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期末核心考点 莫比乌斯带
一．选择题（共5小题）
1．（2024 文昌）下面描述莫比乌斯带错误的是（　　）
A．沿着莫比乌斯带中线剪开，得到两个圆环。
B．莫比乌斯带只有一个面。
C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带。
D．莫比乌斯带只有一条边。
2．（2024 和平区）淘气做了一个莫比乌斯带，发现它有____个面，有____条边。（　　）
A．2、2 B．2、1 C．1、1 D．1、2
3．（2024 秦都区）如图是一条莫比乌斯带，在它的中间画一条虚线，沿虚线剪开后会得到（　　）个圈。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 涪城区）把一张沿平行于长的方向已画2条三等分线的长方形纸条做成一个莫比乌斯带，然后沿它的三等分线剪开。下面说法正确的是（　　）
A．需要剪2次（剪1次指沿等分线剪直至得到1个新纸环）
B．可以得到3个大小一样的纸环
C．可以得到2个大小一样的纸环
D．可以得到1个大纸环和1个小纸环
5．（2022 沈阳）将如图中的纸环，沿虚线剪开，可以得到（　　）个纸环。
A．1 B．2 C．3
二．填空题（共5小题）
6．（2024 榆林）如图是一条莫比乌斯带，在它的中间画一条虚线，沿着虚线剪开后会得到 　 　 个圈。
7．（2024 婺城区）一张纸条有上面和下面两个面，如果把它制作成莫比乌斯带，　 　 变成只有一个面。（填“会”或者“不会”）
8．（2024春 法库县期中）把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转 　 　 °，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条 　 　 带，它有 　 　 个面，有 　 　 条边。
9．（2023 神木市）如图，取一张长60cm、宽5cm的长方形纸条，使两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固定胶粘起来。一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是 　 　 cm。
10．（2021 顺德区）一个圆形纸环的半径是10cm，纸环外侧的A点处有一只蚂蚁，A点相对的纸环内侧有一点面包屑，笑笑将纸环剪断后扭转做成“莫比乌斯环”（接头处忽略不计），让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑，这样蚂蚁至少需要爬行 　 　 cm才能吃到面包屑。
三．判断题（共5小题）
11．（2024 永城市）如图，沿莫比乌斯带的二分之一线剪下去，会形成一个两倍长的莫比乌斯带。 　 　
12．（2024 虞城县）在莫比乌斯环的一侧用笔开始沿纸带的中间画线，画一圈后能回到起点。 　 　
13．（2024 横山区）把有些电动机的皮带做成莫比乌斯带，这样皮带就可以只磨损其中一面。 　 　
14．（2024春 法库县期中）打印机的色带就是莫比乌斯带．这样就不会只磨损一面，节约了材料． 　 　
15．（2023 盐田区）游乐场的过山车跑道运用了莫比乌斯原理。 　 　
四．应用题（共1小题）
16．取一张长50cm、宽4cm的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来（接头处忽略不计）．一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？
五．解答题（共4小题）
17．（2024春 法库县期中）比较如图两个纸环有什么不同之处？如果将①号纸环和②号纸环分别沿虚线剪开，分别会得到怎样的纸环？
18．如果沿着“莫比乌斯带”边缘的宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？
19．用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？
20．研究莫比乌斯带。
①剪莫比乌斯带
我们的魔术还可以往下做，在这个纸圈中间画一条线。想一想，如果我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开的话，会怎样呢？请你自己动手验证一下。
验证结果：　 　
②剪莫比乌斯带
如果我们要沿着三等分线剪，猜一猜，要剪几次？剪的结果会是怎样呢？动手操作，同桌合作帮助。
验证结果：　 　
③问题：这个小圈和大圈是莫比乌斯带吗？请用刚才的方法证明一下。
期末核心考点 莫比乌斯带
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 文昌）下面描述莫比乌斯带错误的是（　　）
A．沿着莫比乌斯带中线剪开，得到两个圆环。
B．莫比乌斯带只有一个面。
C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带。
D．莫比乌斯带只有一条边。
【考点】莫比乌斯带．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】A
【分析】选项A，沿着莫比乌斯带中线剪开，得到一个圆环，原题错误；
选项B，莫比乌斯带只有一个面，原题正确；
选项C，用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带，原题正确；
选项D，莫比乌斯带只有一条边，原题正确。
【解答】解：沿着莫比乌斯带中线剪开，得到一个圆环，选项A说法错误。
故选：A。
【点评】掌握莫比乌斯带的特征是解题的关键。
2．（2024 和平区）淘气做了一个莫比乌斯带，发现它有____个面，有____条边。（　　）
A．2、2 B．2、1 C．1、1 D．1、2
【考点】莫比乌斯带．
【专题】平面图形的认识与计算；模型思想．
【答案】C
【分析】莫比乌斯带，它是德国数学家莫比乌斯在1858年发现的，莫比乌斯把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。
【解答】解：淘气做了一个莫比乌斯带，发现它有1个面，有1条边。
故选：C。
【点评】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。
3．（2024 秦都区）如图是一条莫比乌斯带，在它的中间画一条虚线，沿虚线剪开后会得到（　　）个圈。
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】莫比乌斯带．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：将莫比乌斯带沿虚线剪开，结果是一个两倍长的纸环。
