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2025年春期九年级第三次学情调研
数学试卷
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作（ ）
A．2525年 B．2025年 C．年 D．年
2．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型样式丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图中不是其三视图之一的是（ ）
A． B．
C． D．
3．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将等腰直角三角板按如图所示放置，其直角顶点落在直线上，另一个顶点落在直线上，若，，则的度数为（ ）
A．23° B．33° C．45° D．67°
6．下列问题适合全面调查的是（ ）
A．了解黄河的水质情况 B．了解全省九年级学生的视力情况
C．调查市场上某品牌电池的使用寿命 D．神舟二十号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
7．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图①所示，甲、乙两个相同容器中分别装有相同体积的，两种液体，现用相同的电加热器同时加热，忽略热损失，得到如图②所示的液体温度（℃）与加热时间（）之间的对应关系.下列说法正确的是（ ）
A．，两种液体的温度均随着加热时间的增加而降低
B．当加热时间为时，的温度比的温度低
C．当加热时间为时，，的温度相等
D．当加热时间为时，，的温度都低于20℃
10．在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转60°，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转60°，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个分式，并写出使其有意义的条件_______．
12．如图为关于的不等式组的解集在数轴上的表示，则的取值范围是_______．
13．某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选10棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是_______．
甲 乙 丙 丁
19 22 22 19
1.8 1.6 1.8 1.6
14．如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的_______．
15．如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转45°到的位置，连接和，求的最小值为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）2025年春晚的机器人秧歌表演将传统秧歌与现代科技完美结合，让古老的民俗文化在新时代焕发出新活力．随着机器人技术的不断发展，其应用场景将更加广泛．近期，百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称款）．有关人员开展了、两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）下面给出了部分信息：
抽取的对款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对款AI聊天机器人的评分数据：
66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100.
抽取的对，款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96 45%
88 87 C 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有260人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
18．（9分）如图，已知．
（1）尺规作图：作平分交于点，再作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，，，求的长．
19．（9分）老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”．如图①，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下：
方案设计：如图②，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取、两点，先测得，两点之间的距离，再在、两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点、、在同一水平线上）．
数据收集：通过实地测量，地面，之间的距离为，在点处测得铜像头顶的仰角为78°，在点处测得铜像头顶的仰角为60°．
问题解决：已知测角仪的高度为，求老子铜像（含底座）的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
20．（9分）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率＝220－年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表：
跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 …
平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 …
（1）该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由．
（2）该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式．
（3）该小组查阅资料发现：
热身运动合适的心率范围是最大心率的50%～60%；
减脂运动合适的心率范围是最大心率的60%～70%；
有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的70%～80%；
无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的80%～90%，从健康角度考虑，相对心率不应超过90%．
根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案．
21．（9分）如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．
（1）求证：；
（2）设交于点，若，．是弧的中点，求的值．
22．（10分）沙坑跳远是一项结合助跑、起跳、腾空和落地技术的田径项目.运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系式（）
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出近似满足的函数关系式（）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关关系式，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小．
23．在正方形中，点是边上一点（点不与点，重合），，垂足为点，与正方形的外角 的平分线交于点．
（1）如图1，若点是的中点，猜想与的数量关系是______；证明此猜想时，可取的中点，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______；
（2）点在边上运动．
①如图2，（1）中猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接、，若正方形的边长为2，直接写出的周长的取值范围．
数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C B B A D C A D D
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（） 12． 13．乙 14．
15．
【解析】如图，将线段绕点顺时针旋转45°得到线段，连接，
连接交于点．
四边形是矩形，
，．
，．
在和中，
．
点在射线上运动，当时，的值最小．
，，，
．．
四边形是矩形．
，．
．．
．．
的最小值为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解：（1）原式；
（2）原式．
17．（1）15，88.5，98；
【解析】（1）由题意得：，即，
款的评分非常满意有，“满意”的数据为89、88、87、86、86、84，
把款的评分数据从高到低排列，排在中间的两个数是89、88，
中位数，
在款的评分数据中，98出现的次数最多，众数；
故答案为：15，88.5，98；
（2）款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但款评分数据的中位数比款的中位数高，
所以款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）（人）
答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的大约共有71人．
18．解：（1）如图所示即为所求作的图形；
（2）证明：四边形是菱形；
根据作法可知：是线段的垂直平分线，
，，，
平分，，
，，
同理可得，，四边形是平行四边形，
，平行四边形是菱形；
（3）是菱形，，
，，，
解得：．
19．解：如图，连接交于点，
可知四边形为矩形，，，；
在中，，
在中，，
又，，
即，，解得，，．
答：老子铜像（含底座）的高度约为．
20．解：（1）由表格数据可知：
当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数；
当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数；
当自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）．
（2）设，
分别把，代入，得，
，解得：，
．
（3）．
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，．
可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律．
方案设计如下：
连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动；
连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动．
从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息．
21．（1）证明：如图，连接，
是的直径，，即，
又，垂直平分，；
（2）解：连接，
、、、四点共圆，，
，，
，，
，
在中，，，
．
点是弧的中点，是的直径，，
，，
又，，
，．
22．解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为．
该运动员竖直高度的最大值为0.9米．
设函数关系式为：．
经过点，，解得：．
函数关系式为：．
（2）当时．
第一次训练：．
解得：（舍），．．
第二次训练：．
解得：（舍），．．
，．
23．解：（1） （填“”也正确）．
（2）成立．
①如图，在上取一点，使，连接．
四边形是正方形，
，．
，．
是等腰直角三角形．
．．
平分，，
．
．
．
，．
，．
．．
②．

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