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1.5《正弦函数、余弦函数的图像及其性质》同步练习
一、单选题:本题共13小题,每小题5分,共65分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数与的图象在区间上的交点个数为( )
A. B. C. D.
2.将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则“是偶函数”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移单位:与时间单位:之间满足关系式,则该弹簧振子运动的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.已知函数,其中为常数,则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 若,则函数在区间上单调递增
D. 若,则函数的图象关于点对称
5.函数,的最小正周期是( )
A. B. C. D.
6.若函数在上单调递增,则当取得最大值时,( )
A. B. C. D.
7.函数是( )
A. 周期为的偶函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数
8.已知函数的最小正周期是,将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点,则函数( )
A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
9.定义行列式,已知函数,若在区间上,始终存在两个不相等的实数,,满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在区间内,函数 与函数图象交点的个数为( )
A. B. C. D.
11.若函数在上恰有个零点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.,,的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
13.函数的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,共24分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
14.已知函数,其中为常数,则错误的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 若,则函数在区间上单调递增
D. 若,则函数的图象关于点对称
15.已知函数的最小正周期为,则( )
A. B.
C. D.
16.已知函数,则下列说法正确的是 .
A. 直线是函数图象的一条对称轴
B. 函数在区间上单调递减
C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数的图象
D. 若对任意的恒成立,则
17.已知函数,则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 不等式的解集为,
D. 若,,为的内角,且,则或
三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分。
18.,的单调减区间是______.
19.设函数,若是奇函数,则 .
四、解答题:本题共1小题,共12分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
20.本小题分
已知函数和的定义域都是.
请在同一平面直角坐标系上画出函数和的图象;不要求写作法
求两图象交点的横坐标,并解不等式.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:在同一直角坐标系中画出函数 与 在区间,上的图象,如图所示,
由图可知,两函数图象有个交点.
故选D.
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象变换和性质,以及充分、必要条件的判断,属于基础题.
求出,利用三角函数的性质和充分、必要条件的定义即可判断.
【解答】
解:由题意,得,
若为偶函数,则
其中当时,,当时,,
故“是偶函数”是“”的必要不充分条件.
故选B.
3.【答案】
【解析】解:由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期.
故选:.
4.【答案】
【解析】解:对于,由正弦函数的最小正周期公式可得,故A正确;
对于,令,则,
令,则,
故函数的图象不关于直线对称,故B错误;
对于,若,则,
令,可得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,故C错误;
对于,若,则,
令,可得,
令,则,
故函数的图象不关于点对称,故D错误.
故选:.
5.【答案】
【解析】解:函数,的最小正周期是.
故选:.
6.【答案】
【解析】解:由题意,,其中,,不妨设为锐角,
因为在上单调递增,所以,则的最大值为,
此时.
故选D.
7.【答案】
【解析】【分析】
本题是基础题,考查三角函数的周期的求法,奇偶性的判定,考查计算能力.
利用函数的最小正周期,判断函数的奇偶性,推出选项.
【解答】
解:因为,
所以,所以,则是偶函数.
因为,,所以是周期为的偶函数.
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用,属于中档题.
根据最小正周期是,可得值,通过变换规律后,图象过点,求出值,进而得到函数的解析式,即可判断各选项.
【解答】
解:由题意,函数的最小正周期是,即,
,
,
的图象向左平移个单位,即得到,
此时函数图象过,
,,
,
,
,
令,,
可得:,,即在,,上单调递增,
选项错误,
令,
可得:,,即在,,上单调递减,
选项错误,
由,,
得,,
可得对称中心为,,故A选项错误,
由,,
得,,
可得对称轴方程为,,
当时,可得,
选项对.
故选B.
9.【答案】
【解析】解:由题中所给定义可得:
,
当时,,
,
,
当时,,,
,
解得,
当时,,,
,解得,
综上,的取值范围是
故选:.
