资源简介

2024-2025 学年广东省天天向上联盟高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 2 = 15，则 2 =( )
A. 30 B. 20 C. 12 D. 6

2.若 ( ) = ln(2 ) ，则 → 0 (1+ ) (1) =( )
A. 0 B. 2 C. 2 D. 4
3.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙
同学与老师相邻，则不同站法种数为( )
A. 24 B. 12 C. 8 D. 6
4.已知数列{ }为等比数列，且 1 = 1， 9 = 16，设等差数列{ }的前 项和为 ，若 5 = 5，则 9 =( )
A. 36 或 36 B. 36 C. 36 D. 18
5.等比数列{ }的前 项和为 ，若 8 = 12， 24 = 36，则 16 =( )
A. 24 B. 12 C. 24 或 12 D. 24 或 12
6.已知函数 ( ) ( )与 ′( )的图象如图所示，则函数 = ( )
A. 3 1在区间( 1,2)上是减函数 B.在区间( 2 , 2 )上是减函数
C.在区间( 12 , 3)上是减函数 D.在区间( 1,1)上是减函数
7.用半径为 1 的圆形铁皮剪出一个扇形，制成一个圆锥形容器，容器高为 ，当容器的容积最大时， =( )
A. 2 6 6 2 3 33 B. 3 C. 3 D. 3
8.若不等式 + (1 ) + 2 > 0 对任意的 ∈ (2, + ∞)都恒成立，则整数 的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }的首项为 4，且满足 2( + 1) +1 = 0( ∈ )，则( )
第 1页，共 7页
A. { }为等差数列 B. { }为递增数列
2
C. { }的前 项和 = ( 1) 2 +1 + 4 D. { } = + 2 +1 的前 项和 2
10.某中学 ， ， ， ， 五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个
社团，则下列结论中正确的是( )
A.所有不同的分派方案共45种
B.若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共 300 种
C.若每个社团至少派 1 名志愿者，且志愿者 必须到甲社团，则所有不同分派方穼共 60 种
D.若每个社团至少有 1 个学生选，且学生 ， 不安排到同一社团，则所有不同分派方案共 216 种
11.已知函数 ( ) = 3 3 2 1，则下列命题中正确的是( )
A. 1 是 ( )的极大值
B.当 1 < < 0 时， ( 1) > ( )
C.当 > 2 时， ( )有且仅有一个零点 0，且 0 < 2
D.若 ( )存在极小值点 1，且 ( 1) = ( 2)，其中 1 ≠ 2，则 1 + 2 2 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1. (1 3 )4 的展开式中，常数项为______. (用数字作答)
13.已知曲线 = ，过点(3,0)作该曲线的两条切线，切点分别为( 1, 1)，( 2, 2)，则 1 + 2 = ______．
14.已知函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( )为 ( )的导函数，且满足 ′( ) > ( )，则不等式(
1) ( + 1) > ( 2 1)的解集是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
混放在一起的 6 件不同的产品中，有 2 件次品，4 件正品.现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行
检测，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 4 件正品时检测结束．
(1)一共抽取了 4 次检测结束，有多少种不同的抽法？
(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？(要求：解答过程要有
必要的说明和步骤)
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 + 在 = 1 处取得极值 1．
(1)求 ， 的值；
(2)求 ( )在[ 1, ]上的最大值和最小值．
第 2页，共 7页
17.(本小题 15 分)
1记 为数列{ }的前 项和，已知 1 = 1，{ }是公差为3的等差数列．
(1)求{ }的通项公式；
(2) 1 + 1证明： + … +
1
1 2
< 2．

