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2024-2025学年广东省深圳市红山中学高一下学期第二次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
2.设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是( )
A. 和 B. 与
C. 与 D. 与
3.已知平行四边形，点，分别是，的中点如图所示，设，，则等于( )
A. B. C. D.
4.如图所示，是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图．其中，，则四边形的面积是( )
A. B. C. D.
5.圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，，且面积为，则的外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
7.中国南北朝时期数学家天文学家祖冲之祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等上述原理在中国被称为祖暅原理如图，一个上底面边长为，下底面边长为，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为的共轭复数，下列命题正确的是( )
A. B.
C. 若，则为实数 D. 和在复平面内对应的点关于虚轴对称
10.设，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，下列选项中正确的有( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
11.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是( )
A.
B. 周长为
C. 外接圆直径为
D. 的边上的中线的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合构成区域的面积为 ．
13.在中，角，，的对边分别是，，，若，，的面积为，则的周长是 ．
14.如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，球在圆柱内，且与圆柱的上、下底面均相切．则球的表面积为 ；若为圆柱下底面圆弧的中点，则平面截球所得截面的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，且，．
求向量、；
若，，求向量，的夹角的大小．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得．

求点和点之间的距离；
求两山顶间的距离．
18.本小题分
我国古代数学名著九章算术在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
求证：直线平面；
求二面角的大小；
若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知、是单位圆上相异的两个定点为此单位圆圆心，点是单位圆上的动点且直线交直线于点．
若，求的值；
设，
用表示；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：解：因为，，，且，，
所以，，
所以，，
所以，；
解：设向量，的夹角的大小为．
由题意可得，，，
所以，
因为，所以．
16.解：连接，设，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，所以平面．
因为，
在中，，为的中点，，
可得，
所以．
17.解：依题意可知，，，
在中，根据正弦定理，，
所以，则．
由题设知，在中，
由正弦定理可得：，，
中，，
由余弦定理得：
，
，
所以两山顶点，之间的距离为．
18.解：因为平面，平面，
所以，
因为，又，平面，
所以平面，故，
在中，，为的中点，所以，
因为平面，平面，，
所以平面．
因为平面，所以
因为在正方形中，，所以平面，所以，，
所以是二面角的平面角，
因为且，所以，
二面角的大小为；
因为平面，平面，平面平面，
所以，又为线段的中点，所以为线段上的中点，
以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，
，
设平面的法向量为，
，令，得，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
19.解：因为，且，，都是单位圆上的点，
所以
，
又，，所以．
由有，则以为原点，分别以，的正方向为，轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，，因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以
所以，．
依题意在第二象限，在线段上，
如图有，
所以，
令，则，
所以，，所以，
所以，在上单调递增，
所以，即的取值范围为．

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