD＝90°，DE⊥CF，
∴∠BAD+∠EGF＝180°，
∴∠AED+∠AFC＝180°，
∴∠AEG＝∠NFC，
∴Rt△ADE∽Rt△NCF，
∴．
14．数学兴趣小组对面积为9的矩形，其周长m的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决：
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得xy＝9，即，由周长为m，得2（x+y）＝m，即．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第　一　 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x．
（3）观察函数图象．
平移直线y＝﹣x，
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点（3，3）时，周长m的值为　12　 ；
②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论．
面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为　m≥12　 ．
【解答】解：（1）∵x＞0，
∴满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；
故答案为：一；
（2）图形如图所示：
（3）①当直线平移到与函数y（x＞0）的图象有唯一交点（3，3）时，
将（3，3）代入y＝﹣x+，解得m＝12，
故周长m的值为12．
故答案为：12；
②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况．
联立y＝﹣x和y并整理，得x2x+9＝0，
有0个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×936＜0，解得0＜m＜12．
有两个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×936＞0，解得m＜﹣12（舍去）或m＞12．
综上所述，当有0个交点时，0＜m＜12，当有2个交点时，m＞12．
（4）由（3）可知，矩形的周长2x+2y＝m≥12，
所以若能生产出面积为9的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥12．
故答案为：m≥12．
15．如图，BE是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，过点C作CD⊥BE于点D，交⊙O于点F，连接BC，与⊙O相交于点A，点P为线段FC上一点，且AP＝CP．
（1）求证：AP为⊙O的切线；
（2）若点F为的中点，⊙O的半径为5，AB＝6，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接OA，则OB＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵CD⊥BE于点D，
∴∠BDC＝90°，
∴∠OAB+∠PAC＝∠OBA+∠PCA＝90°，
∴∠OAP＝180﹣（∠OAB+∠PAC）＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AP⊥OA，
∴AP为⊙O的切线．
（2）解：连接BF交AE于点I，连接EF，作IG⊥BE于点G，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝∠BFE＝90°，
∴IA⊥BA，EF⊥BI，
∵OB＝OE＝5，AB＝6，
∴BE＝OB+OE＝5+5＝10，
∴AE8，
∵F为的中点，
∴，
∴∠ABF＝∠EBF，
∴IA＝IG，
∵S△ABI+S△EBI＝S△ABE，
∴6×IA10×IG6×8，
∴IA＝IG＝3，
∴BI3，
∵BI EFBE IG＝S△IBE，
∴3EF10×3，
∴EF＝2，
∴BF4，
∵∠BDF＝∠EDF＝90°，
∴BF2﹣BD2＝EF2﹣DE2＝DF2，
∴（4）2﹣（10﹣DE）2＝（2）2﹣DE2，
解得DE＝2，
∴DE的长是2．
16．综合与实践
【问题提出】
如图（1）在△ABC中，∠A＝90°，D为AB中点，点P沿折线D﹣A﹣C运动（运动到点C停止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF．设点P运动的路程为x，正方形DPEF的面积为y．
【初步感悟】
（1）当点P在AD上运动时，
①若，则y＝　3　 ；
②y关于x的函数关系式为　y＝x2　 ；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线x＝2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）连接正方形DPEF的对角线DE，PF，两对角线的交点为M，在（2）的情况下，求点A在△DFM内部时x和y的取值范围．
【解答】解：（1）①点P沿折线D﹣A﹣C运动（运动到点C停止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF．设点P运动的路程为x，正方形DPEF的面积为y．
若x，则y＝（）2＝3；
②y关于x的函数关系式为y＝x2；
故答案为：①3；②y＝x2；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线x＝2是其图象所在抛物线的对称轴，
由题意可知，当x＝2时，点P与点A重合，
∴AD＝2，此时y＝22＝4，
连接CD，
由题图（2）可知点P与点C重合时，y＝20，即CD2＝20，
在Rt△ACD中，AD2+AC2＝CD2，即22+AC2＝20，
∴AC＝4（负值已舍），
当点P在AC上运动时，x＝AD+AP＝2+AP，
∴AP＝x﹣2，
∴在Rt△ADP中，DP2＝AD2+AP2＝22+（x﹣2）2＝x2﹣4x+8，
∴y＝x2﹣4x+8，
即当点P在AC上运动时，y关于x的函数关系式为y＝x2﹣4x+8（2≤x≤6）；
（3）由（2）知，AD＝2，AC＝4，
又∵D为AB的中点，
∴AB＝4＝AC，
取AC的中点N，连接DN，如图2，
∴ANAC＝2＝AD，DN是△ABC的中位线，
∴DN∥BC，
又∵∠A＝90°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∵四边形DPEF是正方形，
∴△MDP是等腰直角三角形，
分析点P的运动规律可知，当点P运动到DP∥BC，即点P运动到点N处时，点A与点M重合，
点P在线段CN（不含点N）上运动时，点A在△DFM内部，
当点P运动到点N处时，x＝2+2＝4，此时y＝x2﹣4x+8＝8；
当x＝6，y＝62﹣4×6+8＝20；
∴点A在△DFM内部时x的取值范围为4＜x≤6，y的取值范围为8＜y≤20．
17．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E为平面内一点，且BE＝1．
（1）若AB＝BC，
①如图1，当点E在BC上时，连接AE，作∠EAF＝60°交CD于点F，连接AC、EF，求证：△EAF为等边三角形；
②如图2，连接AE，作∠EAF＝30°，作EF⊥AF于点F，连接CF，当点F在线段BC上时，求CF的长度；
（2）如图3，连接AC，若∠BAC＝90°，P为AB边上一点（不与A、B重合），连接PE，以PE为边作Rt△EPF，且∠EPF＝90°，∠PEF＝60°，作∠PEF的角平分线EG，与PF交于点G，连接DG，点E在运动的过程中，DG的最大值与最小值的差为 　　 ．
【解答】（1）①证明：如图1中，
在平行四边形ABCD中，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD
∵BA＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠1＝∠2，
∵∠B＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
②解：过点A作AH⊥BC于点H．连接AC，则BH＝CH＝2．
在Rt△ABH中，sin∠ABH，∠BAH＝30°，
在Rt△AEF中，cos∠EAF，
∴，∠BAE＝∠HAF，
∴△ABE∽△AHF，
∴，
∴FH，
∴当F落在H左侧时，CF＝CH+HF＝2，
当F落在H右侧时，CF＝CH﹣HF＝2．
（2）解：如图3中，过点P作PH⊥AB交∠ABC的角平分线于点H，连接HG．
∵∠BPH＝90°，∠PBH∠ABC＝30°，
∴PBPH，
∵∠EPG＝90°，∠PEG∠PEF＝30°，
∴PEPG，
∴，
∵∠BPH＝∠EPG＝90°，
∴∠BPE＝∠HPG，
∴△BPE∽△HPG，
∴，
∴HGBE，
∴点G的运动轨迹是以H为圆心，为半径的圆，
∴DG的最大值与最小值的差是⊙H的直径．
故答案为：．

展开更多......

收起↑