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2024-2025学年安徽省卓越县中联盟&皖豫名校联盟高二下学期4月期中检测数学试卷(北师大版)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某质点的位移单位：与时间单位：满足关系式，则该质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2.已知是公差不为的等差数列，则( )
A. B. C. D.
3.如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有条路．若从甲地到丁地总共有条不同的路线，则( )
A. B. C. D.
4.已知曲线在点处的切线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
5.某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为( )附：．
A. B. C. D.
6.记是等比数列的前项和，已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知正项数列的前项和为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
8.将个大小，材质均相同的小球分别编号为，，，，，将这个小球随机分装到甲，乙两个盒子中，每个盒子装个小球，设甲盒中小球的最小编号为，最大编号为，乙盒中小球的最小编号为，最大编号为，则“”的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等比数列的前项和为，已知，公比为，则( )
A. 是等比数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则的最小值为 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则四边形面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的导函数为，函数，则 ．
13.亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊个志愿服务团，前往，，这个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配个志愿服务团，每个志愿服务团只能在个场地进行服务，并且甲团只能去场地，则不同的分配方法种数为 ．
14.已知各项均不为的数列的前项和为，且，则的最大值为 注：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若曲线与轴相切，求实数的值．
16.本小题分
已知是正项等比数列，且和是方程的两个不等实根．
求的通项公式；
若是递增数列，设，求数列的前项和．
17.本小题分
某高科技公司开发一款新型机器人，为了解市场销售情况，统计了过去个月的广告投入单位：万元与销量单位：万台的数据如下：
广告投入万元
销量万台
求；
由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
已知利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，若某个月的广告投入为万元，预测该月的销量．
参考公式：相关系数．
参考数据：．
18.本小题分
如图，在多面体中，，，均与平面垂直，且，，，四点共面，，，，．
Ⅰ求线段的长
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，．
求的通项公式；
求的前项和；
设，若集合中恰好有个元素，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.若，则，
故，而，
故曲线在点处的切线方程为．
，
设曲线与轴相切于，则，解得
故．
16.，解得或，
故或
设的公比为，
当时，，解得，
所以；
当时，，解得，
所以；
是递增数列，故，
，
所以，，
式子得，
故．
17.由表格中数据，得，．
依题意，，
相关系数，
相关系数非常接近，说明与有强线性相关关系，适合用线性回归模型．
由知，
因此关于的线性回归方程为，当时，，
所以某个月的广告投入为万元，预测该月的销量万台．
18.解：Ⅰ因为平面，、平面，所以、，
而，因此、、两两垂直．
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系如下：
因为，，，
所以，所以，
同理可得，所以，
因此、、，即、．
因为，、均与平面垂直，所以、．
设，则、、、．
因为、、、四点共面，所以，
即，
因此，解得，所以，即线段的长为．
Ⅱ在Ⅰ的坐标系下，、、．
设平面的法向量为，则由得
取得，，因此是平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，则，
因此直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：由条件可知，，
当为偶数时，，所以数列的奇数项成公比为的等比数列，
所以，所以为奇数时，，
当为偶数时，，
所以；
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
；
，
所以；
所以当为奇数时，数列单调递减，当为偶数时，数列单调递减，
，，，，，，
当时，集合中恰好有个元素，
当时，集合中有至少个元素，不合题意，
当时，集合中有至多个元素，不合题意，
若集合中恰好有个元素，则．

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