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2024-2025学年湖南省岳阳县第一中学高一下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.化简： ．
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，满足，，，当时，( )
A. B. C. D.
4.计算：( )
A. B. C. D.
5.已知角、是的内角，则“”是“”的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
6.已知共面向量满足且若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是( )
A. 是的一个周期 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D.
10.某品牌新能源汽车年上半年的销量如下表：
月份
销量万辆
根据上表的数据，下列说法正确的是( )
A. 销量的极差为 B. 销量的平均数为
C. 销量的第百分位数为 D. 销量的中位数为
11.已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若为线段的中点，则
C.
D. 的取值范围为
12.如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有( )
A. B. 四边形的面积为
C. 外接圆的周长为 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.三棱锥中，顶点在平面的射影为，满足，点在侧面上的射影是的垂心，，此三棱锥体积的最大值是 ．
14.已知，且为第三象限角，则 ．
15.已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 ．
16.若平面有不共线的五点，，，，，记，，，，满足．，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，且与垂直．
求；
若与互相垂直，求实数的值．
18.本小题分
已知复数和它的共轭复数满足．
求
若是关于的方程的一个根，求复数的模长．
19.本小题分
已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”．
判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值．
20.本小题分
在中，角，，的对应边分别为，，，．
求；
若，，求的面积．
21.本小题分
如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为．
证明：平面平面；
求；
记与侧面所成的角分别为，证明：．
22.本小题分
定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”，
若向量为函数的“线性向量”，求
若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值；
若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在个不相等的实数根，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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11.
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13.
14.
15.
16.
17.解：由已知向量，，且与垂直，
则，即，
所以，
则，
所以；
由可得，
所以，
解得．
18.解：设，
则，
则，
所以，解得，，
故；
是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
，解得，，
．
19.解：，不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集．
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集．
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集．
所以的值域与值域相同且值域中的数值一一对应．
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
当时，，不符合要求；
当时，，，
因为，所以，不符合要求；
当时，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为．
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求．
综上：，的最大值为．
20.解：在中，，
由正弦定理可得，
又，
所以，
即，又，，
所以，即，
又，则；
在中，由余弦定理可知，
即，化简可得，
解得或舍，
则的面积．
21.解：因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，
所以，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
设，连接，则平面，
设点到平面的距离为，因为在正四棱锥中，所有棱长均为，
所以四个侧面的正三角形的面积均为，底面正方形的面积为，
又，
依题意可得，
所以，
即，解得；
设平面与的交线为，，，
过点作平面使得平面，
即过点作交于点、交于点，再在平面内作，连接，
则，又，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
又平面与的交线为，平面，所以，
所以平面，
设，，，，
所以，即，
所以，同理可得，
所以，
设，同上方法可得，
所以，
而，
所以，
又与侧面所成的角分别为，
则，，，，
而，
所以．
22.解：因为，
则，故．
依题意，，
由可得，
因，则，故，解得，
因，则，
又，代入解得，
由正弦定理，，可得，
代入，可得，
又由余弦定理，，
可得，
于是，
解得．
，
当时，，
由，得，
或，
由，即，而，解得或，
即在上有两个根，
方程在上存在个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图，
方程在上有两个不等实根，
当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点，
观察图像知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是．

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