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4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
复习回顾：指数函数、对数函数、幂函数的单调性
指数函数y=ax (a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数(在区间（0，+∞）上的单调性如何？
1.指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
y=bx
y=ax
y
x
O
1
b
a
底数a越大，其函数值增长就越快.
2.对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像影响
底数a越小，其函数值增长就越快.
y=logax
y=logbx
y
x
O
1
a
b
3.幂函数 (>1)图像及对图像影响
y=x2
y=x3
y
x
O
x>1时，越大其函数值增长就越快.
1
新知探究：函数y=
①对数函数 y=log2x增长最慢
②在（0,2)，幂函数比指数函数增长快；在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
新知探究：函数y=
抽象和概括
①对数函数增长最慢
②当自变量x大于某一个特定值时，指数函数比幂函数增长快
③由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”
学以致用
学以致用
针对练习
抽象概括
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　).
A.y=100x B.y=x100 C.y=100x D.y=log100x(x∈N*)
2.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示.
有下列四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的是　　　　.
课后作业
3.以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
其中，关于x呈指数函数变化的变量是　　　　.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　).
A.y=100x B.y=x100 C.y=100x D.y=log100x(x∈N*)
【解析】四个函数中，增长速度由慢到快依次是y=log100x，y=100x，y=x100，y=100x.
C
2.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示.
有下列四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变.
其中说法正确的是　　　　.
【解析】由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确.
②③
3.以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
其中，关于x呈指数函数变化的变量是　　　　.
【解析】从表格可以看出三个变量y1，y2，y3都随x的增大而增大，但增长速度不同，其中y1的增长速度最快，画出它的散点图(图略)知变量y1关于x呈指数函数变化.
y1
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …

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