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2024-2025 学年河北省石家庄市辛集市高二（上）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
→ → → →
1.设 , ∈ ,向量 = ( , 1,1)， = (1, , 1)， = (2, 4,2)且 ⊥ ， // ，则| + | =( )
A. 2 2 B. 3 C. 10 D. 4
2.在四面体 中，点 在 上，且 = 2 ， 为 中点，则 等于( )
A. = 12
+ 1 2 2 3
B. = 1 1 + 2 2 2 3
C. = 1 1 + 2 2 2 3
D. = 1 + 1 2 2 2 3
3.若直线 ： ( 4) + = 0 与曲线 = 4 2有两个交点，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 33 ] B. ( ∞, 3]
C. ( 3 , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) D. ( 3 , 1 ] ∪ [ 13 2 2 3 3 2 2 ,
3
3 )
4.直线 ：sin + 8 = 0( 参数， ∈ )的倾斜角的取值范围是( )
A. 0, B. 0, ∪ 3 4 4 4 , C.
3 3
4 , 4 D. ∞, 4 ∪ 4 , + ∞
5
2 2
.点 是椭圆 ： + = 1 上一点，点 1， 2分别是椭圆 的左、右焦点，且 9 6 1
2 = 4，则△ 1 2
的面积为
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
6.已知直线 1: + 5 = 0 与直线 2: + + 4 = 0( ∈ )的交点为 ，则点 到直线 : = 3 距
离的取值范围是( )
A. [3 2, 7 2] B. (3 2, 7 2] C. [2 2, 6 2] D. (2 2, 6 2]
2 2
7.已知双曲线 : 4 5 = 1 的下焦点为 ， 3,7 ， 是双曲线 上支上的动点，则 的最大值是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
8.已知抛物线 ： 2 = 6 的焦点为 ，直线与 交于点 ， ( 在第一象限)，以 为直径的圆 与 的准线相
切于点 .若| | = 3| |，则下列说法不正确的是( )
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A. B. 3， ， 三点共线 的斜率为 3
C. | | = 3| | D.圆 的半径是 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆 2 2 21： + = 1 和圆 2： + 2 + 2 2 = 0 的交点为 ， ，则有( )
A.公共弦 所在的直线方程为 2 2 + 1 = 0
B.线段 中垂线方程为 + = 0
C. 2公共弦 的长为 4
D. 2为圆 1上一动点，则 到直线 距离的最大值为 4 + 1
10.如图，△ 内接于圆 ， 为圆 的直径， = 4， = 2， ⊥平面 ， 为 的中点，若三棱
锥 的体积为 2，则下列结论正确的有( )
A. 30异面直线 与 所成角的余弦值为 10
B. 6直线 与平面 所成的角的余弦值为 4
C.点 到平面 的距离为 6
D.平面 与平面 所成的角的大小为3
2 211.已知 1， 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 2的直线 与圆 ：
2 + 2 = 2
相切于点 ，且直线 与双曲线 及其渐近线在第二象限的交点分别为 ， ，则下列说法正确的是( )
A.直线 是 的一条渐近线 B.若| 1| = 3| |，则 的渐近线方程为 =±
C.若| 2| = 3| 2|，则 的离心率为 3 D.若| | = 3| |
13
2 2 ，则 的离心率为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 , , 为空间两两夹角都是 120°的三个单位向量，则| + 2 3 | = ______．
2
13
2
.已知 为坐标原点，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 1,0 ，点 在 上，且△ 为等边三
角形，则 的离心率为 ．
14.数学家欧拉 1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一
条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ 的顶点分别为 (3,1)， (4,2)， (2,3)，则△ 的欧拉线
方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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在△ 中，已知 ( 1,0)， (1,0)， (0,2 2)，
(1)求边 的高线的方程；
(2)求边 的中线的方程；
(3)求∠ 的平分线的方程．
16.(本小题 15 分)
已知直线 ： + 2 = 0( ∈ )，圆 ： 2 + 2 = 4
(1)求证：无论 取何值，直线 均与圆 相交；
(2)已知 、 是圆 的两条相互两直的弦，且垂足为 (1, 2)，求四边形 的面积的最大值．
17.(本小题 15 分)
如图，已知四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形， ⊥平面 ，△ 是正三角形， ，
， ， 分别为 ， ， ， 的中点．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求点 到平面 的距离；
(Ⅲ)线段 3 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积为 3 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 1与双曲线 2有共同的焦点 1， 2，| 1 2| = 6 3， 1的长半轴与 2
的实半轴之差为 4，离心率之比为 3：7．
(1)求这两条曲线的方程；
(2)求曲线 2以点 (4,2)为中点的弦所在直线的方程；
(3)若 为两条曲线的交点，求∠ 1 2的余弦值．
19.(本小题 17 分)
2 = 2 ( > 0)
2 2
已知抛物线 ： 与双曲线 3 3 = 1 在第一象限内的交点 到原点的距离为 5．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设直线 与抛物线 交于 、 两点，且直线 、 的倾斜角互补，求直线 的斜率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 21
13. 3 1
14. + 5 = 0
15.解：(1)在△ 中，已知 ( 1,0)， (1,0)， (0,2 2)，
依题意，直线 即 轴，故边 上的高线必垂直于 轴，且经过点 (0,2 2)，
故边 的高线的方程为 = 0；
(2)边 1的中点为 ( 2 , 2)，因边 的中线经过点 ( 1,0)，
2
故中线方程为： = 3 ( + 1)，即 2 2 3 + 2 2 = 0；
2
(3)
如图，设∠ 的平分线 的斜率为 ，而边 和 的斜率分别为 = 0, = 2 2，
| 0则由 1+ ×0 | = |
2 2
，解得 或 2．
1+2 2 | = 2 = 2
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当 = 2时，由图知，显然不符合题意；
当 = 2时，因 ( 1,0)，则∠ 的平分线的方程为 22 = 2 ( + 1)，即 2 + 1 = 0．
16.(1)证明：将直线 ： + 2 = 0( ∈ )整理可得： ( 1) + 2 = 0，
1 = 0
令 + 2 = 0，解得 = 1, = 2，所以直线过定点 (1, 2)，
将点 代入圆的方程可得12 + ( 2)2 = 3 < 4，所以点(1, 2)在圆 ： 2 + 2 = 4 内部，
故无论 取何值，直线 均与圆 相交；
(2)解：设圆心 到 ， 的距离分别为 1， 2，则 21 + 2 2 2 22 = | | = 1 + ( 2) = 3，
则| | = 2 4 21，| | = 2 4 22，
1
所以四边形 的面积 = 2 | | | | =
1 2 2 2 2 2
2 2 4 1 2 4 2 ≤ (4 1) + (4 2) = 8 ( 1 +
22) = 8 3 = 5，
当且仅当(4 21) = (4 22)
6
，即 1 = 2 = 2 时，等号成立．
所以四边形 的面积最大为 5．
17.解：(Ⅰ)证明：因为△ 是正三角形， 是 的中点，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥面 ；
(Ⅱ)因为 ， ， 两两互相垂直，
故以 点为原点， , , 的方向分别为 ， ， 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0), ( 2,4,0), ( 2,0,0), (0,0,2 3)，
( 1,2, 3), ( 1,0, 3), (0,4,0)，
则 = (0, 2,0), = (1,2, 3), = (1,4, 3)，
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设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则有

