资源简介

2024-2025学年安徽省县中联盟高一下学期 5月联考
数学试卷(B卷)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = (1 2 )(3+ ).复数 5 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = ( , 1)， = ( , 2 )，若 ⊥ ，则实数 =( )
A. 2 4 33 B. 1 C. 3 D. 2
3 cos . 7 cos
2 cos 4 7 7 =( )
A. 1 B. 14 8 C.
1
4 D.
1
8
4.已知单位向量 ， 满足| 3 | = 2 2，则|2 3 | =( )
A. 4 2 B. 4 C. 2 3 D. 3
5.若复数 满足| | = 2，则| 4|的最大值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6.已知 = 2cos248 1， = cos47 cos48 sin47 sin48 ， = tan15 tan75 + 3tan75 tan15 ，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7 △ = 2 .在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 3，
2 = 4 ，则 sin + sin =( )
A. 3 B. 15 C. 3 D. 12 4 4 2
8 ( )+ ( ).若函数 ( )的定义域内存在 1， 2( 1 ≠ 2)，使得 1 22 = 1 成立，则称该函数为“完整函数”.已知
( ) = 12 sin(

3 )
3
2 cos( +
2
3 )( > 0)是[

2 ,
3
2 ]上的“完整函数”，则 的取值范围为( )
A. [2, + ∞) B. [3, + ∞) C. [4, + ∞) D. [3,5]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1， 2为复数，则下列说法正确的是( )
A.若 1 2 < 0，则 1 < 2 B.若 1 = 2，则 1 = 2
C.若 1 2 = 0，则 1 = 0 或 2 = 0 D.若| 1| = | 2|，则 2 = 21 2
10.已知△ 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，2 2 = 2 + 2 2，则下列说法正确的是( )
第 1页，共 8页
A. = 4 cos
B. tan = 4tan
C.若△ 是直角三角形，则 = 3
D. 3若△ 是锐角三角形， 是线段 上一点，则 的最小值为 4
2cos2
11 sin( + )cos( ) = sin(2 + 2 ) ≠ .已知 ，且 ， 2， + ≠ ， ∈ ，则( )
A. cos( ) = 2cos( + )
B. tan tan = 13
C. tan + 3tan 的最小值为 2
D. tan + 2tan( + ) + 3tan 的取值范围为( ∞, 4 2] ∪ [4 2, + ∞)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知复数 = + 2 + 3 + + 2025 + 2026，则 = ．
13.已知向量 = ( ,1)， = ( + 1, 2)，若向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 ．

14 1 1+cos20.化简4tan10 2 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 1 + 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，复数 1 = + ．
(1)求| 1|;
(2)若复数 2 = 1 + ( 1) + ( 2) ( ∈ )

为纯虚数，求 2 ．
16.(本小题 15 分)
5
已知 ∈ (0, 2 )， ∈ (0, 2 )，tan( + 4 ) = 7，cos = 5 ．
(1)求 sin2 的值;
(2)求 tan(2 )的值．
17.(本小题 15 分)
在面积为 的锐角△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，( 2 + 2 2)sin = 2 ．
(1)求 ;
(2)若 = 2， 为△ 外接圆的圆心，记△ 和△ 的面积分别为 1， 2，求 1 2的最大值．
18.(本小题 17 分)
如图，在△ 中， 是 的中点， 是 的中点，过 点的直线与边 ， 分别相交于点 ， .设 =
第 2页，共 8页
( > 0)， = ( > 0)．
(1)若 = + ，求 2 的值;
(2)求 4 + 的最小值;
(3)若△ 是边长为 1 的等边三角形，求 2 + 2的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知向量 = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，定义运算 = ( 1 2, 1 2)，同时定义[( , )] = | + |．
(1)若(sin , cos ) (2,4) = ( 3, 2)，求实数 的取值集合;
(2)若[( 3sin , cos ) (2, 3)] = 302 ，求 tan 的值;
(3)已知定义域为 的函数 ( )满足 ( + 2)为奇函数， ( + 4)为偶函数，且 ∈ [0,2]时， ( ) = 2，是
否存在实数 ，使[(2sin , ( )) ( ( ), 1 3cos2 )] = 12 若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由．
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.( 2, 13 ) ∪ (
1
3 , 1)
14. 34
15.解：(1)由题知(1 + )2 + (1 + ) + = 0，
整理得( + ) + ( + 2) = 0，
+ = 0, = 2,
则 + 2 = 0,解得 = 2,
所以 1 = 2+ 2 ，
| 1| = ( 2)2 + 22 = 2 2．
(2)由(1)知， 2 = 1 + ( 1) + ( 2) = ( 3) + ，
因为复数 2为纯虚数，
3 = 0,
所以 ≠ 0, 解得 = 3，
所以 2 = 3 ，
2 = 3 所以 1+ =
3 (1 ) 3+3 3 3
(1+ )(1 ) = 2 = 2 + 2 .

