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§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.1　一元二次函数
教学目标
01
02
体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中．
掌握一元二次函数的图象和性质．
掌握一元二次函数的图象和性质
重点
难点
体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中
环节一
二次函数的概念
二次函数的概念
一般地，形如________________(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
定义
特例
二次函数的概念
微练
若二次函数，则取值范围是
二次函数的概念
解析式
一元二次函数的三种形式
(1)一般式：____________________；
(2)顶点式：____________________；
(3)两根式：______________________；
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
思考
二次函数的概念
微练
一元二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),则这个一元二次函数的解析式　　　　　　　　　　
二次函数的概念
配方
y=4x2-4x-1如何配方
二次函数的概念
一般式变顶点式
=
二次函数的概念
微练
若抛物线= ( ) + + 的顶点在 轴上,则 的值为(　　)
.- . .- .
对称轴为x=- =0,故m=2.
环节二
二次函数的图像
二次函数的图像
基本特征
函数 图像 　
开口方向 抛物线开口向上，并向上无限延伸． 抛物线开口向下，并向下无限延伸．
对称轴 直线 顶点坐标
二次函数的图像
微练
已知抛物线ｙ=ax2+bx+c(a＞0)过(-2,0) (2,3)两点,那么抛物线的对称轴( )
A.只能是x=-1 B. 可能是y轴
C. 在y轴的右侧且在直线x=2的左侧
D.在y轴的左侧且在直线x=-2的右侧
抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(-2,0),(2,3)两点,∴(-2, 0)关于对称轴的对称点横坐标x2满足:
-2∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线 x=-2的右侧
二次函数的图像
图像变换
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)， “h正__移，h负__移”；k决定了二次函数图象的__________，而且“k正__移，k负__移”．
左
右
上、下平移
上
下
二次函数的图像
微练
能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到
y＝的图象？
不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同．
环节三
二次函数的性质
二次函数的性质
函数 图像 　
定义域 R 值域
顶点坐标
二次函数的性质
函数 图像 　
最值
增加与减小 ， 增，
对称性 对
二次函数的性质
微练
二次函数y＝x2＋2x－5有 (　　)
A．最大值－5 B．最小值－5
C．最大值－6 D．最小值－6
y＝x2＋2x－5为二次函数的一般形式，a＝1>0，所以有最小值．配方得y＝(x＋1)2－6，所以最小值为－6，也可由顶点纵坐标公式得到，选D.
．
二次函数的性质
微练
二次函数y＝x2＋2x－5增加和减小的区间
增加区间是；减小区间是．
环节四
二次函数的图像应用
例1
在同一坐标系中作出下列函数的图象．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．
9 4 1 0 1 4 9
7 2 -1 -2 -1 2 7
30 16 6 0 -2 0 6
列表
描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．
由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．
先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．
法1
法2
先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．
环节五
二次函数的性质应用
例2
已知二次函数y＝3x2－2x－1.
(1)求其顶点坐标；
(2)判断其在区间上是增加的还是减小的；
(3)当x取何值时，y＝0.
分析
通过配方，将其化成顶点式来求解．
[解]　(1)配方得y＝3x2－2x－1＝3，
所以其顶点坐标为.
(2)由于该函数在区间上是减小的，且 ，所以该函数在区间上也是减小的．
(3)y＝0，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或，
所以，当x＝1或－时，y＝0.
环节六
小结
课堂小结
1．核心要点
二次函数图像与性质
2．数学素养
1.通过图像研究培养想象力，数形结合能力；
2. 借助图像与性质应用，培养逻辑推理能力与素养

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