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1.8《三角函数的简单应用》同步练习
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
2.如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．则米关于分钟的解析式为( )
A. B.
C. D.
3.如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与在同一水平面且在同一水平线上的，，三处已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，，则该建筑的高度( )
A. B. C. D.
4.沪苏通长江公铁大桥如图是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，如图，设乘客眼睛离地面的距离为米，米．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为 ．
A. B. C. D.
5.我们在用微信语音通话时，手机话筒采集到的声音信号是一段类似正弦函数图象的声波曲线如图所示，已知该声波曲线其中的振幅为，周期为，初相位为，则该声波曲线的解析式可能是已知周期公式：( )
A. B.
C. D.
6.某同学站立在雨中水平撑伞，始奖保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离单位：为( )
A. B. C. D.
7.以长为的线段为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.函数的最小正周期是 ．
A. B. C. D.
9.某人的血压满足函数关系式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为 ．
A. B. C. D.
10.如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
11.已知扇形的半径，，点在不含端点上，点，分别在半径，上，且，，则的面积的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共108分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
Ⅰ求曲线段的解析式和的大小；
Ⅱ若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值．
13.本小题分
水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足
求函数的解析式；
当时，求点到轴的距离的最大值；
当时，求的大小．
14.本小题分
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面的高度为，最低点距离地面，已知摩天轮共有个座舱，开后后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．
当游客距离地面高度不低于时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？
当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的高度相等？
15.本小题分
某地年月日、日的温度单位：摄氏度随时间单位：小时的变化近似满足如下函数关系：，，其中，，从气象台得知：该地在日的最高气温出现在下午时，最高气温为摄氏度，最低气温出现在凌晨时，最低气温为摄氏度．
求函数的解析式，并判断是否为周期函数；
该地某商场规定：在环境温度大于或等于摄氏度时，需要开启空调降温，否则关闭空调，问年月日、日这两天需开启空调共多少小时？
16.本小题分
飞机从地向西北飞行到达地后，又从地向东飞行到达地，再从地向南偏东飞行到达地，求飞机从地飞回地的位移．
17.本小题分
电流单位：随时间单位：变化的函数解析式是 ，，其中，．
求电流变化的周期；
当，，，，时，求电流．
18.本小题分
如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间单位：时相对于平衡位置即静止的位置的高度为单位：，由下列关系式决定：
，．
以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题：
小球开始振动时的位置在哪里？
小球位于最高、最低位置时的值是多少？
经过多长时间小球振动一次即周期是多少？
小球每能往复振动多少次即频率是多少？
19.本小题分
某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温单位：与时间单位：月的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间．答案不唯一
20.本小题分
一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为 ，与摆动时间单位：之间的函数解析式为求：
最初时的值；
单摆摆动的频率；
经过多长时间单摆完成次完整摆动？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意可设，
可得，得，解得，
可得函数最小正周期，解得，
又当时，，即，
而，
解得，
因此，或，A正确，BCD错误．
故选：．
根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可．
本题考查三角函数的实际应用，属中档题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数在实际问题中的应用，是基础题．
由题意得出、、和的值，再求出的值即可．
【解答】
解：由题意知，，，，
所以，
所以，
令，得，
又，
所以，
所以函数．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设，则，，，