，令 = 1，得 = ( 3, 0,1)，
= + 2 3 = 0
又 = ( 3,2, 3)，
| |
则点 到平面 的距离 = | | = 3；
(Ⅲ)设 = = ( 2,4, 2 3) ∈ [0, 1， 2 ) ∪ (
1
2 , 1]，
则 ( 2 , 4 , 2 3 2 3 ), = (1 2 , 4 2, 3 2 3 )，

所以点 到面 = | |的距离为定值 | 3|1 2 |，| =
cos < ,

>=

=
4 2
2×2 2 = 2 ，| || |
1△ = | || |sin < , 2 >= 2，
故 = 1 = 2 = 2 3 △ 3 3 3|1 2 | =
3，
3
解得： = =
1 3
4或4．
18.解：(1)中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 1与双曲线 2有共同的焦点 1， 2，
| 1 2| = 6 3， 1的长半轴与 2的实半轴之差为 4，离心率之比为 3：7，
2 +
2
设椭圆方程为 2 2 = 1( > > 0)，
2 2
双曲线方程为 2

2 = 1( > 0, > 0)，2 = 6 3，
= 4
则 3 3

3，解得 = 7， = 3，
3 3 = 7
则 = 2 27 = 22， = 27 2 = 3 2，
2 2 2 2
因此，椭圆方程为49 + 22 = 1，双曲线方程为 9 18 = 1；
(2)曲线 2以点 (4,2)为中点的弦的两端点分别为 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
由中点坐标公式可得 1 + 2 = 8， 1 + 2 = 4，
若 ⊥ 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意，
21
2
1
因为 9 18
= 1 2 2 2 2
2 2 ，这两个等式作差可得
1 2 1 2
2 2 9 18
= 0，
9 18 = 1
21
2
2 = 1+ 2 1 2 = 1所以， 2 2 + 2 = 2，可得 = 4， 1 2 1 2 1 2
所以，直线 的方程为 2 = 4( 4)，即 = 4 14，
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= 4 14
检验：联立 可得 7 22 2 2 = 18 56 + 107 = 0，
则 = 562 28 × 107 = 140 > 0，合乎题意，
因此，曲线 2以点 (4,2)为中点的弦所在直线的方程为 = 4 14；
(3)不妨设 1、 2分别为两曲线的左、右焦点， 是两曲线在第一象限的交点，
设| 1| = ，| 2| = ，由椭圆的定义可得 + = 2 = 14，
由双曲线的定义可得 = 2 = 6，
解得 = 10， = 4，
2 2 2
在△ 1 2中，由余弦定理可得 cos∠ =
+ (2 ) 100+16 108 1
1 2 2 = 2×10×4 = 10．
19.解：(1)设 ( 0, 0)( 0 > 0, 0 > 0)，
因为抛物线 与双曲线在第一象限内的交点 到原点的距离为 5，
2 20 03 3 = 1所以 ，
20 + 20 = 5
0 = 1解得 0 = 2
，
即 (1,2)，
因为点 在抛物线 上，
所以 4 = 2 ，
解得 = 2，
则抛物线 的标准方程为 2 = 4 ；
(2)易知直线 ， 的斜率存在非零且互为相反数，
设 的斜率为 ，
可得直线 的方程为 = ( 1) + 2( ≠ 0)，
则直线 的方程为 = ( 1) + 2( ≠ 0)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1) + 2
联立 2 = 4 ，消去 并整理得
2 2 (2 2 4 + 4) + ( 2)2 = 0，
( 2)2
由韦达定理得 1 = 1 = 2 ，
=
2 4 +4
解得 1 2 ，
2+4 +4
同理得 2 = 2 ，
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2
2+8
所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 =
8 8
2 = ，
2
此时 1 2 = [ ( 1 1) + 2] [ ( 2 1) + 2] = ( 1 +
2 +8
2) 2 = 2 =
8
，
则 = 1 2 = 1．1 2
故直线 的斜率为 1．
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