18.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 + 4 2 ( 为自然对数的底数， = 2.71828 ).
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 > 1 时， > 7ln 4.
19.(本小题 17 分)
对于数列{ }，如果存在等差数列{ }和等比数列{ }，使得 = + ( ∈ )，则称数列{ }是“优分
解”的．
(1)证明：如果{ }是等差数列，则{ }是“优分解”的．
(2)记 = +1 ， 2 = +1 ( ∈ )，证明：如果数列{ }是“优分解”的，则 2 = 0( ∈
)或数列{ 2 }是等比数列．
(3)设数列{ }的前 项和为 ，如果{ }和{ }都是“优分解”的，并且 1 = 3， 2 = 4， 3 = 6，求{ }的
通项公式．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12
13.3
14.(1,2)
15.解：(1)有以下两种情况：
4 次均为正品，共有 44 = 24 种；
前 3 次抽到 2 件正品 1 件次品，且第 4 次抽到次品，共 1 1 22 3 4 = 72 种；
则共有 96 种．
(2)由题意知，第二次抽到的必是正品，
共抽取 4 次或 5 次检测结束，
当抽取 4 次结束时，第 4 次抽到的必是次品，
共有 12 24 = 24 种抽法；
当抽取 5 次结束时，若第 4 次抽到正品且第 5 次抽到正品，
则共有 1 42 4 = 48 种抽法；
若第 4 次抽到的是正品且第 5 次抽到的是次品，
则共有 1 32 4 = 48 种抽法；
则检测结束时有 24 + 48 + 48 = 120 种抽法．
第 4页，共 7页
16.解：(1)因为 ( ) = 2 + 2 + ，
所以 ′( ) = 2 + 2 ．
2 + 2 = 0
依题意得 ′(1) = 0， (1) = 1，即 + = 1 ．
解得 = 1， = 2，经检验， = 1， = 2 符合题意．
(2)由(1)可知 ( ) = 2 2 + 2， ′( ) = 2 2 =
2(1+ )(1 )
．
令 ′( ) = 0，得 = 1(舍去)， = 1．
当 在[ 1, ]上变化时， ( )， ′( )的变化情况如下表：
1 ( 1, 1) 1 (1, )
′( ) + 0
( ) 2 单调递增 极大值 1 单调递减 4 2
又 4 2 < 2，
所以 ( )在[ 1, ]上的最大值为 1，最小值为 4 2．
17.解：(1)已知 1 = 1
1
，{ }是公差为3的等差数列，
1 1 2 1 2所以 = 1 + 3 ( 1) = 3 + 3，整理得 = 3 + 3 ，①，
故当 ≥ 2 1 2时， 1 = 3 ( 1) 1 + 3 1，②，
1 1 1 1① ②得：3 = 3 3 1 3 1，
故( 1) = ( + 1) 1，

化简得： =
+1
， 1

1 = 2，. . . . . . . .

， 3
4 2 3
1 2
= 2， =2 1 1
；
= ( +1)所以 1 2
，
= ( +1)故 2 (首项符合通项)．
所以 =
( +1)
2 ．
(2) ( +1)证明：由于 = 2 ，
1
所以 =
2 1 1
( +1)
= 2( +1 )，
1 1
所以 + + . . . +
1
= 2(1
1 + 12 2
1
3 + . . . +
1 1 1
1 2 +1
) = 2 × (1 +1 ) < 2．
第 5页，共 7页
18.解：(1) ′( ) = 2 2 + ( 4) 2 = ( 2)(2 + 1)，
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0， ( )在( ∞, + ∞)上单调递减;
> 0 2 2 2当 时，由 ′( ) = 0 可得 = ln ，故 < ln 时， ′( ) < 0， > ln 时， ′( ) > 0，
2 2
故 ( )在( ∞, ln )上单调递减，在(ln , + ∞)上单调递增；
(2)由(1)知， ( )min = (ln
2
) = 2
4
2ln2 + 2ln ，
只需证 2 4 2ln2 + 2ln > 7ln 4，
4
即证 6 + 5ln 2ln2 > 0，
设 ( ) = 6 + 4 5ln 2ln2， > 1，
则 ′( ) = 1 + 4 5 ( 1)( 4) 2 = 2 ，
令
则 ( )在(1,4)上递减，在(4, + ∞)上递增，
( ) ≥ (4) = 9 12ln2 = 3(3 ln16)，
又 3 > 2. 73 > 16，故 ( ) > 0，
即 6 + 4 5ln 2ln2 > 0 成立，所以原不等式成立．
19.解：(1)证明：因为{ }是等差数列，设公差为 ，则 = 1 + 1 = 1 1+ 1 + 1，
令 = 1 1 + 1 ， = 1，则{ }为等差数列，{ }为等比数列，并且 = + ，
所以{ }是“优分解”的，结论成立．
(2)证明：因为数列{ }是“优分解”的，则存在等差数列{ }和等比数列{ }，使得 = + ( ∈ )，
设{ }的公差为 ，{ }的首项为 1，公比为 ，
则 = +1 = +1 + +1
= + 11 1 ，
所以 2 = = + ( 1) [ + ( 1) 1] = ( 1)2 1 +1 1 1 1 ，
当 = 1 时，对一切 ∈ ， 2 = 0:
2
当 ≠ 1 时，对一切 ∈ ， +1 2 = ，这时数列
2 是首项为 1 2 1 ，公比为 的等比数列．

因此，结论成立．
(3)解：因为数列{ }是“优分解”的，所以存在等差数列{ }和等比数列{ }，
使得 = + ，设{ }的公差为 ，{ }的公比为 ，
第 6页，共 7页
1 + 1 = 3
由已知 1 = 3， 2 = 4， 3 = 6，即 1 + + 1 = 4 ,
21 + 2 + 1 = 6
当 = 1 时，不合条件；

当 ≠ 1 时， =
( 1) 1 1
1 + 2 + 1 ，因为{ }也是“优分解”的，所以 = 0，
1 + 1 = 3 1 = 2
于是 1 + 1 = 4 ，解得： 1 = 1，所以 = 2， 1 = 2 ，
1 + 1 2 = 6 = 2
因此， = 2 + 2 1．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