在中，，
则，解得，
则，
故选B．
4.【答案】
【解析】解：在中，，
在中，，
由可得，，
则．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，即，，
所以函数的解析式为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的正切公式、三角函数在实际生活中的应用，属于基础题．
求出，设脚与伞边缘的水平距离为，利用，即可求出结果．
【解答】
解：如图：为脚，为雨伞边缘，
设脚与伞边缘的水平距离为，
则，
又，
所以．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：如图，，，
，
最大值为．
故选C．
8.【答案】
【解析】分析：因为函数的最小正周期，所以函数的最小正周期．
9.【答案】
【解析】分析：，．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意可设，根据周期性求出利用最大值与最小值分别为，，得出即可求解．
【解答】解：设．
旋转一周，，．
最大值与最小值分别为，．
解得，．
．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：连接，设，．
在中，，，
由正弦定理得，
即，可得，．
所以
．
当时，即时，有最大值．
故答案为：．
连接，设，在中运用正弦定理算出，然后根据三角形的面积公式及其性质，求出关于的表达式，结合三角恒等变换公式与正弦函数的性质求出的面积的最大值，可得答案．
本题主要考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、正弦函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】Ⅰ，．
Ⅱ．
【解析】解：Ⅰ由题意可得：，即，
且，则，
所以曲线段的解析式为．
当时，，
又因为，则，
可知锐角，所以．
Ⅱ由Ⅰ可知，，且，
则，
可得，
则矩形的面积为
，
又因为，则，
可知当，即时，，
所以矩形取得最大值．
Ⅰ由题意求出，和，写出函数的解析式，计算时的函数值，即可求解．
Ⅱ根据题意求出矩形的面积解析式，再求矩形面积的最大值．
本题考查了三角函数模型应用问题，是中档题．
13.【答案】；
；
．
【解析】解：由题意，，
，所以，
将点代入，
得，
又因为，
所以．
所以；
，
当时，，
所以，
所以，
所以点到轴的距离的最大值为；
当时，，的纵坐标为，
即，，
．
根据最值求出，再应用周期得出，再代入点求出即可得出解析式；
应用正弦函数的最值得出点到轴的距离的最大值为，即可得答案；
代入时得出的纵坐标求出．
本题考查了三角函数在生活中的实际应用，考查了两点间的距离公式，属于中档题．
14.【答案】；
后二人距离地面的高度相等．
【解析】解：设游客距离地面高度为，且，
又，，
则，，
又，
则，
又，
则，
即，，
令，
即，
则，
又，
则，
即，
即在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌；
设甲坐上座舱开始转到后，甲、乙距离地面的高度分别为，，
则，，，，
令，
则，
又，
则，
即，
即当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，后二人距离地面的高度相等．
设游客距离地面高度为，由题意可得，，令，然后求解即可；
设甲坐上座舱开始转到后，甲、乙距离地面的高度分别为，，则，，，，令，然后求解即可．
本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数的应用，属中档题．
15.【答案】解：由题意，，，得，
，得，
将代入得，即，
所以，得，，又，得，
所以，；
因为定义域是，所以不是周期函数．
由题意，，得，，
解得，，
又，所以，
所以两天共需开启空调小时．
【解析】求，，再由周期公式求，最后代入点的坐标求即可得解析式，根据定义域也能判断是否为周期函数；
利用正弦型函数的性质解不等式即可．
本题考查了正弦型函数的性质与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是中档题．
16.【答案】解：飞机从运动到的过程，如图所示，
由题意知，，，且，，
则，
过点作交于点，
则，，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以．
故飞机从地飞回地的位移大小为，方向西偏南．
【解析】本题考查了向量的概念和向量在物理中的应用，属于较易题．
根据题意画出飞机从运动到的运动路线，过点作交于点分别求出、、的长，由此结合任意角的三角函数的定义，即可求出飞机从地飞回地的位移．
17.【答案】解：由题意，电流Ⅰ变化的周期．
当，，
当，，
当，．
当，，
当，，
【解析】根据正弦函数的周期公式即可求解．
将，，，，代入求得的值即可．
本题考查中参数的物理意义，属于基础题．
18.【答案】解：函数在上的图像如图所示．
小球开始振动时的位置在平衡位置以上处；
小球位于最低、最高位置时的值分别是和；
小球振动一次经过的时间是；
小球每能往复振动次
【解析】本题考查的图像与性质，属于基础题．
由图象得时．
由图象得最高最低点的值．
求三角函数的周期．
考查频率的概念．
19.【答案】解：根据图象可知，当时，有最小值当时，有最大值．
解得
，
周期，振幅．
气温在月份时达到最低，在月份时达到最高．
【解析】本题考查由的部分图象确定其解析式，属于中档题．
当月份时平均气温达到最大值，当月份时，平均气温达到最小值，列出方程组，结合周期与振幅，从而可得函数解析式．
20.【答案】解：时，函数，
即最初时的值为；
由函数解析式知，
所以，
所以单摆摆动的频率为；
因为周期，则，
所以经过单摆完成次完整摆动．
【解析】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
计算时函数的值即可；
由函数解析式求出周期，再计算频率的值；
由周期求单摆完成次完整摆动需要的时间．

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