根据定义运算,利用三角恒等变形可解得,分析在区间的值域,结合二次函数的性质,建立不等式可求解.
本题考查行列式、正弦函数性质、三角函数中恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
10.【答案】
【解析】解:在同一直角坐标系中,分别作出函数与函数的图象,如图所示;
观察图象知,在,,处,两个函数的函数值都是;
即两个函数的图象有个交点.
故选:.
在同一直角坐标系中,分别作出分别作出函数与函数的图象,观察图象即可得两个函数的图象有个交点.
本题考查了函数与函数的图象交点的个数,解题时要作出两个函数的图象,利用数形结合解答.
11.【答案】
【解析】解:令函数,得;
时,,
令,得;
所以在上单调递增,在上单调递减,
且,,,
令,
解得;
所以的取值范围是
故选:.
令函数得,根据时的图象与性质,即可得出有个零点时的取值范围.
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了函数零点的应用问题,是中档题.
12.【答案】
【解析】因为,函数在上递增,且,
所以,即
13.【答案】
【解析】作出的图象,如图由的图象知,该函数在上单调递增.
14.【答案】
【解析】解:函数,
对于,,故A正确;
对于,令,则,
令,
故函数的图象不关于直线对称,故B错误;
对于,若,则,
令,可得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,故C错误;
对于,若,则,
令,可得,
若,则,此时整数不存在,故D错误.
故选:.
由正弦函数的周期,对称轴方程,单调区间,对称中心逐项判断即可.
本题主要考查了正弦函数性质的应用,属于中档题.
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正弦型函数的周期性与函数值,复合函数的导数,属于基础题.
由题意求出,得到,求出函数的导数,依次分析各选项即可.
【解答】
解:由题意可得,解得,故A错误;
故函数的解析式可化为,
所以,则,故B正确;
,,
所以,故C正确;
,,
所以,故D正确.
故选BCD.
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的关系式的变换,正弦型函数的性质的应用,函数的恒成立问题,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
直接利用函数的关系式,利用正弦型函数的性质的应用和恒成立问题的应用判断、、、的结论.
【解答】
解:因为函数,
对于:因为,所以直线是函数图象的一条对称轴,故A正确;
对于:由于,所以,故函数在该区间上有增有减,故B错误;
对于:将函数的图象上的所有点向左平移个单位,得到函数的图象,故C正确;
对于:函数,整理得,
即求出函数在上的最小值即可,
由于,所以,
故当时取得最小值,故,故D正确.
故选:.
17.【答案】
【解析】解:由题意得,
对于,的周期,可知项正确;
对于,当时,,
结合正弦函数的性质,可知的图象关于点对称,
所以的图象不能关于直线对称,可得项不正确;
对于,不等式,即,
可得,解得,,
所以不等式的解集为,,可知项正确;
对于,若的内角、、满足,
则,结合、,
可得或,
解得或,即或,可知项正确.
故选:.
根据两角和与差的正弦公式化简得,结合三角函数的周期公式判断出项的正误;运用正弦函数图象的对称性判断出项的正误;将不等式化简为,结合正弦函数的性质求出的取值范围,即可判断出项的正误;当时,可得,结合、,推导出或,进而判断出项的正误.
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质、不等式的解法等知识,考查了计算能力、逻辑推理能力,属于中档题.
18.【答案】
【解析】解:如图所示,
由余弦函数的图像可知,在上的单调递减区间为.
故答案为:.
利用余弦函数的图像即可得到函数的单调递减区间.
本题考查余弦函数的单调性,属于简单题.
19.【答案】
【解析】解:因为,
因为是奇函数,
所以,,
又,
所以, .
故答案为:
20.【答案】解:作图如下:
由,得,解得或,
因为,所以或或或,
结合的图象,可知的解集为.
【解析】本题考查三角函数的图象和性质,属于基础题.
根据三角函数图象的画法画出图象;
通过解三角方程求得两图象交点的横坐标,结合图象求得不等式的解集.
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