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2024-2025学年河北省冀州中学高一下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若，则复数的模是( )
A. B. C. D.
2.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知某企业有职工人，其中拥有高级职称人，中级职称人，一般职员人，若按职称采用分层抽样方法共抽取人，则中级职称被抽取的人数为( )
A. B. C. D.
4.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是( )
A. “大于点”与“不大于点” B. “大于点”与“小于点”
C. “大于点”与“小于点” D. “大于点”与“小于点”
5.已知向量与的夹角为，，，则在上投影向量的模为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，的中点为，过，，三点的截面是( )
A. 三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
7.一个不透明袋子中有大小和质地均相同的个小球，分别标有数字，，，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到号球的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，在边上，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 随机试验的频率与概率相等
B. 如果一事件发生的概率为，说明此事件必然发生
C. 只有不确定事件有概率
D. 若事件发生的概率为，则
10.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若的夹角与的夹角相等，则
D. 若，则在上的投影向量为
11.如图，设的内角所对的边分别为，，且，若点是外一点，，则下列说法中正确的是( )
A. 的内角
B. 的内角
C. 四边形面积无最大值
D. 四边形面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为虚数单位，则复数的虚部为 ．
13.如图，点是海上的一个钻井平台，甲船乙船丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则丙船到钻井平台的距离为 海里．
14.已知正四棱台中，，，点到平面的距离为，将四棱台放入球内，则球表面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为坐标原点，，，．
若三点共线，求实数的值；
若点满足，求的最小值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且C.
求角的大小
若，判断的形状并说明理由．
17.本小题分
年华为回归推出双旗舰的传统，月份发布系列，月份发布系列，华为和机型分别搭载高通骁龙和高通骁龙芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为，，购买价位在元以上的手机的概率分别为，，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立．
求恰好有一人购买华为手机的概率；
求至少有一人购买价位在元以上的华为手机的概率．
18.本小题分
某校名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．
求图中的值；
根据频率分布直方图，估计这名学生的平均分；
若这名学生的数学成绩中，某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求英语成绩在的人数．
分数段
19.本小题分
如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点．

求证：平面；
求证：平面；
求二面角的正切值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，，
所以，，
又三点共线，所以，
所以，解得；
因为，，
所以，，
所以，
所以
，
所以当时．
16.解：在中，因为，
所以由正弦定理得：，
由余弦定理得，
而，
所以；
若，
则由余弦定理可得：，
化简得：，
即：，
所以为等腰三角形．
17.设张三购买华为手机为事件，李四购买华为手机为事件，
则恰好有一人购买华为手机的概率
设张三购买元以上手机为事件，李四购买元以上手机为事件，
张三购买元以上的华为手机为事件，李四购买元以上的华为手机为事件，
则，，
所以至少有一人购买价位在元以上的华为手机的概率
．
18.，
这名学生的平均分
数学成绩在的人数分别为
设英语成绩在的人数分别为
则英语成绩在的人数为
19.证明：如图所示，取的中点，连接，，

因为是棱的中点，是的中点，所以，，
又因为点，分别为棱，的中点，所以，，
因为，，所以，，
又因为平面，平面，所以平面，
在平行四边形中，是的中点，是的中点，
所以，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
又因为，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
证明：如图所示，连接，因为是等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，所以，
又因为，平面，所以平面．
解：如图所示，在平面内，过点作直线的垂线，垂足为，连接，
由易得平面，又平面，所以，，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以二面角的平面角为，
在中，，，，所以，
在中，，，，所以，
即二面角的正切值是．

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