16. tan +tan 3解：(1)由 tan( + 4 ) =
4
1 tan tan = 7，得 tan = ．4 4
因为 ∈ (0, 3 42 )，所以 sin = 5，cos = 5，
第 4页，共 8页
sin2 = 2sin cos = 2 × 3 × 4所以 5 5 =
24
25．
3
(2) (1) tan = 3 tan2 = 2tan
2×4 24由 知 4，所以 1 tan2 = 9 = ．1 716
因为 ∈ (0, 5 2 52 )，cos = 5 ，所以 sin = 5 ，tan = 2．
24
tan2 tan 7 2 2所以 tan(2 ) = 1+tan2 tan = 24 = 11．1+ 7 ×2
17. 1解：(1)由 = 2 sin 及(
2 + 2 2)sin = 2 ，得( 2 + 2 2)sin = sin ，
又 ∈ (0, )，所以 > 0，
所以 2 + 2 2 = ，
2 2 2
由余弦定理得 cos = + = = 1，2 2 2
因为 ∈ (0, )，所以 = 3．
(2)设△ 外接圆的半径为 ，
则 = = = 2 1，且 2 = sin = sin ，即 = sin ．
因为∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ = 2 3，
1
所以 = 2 11 2 sin∠ = 2
1
sin2 sin2 =
1
tan ，
2 2
2 =
1
2
2 sin∠ = 1 12 sin2 sin
2 = 33 4
sin +cos 3
sin2 = 4 (1 +
1
，
tan2 )
1 3 1 3 1 1 3所以 1 2 = tan 4 (1 + 2 ，tan ) = 4 tan2 + tan 4
因为△ 为锐角三角形，
0 < < 2 ,
所以
0 < 2
解得6 < < 2，
3 < 2
所以 tan ∈ ( 33 , + ∞)，
1
令tan = ∈ (0, 3)，
则 3 2 3 3 2 3 2 31 2 = ( ) = ，4 + 4 = 4 ( 3 ) + 12
第 5页，共 8页
所以当 = 2 3时， 1
3
3 2
取得最大值 ．
12
18.解：(1)因为 是 中点，
所以 = 1 + 1 2 2 ，
因为 是 中点，
所以 = 12
= 1 4 +
1
4
，
又 = + 1 1，所以 = 4， = 4，
所以 2 = 1 12 4 =
1
4 ;
(2)由(1) 1知 = + 1 = 1 14 4 4 + 4
，
1 1
又 ， ， 三点共线，所以4 + 4 = 1， ， 均为正数，
1 1 5 5 9
所以 4 + = (4 + )( 4 + 4 ) = + 4 + 4 ≥ 2 × 4 + 4 = 4，
3 3
当且仅当 = 4 时取等号，可得 = 8， = 4时取等号；
(3) = = ( 1 + 1 ) = ( 1 ) 1 4 4 4 4 ，
= = ( 1 1 1 1 4 + 4 ) = 4 + ( 4 ) ，
因为| | = | | = 1，∠ = 60 ，
所以 = 1 × 1 × 1 12 = 2，
所以| |2 = [( 14 )
1 ]24
1 1 1 1
= ( )24 4 ( 4 ) + 16
= 2 3 + 34 16，
|
1 1
|2 = [ + ( ) 24 4 ]
1 1 1 1
= 216 4 ( 4 ) + ( 4 )
第 6页，共 8页
= 2 3 + 34 16，
则| |2 + | |2 = 2 + 2 34 ( + ) +
3
8
= ( + )2 2 34 ( + ) +
3
8，
1 1
由(2)知4 + 4 = 1，即 + = 4 ．
又 + ≥ 2 ，
所以 4 ≥ 2 1，解得 ≥ 4 (当且仅当 = =
1
2时取等号)，
所以| |2 + | |2 = (4 )2 2 34 × 4 +
3
8
3
= 16( )2 5 + 8
= 16( 5 )2 132 64．
1 5
因为4 > 32，
1
所以当 = = 时，| 2 |
2 + | |2取到最小值，
1 5 1 1
最小值为 16( 24 32 ) 64 = 8．
19.解：(1)(sin , cos ) (2,4) = (2sin , 4cos ) = ( 3, 2)，
3
所以 2sin = 3
sin =
，即 21 ，得 = 2

