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2024-2025学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.若向量，，则与的夹角等于( )
A. B. C. D.
3.如图，是水平放置的的直观图，则的面积是( )
A. B. C. D.
4.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在棱长为的正方体中，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则( )
A. B. C. D.
8.如图所示的几何体是从棱长为的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列正确的是( )
A. 一个多面体至少有个面
B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面
C. 底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积
10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物巢房是严格的六角柱状体它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法错误的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如：正方体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为，的中点，则( )
A. 直线与直线所成角余弦值为
B. 在三棱柱中，点的曲率为
C. 过作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为
D. 当点在线段上运动时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知中，，则 ．
14.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为的等边三角形，若球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，已知为边上一点，．

求的面积；
若，求的长．
16.本小题分
如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点．
求证：平面；
求证：．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，且满足．
求角；
若，求面积的最大值．
如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长．
18.本小题分
如图，正方形中平面是等腰直角三角形，，
求证：；
设线段，的中点分别为，，求证：平面．
19.本小题分
如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面．
判断直线与的位置关系并证明；
直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；
若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比．
参考答案
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14.
15.解：在中，因为，
由余弦定理，可得，
又由，所以．
所以的面积为．
解：法一：在中，可得，
由正弦定理得，即，所以，
又由，所以，所以，
因为，且，
由正弦定理得，
可得．
法二：设，
在中，因为且，
由余弦定理，可得，
即，所以，解得．
16.在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，
因为，，平面，平面．
所以平面．
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，
又，平面，平面．
所以平面．
又平面，所以．
17.解：由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，
又，；
由余弦定理得，，
，
，当且仅当时等号成立，
，
所以面积最大值为；
由正弦定理得，解得，即，
为边上的中点，，
由余弦定理得，即，
方法一：在中，，
在中，，
，，
即，整理得：，
由得：，
，解得：，
的周长为．
方法二：由向量加法得，
，即，
由得，
，解得，
的周长为．
18.若为的中点，连接，结合题设易知为正方形，即，
由是等腰直角三角形，，则，
由平面，平面，则，
又都在平面内，则平面，
由平面，则，结合，有；
若为的中点，连接，又分别为的中点，
所以，，
由平面，平面，则平面，
同理可得平面，且都在平面内，
所以平面平面，平面，故平面．
19.由题意可知，又平面，平面，故平面，
又平面平面，平面，
所以．
当为的中点时，平面平面，证明如下：
取的中点，连接，
在中，，又平面，平面，
故平面，
同理可证，平面，又平面，，
所以平面平面
连接，设到平面的距离为，
则
因为分别为的中点，故四边形的面积为
故下面的几何体的体积为
即下面的几何体与四棱锥的体积比为．
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