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河北枣强中学2024--2025学年下学期高一数学第四次调研考试试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知向量，则为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若非零复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
6．若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（ ）
A． B．
C． D．的大小不确定
7．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ）
A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向
8．在直角梯形ABCD中，已知，点是BC边上的中点，点是CD边上一个动点．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共24分。在每小题有多项符合题目要求）
9．在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
10．平面直角坐标系中，O为坐标原点，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆台的上 下底面圆的半径分别为1和2，母线与底面所成的角为，则（ ）
A．该圆台的母线长为2
B．该圆台的侧面积为
C．该圆台的体积为
D．存在球与圆台的两个底面和侧面都相切
12．如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ）
A．平面 B．平面
C．与是异面直线 D．平面
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 ．
14．在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 .
15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍，其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行.现有如图所示一刍甍，∥，侧面和为等边三角形，，则该刍甍的体积为 .
16．已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知向量，.（10分）
(1)若与的夹角为，求实数的值；
(2)若，求向量在向量上的投影向量坐标.
18．如图，在中，角所对边分别为，已知．（10分）
（1）求角的大小；
（2）若为边上一点，， ，，求的长．
19．如图，在四面体中，平面BCD，，．（10分）
(1)求证：平面平面；
(2)若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值．
20．记的内角所对的边分别为，且.（12分）
(1)求角的值；
(2)若，求外接圆的面积；
(3)若，求的最小值.
21．如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，.（12分）
(1)求证： 平面；
(2)求证： 平面
(3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值.
22．如图，在直角梯形中，为的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（12分）

(1)求二面角的大小；
(2)求与平面所成角的正切值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C C A D A BD BC
题号 11 12
答案 AC ACD
13．
14．/
15．
16．
17．（1）因为，则，，，
若与的夹角为，则由，
可得：，解的：或，
则实数的取值为或.
（2），因为，则，
则，可得：，，，
则在方向上的投影向量为：.
18．（1）∵，由正弦定理，
得，
即，
即．
∵， ∴．
∴，即，
又∵， ∴．
（2）在中，∵，，
∴．
∵ ， ∴．
在中，，，，
∴由正弦定理，得，
∴
19．（1）∵平面，平面∴，
又∵，，∴，即，
因平面，故平面
因平面ABC，故平面平面．
（2）
（2）由（1）知平面，
连接CM，则CM是BM在平面上的射影，
∴为BM与平面ADC所的角，
∴M为AD的中点，
则在中，因，则，，
则，从而．
即直线BM和平面ADC所成的角的余弦值为.
20．（1）由已知得，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
即，
又因为，所以.
（2）由正弦定理可知：当时，
外接圆的半径，
故此时外接圆的面积为.
（3）由余弦定理可得，
即，
当且仅当时取等号，
故的最小值为2.
21．（1）如图：取的中点，连接，
则，且，又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
由题设易知为直角梯形，且，
则，所以，
因为，，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，平面，所以平面.
（3）如图：取的中点，连接，
则，由（2）知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角.
又平面，所以，
因为，又，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．（1）如图，在直角梯形中，

由题意得为的中点，
以为折痕把折起，使点到达点的位置，故，．
又因为平面，所以平面．
因为，所以平面，而平面，故．
因为，所以由勾股定理得，
得到，故，
因为平面，所以平面，
因为，所以平面，
因此是二面角的平面角，
因为，所以，
故二面角的大小为．
（2）因为平面，所以是与平面所成角．
因为，所以与平面所成角的正切值为．
答案第1页，共2页

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