故选：A。
【点评】熟悉莫比乌斯带的特点是解决本题的关键，动手操作是解决此类问题最直接有效的方法。
4．（2023 涪城区）把一张沿平行于长的方向已画2条三等分线的长方形纸条做成一个莫比乌斯带，然后沿它的三等分线剪开。下面说法正确的是（　　）
A．需要剪2次（剪1次指沿等分线剪直至得到1个新纸环）
B．可以得到3个大小一样的纸环
C．可以得到2个大小一样的纸环
D．可以得到1个大纸环和1个小纸环
【考点】莫比乌斯带．
【专题】竞赛专题；应用意识．
【答案】D
【分析】通过动手进行实际操作，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带，莫比乌斯带的2条三等分线剪开，即可得出答案。
【解答】解：通过动手操作，发现：沿着莫比乌斯环3等分处剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环；沿它的三等分线剪开，因为两条线粘结成莫比乌期斯带的时候一条线的尾部和第二条线的头是接上的，第二条线的尾
部也是和第一条线的头是接上的，所以就成了一条线。
故选：D。
【点评】本题考查的是数学常识里的莫比乌斯带问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。
5．（2022 沈阳）将如图中的纸环，沿虚线剪开，可以得到（　　）个纸环。
A．1 B．2 C．3
【考点】莫比乌斯带．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带，用剪刀沿纸带的中央把它剪开．纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：将图中的纸环，沿虚线剪开，可以得到一个两倍长的纸环。
故选：A。
【点评】熟知莫比乌斯带的特点是解决本题的关键。
二．填空题（共5小题）
6．（2024 榆林）如图是一条莫比乌斯带，在它的中间画一条虚线，沿着虚线剪开后会得到 　1　 个圈。
【考点】莫比乌斯带．
【专题】空间观念．
【答案】1。
【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：将莫比乌斯带沿虚线剪开，结果是一个两倍长的纸环。
故答案为：1。
【点评】熟悉莫比乌斯带的特点是解决本题的关键，动手操作是解决此类问题最直接有效的方法。
7．（2024 婺城区）一张纸条有上面和下面两个面，如果把它制作成莫比乌斯带，　会　 变成只有一个面。（填“会”或者“不会”）
【考点】莫比乌斯带．
【专题】综合填空题；模型思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】莫比乌斯带是一个拓扑学结构，它只有一个面，因此一张纸条制作成莫比乌斯带，会变成一个面。
【解答】解：一张纸条有上面和下面两个面，如果把它制作成莫比乌斯带，会变成只有一个面。
故答案为：会。
【点评】本题考查的是莫比乌斯带的应用。
8．（2024春 法库县期中）把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转 　180　 °，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条 　莫比乌斯　 带，它有 　1　 个面，有 　1　 条边。
【考点】莫比乌斯带．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】180；莫比乌斯；1；1。
【分析】根据莫比乌斯带的特征解答。
【解答】解：把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它有1个面，有1条边。
故答案为：180；莫比乌斯；1；1。
【点评】掌握莫比乌斯带的特征是解题的关键。
9．（2023 神木市）如图，取一张长60cm、宽5cm的长方形纸条，使两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固定胶粘起来。一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是 　120　 cm。
【考点】莫比乌斯带．
【专题】图形与位置；应用意识．
【答案】120。
【分析】根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的两个长，据此解答。
【解答】解：根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面，一面长为60cm，两面则是120cm。
故答案为：120。
【点评】本题主要考查旋转的应用，关键考查学生的观察能力和想象能力。
10．（2021 顺德区）一个圆形纸环的半径是10cm，纸环外侧的A点处有一只蚂蚁，A点相对的纸环内侧有一点面包屑，笑笑将纸环剪断后扭转做成“莫比乌斯环”（接头处忽略不计），让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑，这样蚂蚁至少需要爬行 　62.8　 cm才能吃到面包屑。
【考点】莫比乌斯带．
【专题】综合填空题；几何直观．
【答案】62.8。
【分析】蚂蚁沿“莫比乌斯环”不爬过纸环的边缘，从A点爬到面包屑处的路程，刚好纸环一周长度，即半径为10厘米的圆的周长，据此根据“圆周长C＝2πr”即可求出蚂蚁需要爬行的路程。
【解答】解：2×3.14×10
＝3.14×20
＝62.8（cm）
答：蚂蚁至少需要爬行62.8cm才能吃到面包屑。
故答案为：62.8。
【点评】解答此题的需要理解蚂蚁沿“莫比乌斯环”不爬过纸环的边缘，从A点爬到面包屑处的路程，刚好纸环一周长度，以及掌握已知圆半径求周长的方法。
三．判断题（共5小题）
11．（2024 永城市）如图，沿莫比乌斯带的二分之一线剪下去，会形成一个两倍长的莫比乌斯带。 　×　
【考点】莫比乌斯带．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】×
【分析】莫比乌斯圈：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：如图，沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，剪出来的结果会是一个两倍长的纸环，不是莫比乌斯带圈。原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】熟悉莫比乌斯圈的特点是解决本题的关键，动手操作是解决此类问题最直接有效的方法。