， ∈ ，
4cos = 2 cos = 32

所以实数 的取值集合为{ | = 2 3 , ∈ }．
(2)因为( 3sin , cos ) (2, 3) = (2 3sin , 3cos )，
所以[( 3sin , cos ) (2, 3)] = |2 3sin 3cos | = 3|2sin cos | = 3 (2sin cos )2
= 3 4sin2 + cos2 4sin cos
= 3 1 + 3sin2 4sin cos
3sin2 4sin cos
= 3 1 + sin2 + cos2
2
= 3 1 + 3tan 4tan 30tan2 +1 = 2 ，
解得 tan = 3 或 tan = 13．
(3)不存在实数 ，使得[(2sin , ( )) ( ( ), 1 3cos2 )] = 12．
第 7页，共 8页
因为(2sin , ( )( ), 1 3cos2 ) = ( ( ) 2sin , ( ) (1 3cos2 ))，
所以[( ( ) 2sin , ( ) (1 3cos2 ))] = | ( ) 2sin + ( ) (1 3cos2 )|
= | ( )| |2sin + 1 3cos2 | = | ( )| |6sin2 + 2sin 2|．
因为 ( + 2)为奇函数，所以 ( + 2) = ( + 2)，即 ( ) = (4 )，
又因为 ( + 4)为偶函数，所以 ( + 4) = ( + 4)，所以 ( ) = ( + 4) = ( + 8)，
所以 ( )是周期为 8 的周期函数．
任取 ∈ [2,4]，则 4 ∈ [0,2]，由 ∈ [0,2]时， ( ) = 2，及 ( ) = (4 )，
得 ∈ [2,4]时， ( ) = 2，所以 ∈ [0,4]时， ( ) = 2;
任取 ∈ [4,8]，则 8 ∈ [0,4]， ( ) = (8 ) = 8 2 = 6 ，
故 ∈ [0,8]时， ( ) ∈ [ 2,2]，
则当 = 0 或 4 或 8 时，| ( )|取最大值 2，
又 = 8，故 = 4 ( ∈ )时，| ( )|取最大值 2．
对于函数 = 6sin2 + 2sin 2 = 6(sin + 1 )2 136 6，
1 13
当 sin = 6时，取最小值 6，当 sin = 1 时，取最大值 6，

故|6sin2 + 2sin 2|的最大值为 6，此时 sin = 1， = 2 + 2， ∈ ，
即 = 2 + 12 ( ∈ )，虽然 2 × 6 = 12，但是 = 4 ( ∈ )与 = 2 +
1
2 ( ∈ )不能同时成立，
故不存在实数 ，使[(2sin , ( )) ( ( ), 1 3cos2 )] = 12．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