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2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
2.设均为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
3.下列各式的值等于的是( )
A. B.
C. D.
4.向量，在正方形网格中的位置如图所示，则( )
A. B. C. D.
5.下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
6.已知是非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数是( )
A. 奇函数，且最小值为 B. 偶函数，且最小值为
C. 奇函数，且最小值为 D. 偶函数，且最小值为
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
9.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
10.某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线，互相平行，桥与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点，，处，其中入口点定点在桥上，且到直线，的距离分别为，为定值，入口，分别在直线，上，公园的一边与直线所成的锐角为，另一边与垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为
C. 若，且则
D. 若，且，则
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．
12.已知，，则 ．
13.已知矩形，，，点满足，则 ； ．
14.若对任意实数恒成立，则满足条件的一组的值为 ， ．
15.函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象给出下列四个结论：
是函数的一个周期；
的图象关于直线对称；
的图象关于点对称；
在上单调递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
17.本小题分
在中，角的对边分别为，且，．
求角的大小；
若，，求边的长和的面积．
18.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：


请将上表数据补充完整，写出函数的对称轴方程和对称中心；
当时，求不等式的解集．
19.本小题分
已知函数．
求的值；
求函数的单调递增区间；
当时，若曲线与直线恰有两个公共点，求的取值范围．
20.本小题分
将图所示的摩天轮抽象成图所示的平面图形摩天轮直径为米，中心距地面米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点处登上摩天轮，分钟后第一次到达最高点．
游客登上摩天轮分钟后到达处，求该游客距离地面的高度；
经过分钟后游客距离地面的高度为米，已知关于的函数解析式满足其中，，，求解析式；
当该游客甲登上摩天轮分钟时，游客乙在摩天轮最低点处登上摩天轮求游客甲和游客乙距离地面的高度之差的绝对值的最大值．
21.本小题分
若存在实数和周期函数，使得，则称具有性质．
判断，是否是具有性质，直接写出结论；
对任意实数，函数，满足，若具有性质，
(ⅰ)当时，求；
(ⅱ)求证：不是周期函数；
(ⅲ)求证：具有性质．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. ；
14.答案不唯一
15.
16.因为，且，所以，
根据两角差的正弦公式得，
．
因为，，所以，
根据两角和的正切公式得，
．
17.因为，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，且，所以．
因为，，
所以由余弦定理得，即，
解得或舍，
所以边的长为．
．
18.当时，则，；
当时，则，；
当时，则，；
由，解得，
所以函数的对称轴方程为，
由，解得，
所以函数的对称中心为．
因为不等式，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，
即不等式的解集为．

19.
，
所以；
令，，
解得，，
函数的单调递增区间为，；
根据五点作图法得如下表格：
根据函数具有周期性结合表格得函数与图象如图所示：
因为，，
当时，要使曲线与直线恰有两个公共点，则．

20.因为从最低点处登上摩天轮，分钟后第一次到达最高点，
所以登上摩天轮分钟后，，
所以游客距离地面的高度为米
因为，其中，
所以，解得
又，则，即，
因为，即，
又，所以，
所以．
设分钟后两人距离地面的高度之差的绝对值为：
，
当，即时，的最大值为．
21.具有性质，不具有性质；
因为，其中为周期函数，所以具有性质，
若具有性质，则存在实数和周期函数，使得，
所以为周期函数，又由二次函数性质知当且仅当时，
取最小值，这与是周期函数矛盾，
所以不具有性质．
由，，
可得．
若是周期函数，设是的一个周期，
则，这与矛盾，
所以不是周期函数．
因为具有性质，所以存在实数和周期函数，使得，
由知，否则是周期函数，矛盾．
令，
以下证是以为周期的周期函数，是的周期，
假设存在，使得，
则，矛盾．
所以
，
所以．
所以具有性质．

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