12．（2024 虞城县）在莫比乌斯环的一侧用笔开始沿纸带的中间画线，画一圈后能回到起点。 　√　
【考点】莫比乌斯带．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】√
【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。可以判断。
【解答】解：在莫比乌斯环的一侧用笔开始沿纸带的中间画线，画一圈后能回到起点。原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。
13．（2024 横山区）把有些电动机的皮带做成莫比乌斯带，这样皮带就可以只磨损其中一面。 　×　
【考点】莫比乌斯带．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】×
【分析】把一张长方形纸条在某一处扭转一下，再将纸条两端黏起来，就形成了莫比乌斯带，莫比乌斯带只有一个面；据此解题。
【解答】解：把有些电动机的皮带做成莫比乌斯带，可以两面磨损，延长使用寿命；原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。
14．（2024春 法库县期中）打印机的色带就是莫比乌斯带．这样就不会只磨损一面，节约了材料． 　√　
【考点】莫比乌斯带．
【专题】图形与变换；应用意识．
【答案】√
【分析】根据莫比乌斯带的特点可知：打印机的色带是一个封闭的带子，它由一个面组成，这样可以使色带的油墨有效输送量增加一倍．据此解答．
【解答】解：打印机的色带就是莫比乌斯带，这样可以使色带的油墨有效输送量增加一倍，节约了材料．所以原说法正确．
故答案为：√．
【点评】本题主要考查旋转思想的应用，关键培养学生的应用能力．
15．（2023 盐田区）游乐场的过山车跑道运用了莫比乌斯原理。 　√　
【考点】莫比乌斯带．
【专题】推理能力．
【答案】√
【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。可以判断。
【解答】解：游乐场的过山车跑道运用了莫比乌斯原理。原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。
四．应用题（共1小题）
16．取一张长50cm、宽4cm的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来（接头处忽略不计）．一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？
【考点】莫比乌斯带．
【专题】图形与变换；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的两个长．据此解答．
【解答】解：根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面．一面长为50cm，两面则是100cm．
【点评】本题主要考查旋转的应用，关键考查学生的观察能力和想象能力．
五．解答题（共4小题）
17．（2024春 法库县期中）比较如图两个纸环有什么不同之处？如果将①号纸环和②号纸环分别沿虚线剪开，分别会得到怎样的纸环？
【考点】莫比乌斯带．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】①得到两个纸环，②得到一个两倍长的纸环。
【分析】①沿虚线剪开，得到两个纸环；②莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：两个纸环大小不同，形状不同；将①沿虚线剪开，得到两个纸环，②将莫比乌斯带沿虚线剪开，得到一个两倍长的纸环。
【点评】熟知莫比乌斯带的特点是解决本题的关键。
18．如果沿着“莫比乌斯带”边缘的宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？
【考点】莫比乌斯带．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】一个小环套着一个大环。
【分析】如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的1/3地方一直剪下去，就会出现一个小环套着一个大环。
【解答】解：如果沿着“莫比乌斯带”边缘的宽度的地方一直剪下去，发现：一个小环套着一个大环。
【点评】本题考查图形的剪拼的问题。
19．用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？
【考点】莫比乌斯带．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】纸带会变成一个更大的细纸环。
【分析】如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环；
【解答】解：用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，发现：纸带会变成一个更大的细纸环。
【点评】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。
20．研究莫比乌斯带。
①剪莫比乌斯带
我们的魔术还可以往下做，在这个纸圈中间画一条线。想一想，如果我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开的话，会怎样呢？请你自己动手验证一下。
验证结果：　　
②剪莫比乌斯带
如果我们要沿着三等分线剪，猜一猜，要剪几次？剪的结果会是怎样呢？动手操作，同桌合作帮助。
验证结果：　　
③问题：这个小圈和大圈是莫比乌斯带吗？请用刚才的方法证明一下。
【考点】莫比乌斯带．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】①；②；③分别沿着中间这条线把纸圈剪开，得到一个莫比乌斯带，沿着三等分线剪开，得到一个莫比乌斯带和一个圆环。
【分析】我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开，得到一个纸圈。
【解答】解：①沿着中间这条线把这个纸圈剪开的话，会变成一个两倍长的圈。
验证结果：
②沿着三等分线剪，要剪1次，剪的结果是：一个莫比乌斯带和一个圆环。
验证结果：
③分别沿着中间这条线把纸圈剪开，得到一个莫比乌斯带，沿着三等分线剪开，得到一个莫比乌斯带和一个圆环。
【点评】本题是一道有关神奇的莫比乌斯带的题目。
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