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(共42张PPT)
4.3　一元二次不等式的应用
课标要求 素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问题　如何判断甲、乙两车是否超速？
提示　由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，
解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去).
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，
解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去).
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.
1.简单的分式不等式的解法
2.一元二次不等式恒成立问题
3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
×
√
√
答案　－14
2.已知不等式x2＋ax＋1≥0的解集为R，则a的取值范围是________.
答案　[－2，2]
3.不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是 ，则实数a的取值范围是________.
答案　(－1，3)
[微思考]
M≥y恒成立与M≥y有解等价吗？
提示　不等价.M≥y恒成立 M≥ymax；M≥y有解 M≥ymin.
题型一　分式不等式的解法
【例1】　解不等式：
解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
故原不等式的解集为{x|x＜－2}.
【训练1】　解下列不等式.
(2)法一　原不等式可化为
法二　原不等式可化为
题型二　不等式的恒成立问题
角度1　无限制范围的恒成立
【例2－1】　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解　(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
(2)∵－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4.
又∵－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意x恒成立.
∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0.
解得a≤－1或a≥4.
∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).
图①　　　　　　图②
角度2　有限制范围的恒成立
【例2－2】　(1)当x∈[1，2]时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)对任意x∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围.
解　(1)令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1，2]上恒成立.
∴y＝0的根一个在(－∞，1)上，另一个在(2，＋∞)上.
∴m的取值范围是(－∞，－5).
(2)∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立.
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.
∵－1≤x≤1，∴x－2<0.
y＝2－x在[－1，1]上y随x的增大而减小，
∴(2－x)min＝1，∴a<1.
故a的取值范围是(－∞，1).
规律方法　含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法：一种是将参数分离，转化为恒成立问题；另一种是利用二次不等式根的分布及数形结合思想求解.
角度3　给定参数范围恒成立问题
【例2－3】　已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________.
答案　(－∞，1)∪(3，＋∞)
规律方法　解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练2】　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解　(1)若m＝0，显然－1＜0恒成立；
∴m的取值范围为(－4，0].
当m＝0时，－6＜0恒成立.
当m＞0时，在[1，3]上s随x的增大而增大，
∴smax＝s|x＝3＝7m－6.
法二　y＜－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立，
当m＜0时，在[1，3]上s随x的增大而减小.
∴smax＝s|x＝1＝m－6＜0，解得m＜6，
∴m＜0.
又m(x2－x＋1)－6＜0，
题型三　一元二次不等式的实际应用
【例3】　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2.
即x的取值范围为(0，2].
规律方法　解不等式应用题的步骤
【训练3】　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解　(1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0＜x＜1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象素养及数学运算素养.
2.在解决不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对a进行分类讨论.
3.含参数一元二次不等式在某区间上恒成立时，处理的原则是转化为最值问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上最值来处理，二是先分离参数，再求函数最值.
4.利用一元二次不等式来解决问题时，应注意实际意义.
二、素养训练
1.不等式x(2－x)>0的解集为(　　)
A.{x|x>0} B.{x|x<2}
C.{x|x>2或x<0} D.{x|0解析　原不等式化为x(x－2)<0，故0答案　D
答案　A
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.
解析　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).
答案　150
4.不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________.
解析　原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为 .
答案　

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