资源简介

2.4《平面向量基本定理及坐标表示》同步练习
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则( )
A. B. C. D.
2.设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则的坐标为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.下列各组向量，可作为一组基底的是【】
A. B.
C. D.
5.已知向量，，则，，则下列表述正确的是( )
A. 存在唯一的实数对，使得
B. 存在唯一的实数对，使得
C. 存在唯一的实数对，使得
D. 存在唯一的实数对，使得
6.衡量钻石价值的标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
8.在中，点，分别满足，，若，，，则有序实数对为( )
A. B. C. D.
9.已知，若向量是与方向相同的单位向量，则( )
A. B. C. D.
10.下列各组向量中，不能作为基底的一组是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则( )
A. B. C. D.
12.若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为( )
和 和
和 和
A. B. C. D.
13.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
14.已知向量，当取最小值时，( )
A. B. C. D.
15.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
16.下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. B.
C. D.
17.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
18.下列各组向量中，，可以做基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
19.在正方形中，是的中点若，则的值为 ．
20.已知向量，，则 ．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图在直角中，，，，点为平面中一点．
若，请用和来表示．
若，求和的面积之比．
22.本小题分
已知向量，．
求的坐标；
求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，
又力，，
所以．
故选：．
由物体处于静止状态，得到，计算求得．
本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
因为，
所以，解得，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由，，设，由，得，
解得，所以的坐标为或．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：可以作为基底的向量是不共线的向量，
中一个向量是零向量，两个向量共线，不符合要求；
中，两个向量不共线，符合要求；
中，两个向量共线，不符合要求，
选项中的两个向量是，两个向量共线，不符合要求．
5.【答案】
【解析】解：已知，，
则，
，
对于，若，则，
化简得，有无数组满足，所以 A错误；
对于，若，则，
整理得，有无数组满足，故B错误；
对于，若，则，解得，
存在唯一实数对满足，所以C正确；
对于，若，
则，
展开得，有无数组满足，所以D错误．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
延长和交于点，则四边形为正方形，又，得，，由向量的加法运算求解．
【解答】
解：如图：
延长和交于点，
四边形为等腰梯形，且，，
为以为斜边的等腰直角三角形，且为中位线，
，，
又为等腰直角三角形，，
四边形为正方形，
，
所以．
7.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，则，
故，
所以，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意，，，，，
则
，
，
所以，
又，所以，
则有序实数对为．
故选：．
由题设及平面向量基本定理，求得，，即可求得结果．
本题考查平面向量线性运算及平面向量基本定理，属基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同向向量，单位向量的概念，以及将一个向量变成单位向量的方法，属于基础题．
可先求出，再除以向量的模，即可求解．
【解答】
解：，，
，
，
与向量同向的单位向量的坐标为，
即．
故选D．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，属于基础题．
判断两向量不共线即可作为基底．
【解答】
解：因为，所以中向量不共线，可以作为基底；
因为，所以中向量共线，不可以作为基底；
因为，所以中向量不共线，可以作为基底；
因为，所以中向量不共线，可以作为基底．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：因为 ， ，是的中点，
所以 ，
因为，
所以 ，
所以．
故选C．
12.【答案】
【解析】解：对于中，由和，可得，
所以和是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于中，设，可得，方程组无解，
所以和不共线，可以作为一组基底向量；
对于中，设，可得，方程组无解，
所以和不共线，可以作为一组基底向量；
对于中，设，可得，解得，
所以和是共线向量，不能作为一组基底向量．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量平行关系的坐标表示，属于基础题．
由题意可得、不共线，则，即可求解．
【解答】
解：在中，，，，
、、三点能构成三角形，
、不共线，
，
则，故，
故选：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查平面向量的数量积，属于基础题．
由，由二次函数的性质可知时，取得最小值，进而可求．
【解答】
解：由题意，
时，取得最小值．
此时．
故选D．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标表示，属于基础题．
运用平面向量的坐标运算知识可得答案．
【解答】
解：因为向量，
则．
故选：．
16.【答案】
【解析】解：对于，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意；
对于，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意；
对于，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意；
对于，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意．
故选：．
17.【答案】
【解析】解：不存在，使得，故、为不共线的非零向量，可以作为基底
B. 不存在，使得，故、为不共线的非零向量，可以作为基底
C.，所以、共线，不能作为基底；
D.，所以、共线，不能作为基底．
故选AB．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．
根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可．
【解答】
解：对于，，不可以作为基底，故A错误；
对于，，共线，不可以作为基底，故B错误；
对于，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，故C正确；
对于，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，故D正确．
故选：．
19.【答案】
【解析】解：在正方形中，以点为原点，直线，分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图，
设正方形的边长为，则，，，，
易得，，，，
因为，即，
于是得，解得
所以的值为．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
由向量的坐标运算可得，由数量积的坐标运算可得．
【解答】
解：，，
，
．
故答案为．
21.【答案】；
．
【解析】由，可得，
则
；
延长交于点，如图所示，
设，则由，
可得，
由，，三点共线，
可得，解得，
则，
则，即，
所以．
根据平面向量线性运算即可求解；
根据平面向量线性运算及三点共线即可求解．
本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，属中档题．
22.【答案】解：因为，所以，
所以
因为，，
所以．

【解析】本题主要考查了向量坐标的加法、减法、数乘以及向量乘法知识点，属基础题．
直接利用向量加法与数乘公式求出；
直接利用向量的减法与数量积公式可求出结果．

展开更多......

收起↑