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2.5.1《向量的数量积》同步练习
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知向量与是非零向量，，，与的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知正三角形的边长为，为的中点，记，是与同向的单位向量，则下列结论不正确的是( )
A. 与的夹角为 B.
C. 在上的投影向量为 D.
5.下列命题中，正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D. 若，则
6.已知平面向量，，，在上的投影向量为，，则取最小值时的值为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
8.已知三角形的三个顶点，，，则过点的中线长为 ( )
A. B. C. D.
9.如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )
A. B. C. D.
10.若向量，，则与的夹角等于( )
A. B. C. D.
11.已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是 ( )
A. B. C. D.
12.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
13.已知单位向量满足，则在上的投影向量为
A. B. C. D.
14.在中，角的对边分别为，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形
15.已知向量，则在上的投影向量的数量为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
16.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的模是______．
17.设，向量，，且与垂直，则 ．
18.已知向量，，则在方向上的投影向量是 ．
19.已知向量，，若，则
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
已知向量、满足，且．
求向量与向量的夹角；
若，求实数的值．
21.本小题分
设为实数，若向量．
若与垂直，求的值；
当为何值时，三点共线．
22.本小题分
在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点．
求、的长；
求的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：非零向量，满足，
且向量在向量上的投影向量是，
，
解得，
因为，
所以向量与的夹角是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，可得，
从而在上的投影向量为．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查投影向量、向量的数量积的概念及其运算，属于基础题．
求出，根据投影向量的公式直接求解即可．
【解答】
解：因为，，，与的夹角为，
所以，
所以，
故在上的投影向量为：
．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的减法、数量积、投影及向量夹角，属于基础题．
根据向量的减法、数量积、投影及向量夹角的定义即可求出答案．
【解答】
解：因为与的夹角为，所以与的夹角为，故A错误；
，故B正确；
由题得，在上的投影向量为，故C正确；
，故D正确．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量平行，向量相等，向量的垂直与数量积，以及单位向量的概念，属于基础题．
根据向量平行、向量相等、数量积与垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项．
【解答】
解：对于选项，向量，，可能，此时不能得到，故A错误；
对于选项，根据向量相等的知识可知B正确；
对于选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C错误
对于选项，若，则，即，
则或或，故D错误．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：因为在上的投影向量为，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，取最小值．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：在方向上的投影向量是 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两点间距离公式，涉及中点坐标公式，属于基础题．
根据题意，设的中点为，由，的坐标计算可得的坐标，进而由两点间距离公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设的中点为，
又由，，则的中点坐标为，
则；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A，不正确；
由于两个单位向量的夹角不确定，则不一定成立，所以选项D不正确；
因为，是两个单位向量，故，则选项C正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积，向量夹角的求解，坐标运算，属于简单题．
由题意得，，，利用数量积公式，由此可求得二者的夹角．
【解答】
解：由题意得，，，
，，
又，，，，
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，属于基础题．
由关于点的对称点，根据中点坐标公式列出方程即可求出与的值，得到点的坐标，然后利用两点间的距离公式求出到原点的距离即可．
【解答】
解：根据中点坐标公式得到
解得
所以的坐标为
则点到原点的距离．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，，
，，
在上的投影向量为
故选：
13.【答案】
【解析】解：因为，是单位向量，所以，，
因为，
解得，设与的夹角为，
则在上的投影向量为．
故选D．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
取中点，因为，则，即，
所以是等膜三角形，
故选：．
15.【答案】
【解析】解：向量，则，
所以在上的投影向量的数量为．
故选：．
16.【答案】
【解析】解：因为，的夹角为，且，，
所以，
所以，，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量的模是．
故答案为：．
利用平面向量数量积的定义可得，利用向量模的计算公式可得，结合投影向量的定义即可求解．
本题考查平面向量的数量积运算，投影向量的求解，属于基础题．
17.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求投影向量，向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，属于基础题．
利用投影向量的公式即可求解．
【解答】
解： ，
，
，，
设向量， 的夹角为，
，
则在方向上的投影向量是．
故答案为．
19.【答案】
【解析】解：因为，所以，解得．
故答案为：．
20.【答案】解：，且，
，
，
，又，
；
，
，
，
，．
【解析】根据向量数量积的定义与向量夹角公式即可求解；
根据向量垂直的性质，方程思想即可求解．
本题考查向量数量积的定义与向量夹角公式，向量垂直的性质，方程思想，属基础题．
21.【答案】解：由题意可得：，
若与垂直，则，解得；
由题意可得：，，
若三点共线，则，
可得，解得或，
故为或时，三点共线．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
22.【答案】，；
．
【解析】在中，已知，，，
根据平面向量数量积公式可得，
、边上的两条中线、相交于点，
因为是的中点，
根据平面向量的加法法则和减法法则可得，
所以，
两边平方整理可得，
所以，
因为为的中点，所以根据平面向量的减法法则可得，
两边平方整理可得，
故；
因为
，
所以根据两向量的夹角公式可得，
则的余弦值为．
将、用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得、的长；
计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．

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