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(共19张PPT)
1.3.1 不等式的性质
导入新课
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的，研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式，请思考下面的问题：
生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢？
将其转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖（），若再加入克糖，则糖水更甜了，为什么？
导入新课
分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证即可，怎么证呢？
设计意图：让学生了解不等关系在我们生活中是处处存在的，我们要想更好地了解现实世界，研究现实世界中存在的种种现象，学习不等式知识是非常有必要的，然后举了现实生活中一个具体的例子，让学生有更深刻的感受. 是一个很有意义的不等式模型，现实中的很多问题都可以用这个模型来解释.
问题1：什么叫不等式？
答：用不等号（）连接的式子.
问题2：我们初中是如何判断两个实数大小的？判断两个实数大小的充要条件是什么？
答：在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数的大小对于任意两个实数，在三种关系中有且仅有一种成立.比较两个实数大小的充要条件是：.
设计意图：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了.
探究新知
探究新知
问题3：你能比较与的大小吗？
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少在这里无关紧要），并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.
解：，
.
探究新知
不等式的性质
性质1 如果，且，那么.
证明
分析
要证，只要证.
因为，且，
所以，，
从而，即.
设计意图：这个性质我们叫作不等式的传递性，利用比较两个实数大小的充要条件证明不等式的这一性质在证明过程中注意如何利用已知条件把配凑成的形式.
探究新知
性质2 如果，且，那么.
问题4：如何用文字语言描述这一性质？
答：不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变.
问题5：你能仿照性质1的证法证明这一性质吗？
要求学生独立完成这一性质的证明.
探究新知
（2）如果，那么.
问题6：你能用文字语言描述性质3吗？能证明吗？
答：不等式的两边同时乘一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘一个负数，不等号的方向改变.
证明：（1）因为，所以.
又因为，所以，，即.
探究新知
问题7：你能用（1）的方法完成（2）的证明吗？
证明：（2）因为，所以.
又因为，所以，即.
问题8：你能用我们学习的不等式的性质，证明我们前面提到的问题吗？
a克糖水中含有b克糖（，若再加入克糖，则糖水
更甜了，为什么？”
即：，证明：.
探究新知
方法一：作差法证明，只要证明.
方法二：转化为证明让学生用不同的方法证明这个题目，找两名学生板演，教师点评指导.
性质4 如果，，那么.
问题9：你能用作差法证明吗？
证明：因为，，所以，所以.
探究新知
问题10：你还能用其他方法证明吗？
证明：因为，所以.
又因为，所以.
由不等式的性质1，得.
设计意图：不等式的证明，方法比较灵活，在证明不等式的问题时，
引导学生打开思维，灵活选择证明方法.
性质5 （1）如果，，那么；
探究新知
（2）如果，，那么
证明：（1）因为，，所以.
又因为，，所以.
由不等式的性质1，得
问题11：你能用（1）的方法完成（2）的证明吗？
证明：（2）因为，，所以.
又因为，，所以.所以
特殊地，当时，，其中.
探究新知
性质6 当时，，其中.
分析：用反证法证明.
问题12：你能说出反证法的步骤吗？
步骤：假设命题反面成立；从假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；得出假设命题不成立，即所求证命题成立.
探究新知
证明：假设，
当时，可得，
即.与已知条件矛盾.
当时，可得，
即.与已知条件矛盾.
所以不成立，即.
典例剖析
例1、（1）已知，，求证：；
（2）已知，，求证：.
分析
在利用不等式的性质进行不等式证明时，一定要注意性质成立的前提条件是否具备.第（1）小题可以用作差法证明，也可以用不等式的性质3进行证明；第（2）小题利用不等式的性质4时要注意同向不等式才可以两边相加.
典例剖析
解析
（1）方法一：因为，所以，.
又因为，
所以，所以.
方法二：因为 ，所以.又因为，
所以由不等式的性质3，得，即.
（2）因为，所以.又因为，
所以由不等式的性质4，得，即.
典例剖析
第（1）题教师引导学生分析思路方法，然后教师板演，给学生以示范.
第（2）题找两名学生板演，教师根据学生的完成情况点评指导.
设计意图：向学生示范运用不等式的性质证明命题的般思路方法，第（1）题用了两种方法证明，方法一是作差法；方法二是利用不等式的性质证明.引导学生体会不等式证明的基本思路方法.
教材第26页练习第2~5题.
先让学生独立完成，然后相互讨论交流，教师点评后给出答案.
巩固练习
课堂小结
引导学生共同小结：
（1）不等式的6条性质.
（2）不等式性质的证明方法.
（3）不等式性质的应用.

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