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2024-2025学年九年级第三次中招模拟考试
数 学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列各数中最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
2．河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（ ）
A．17104 B．1.7105 C．1.7106 D．0.17106
3．“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，打陀螺是一项深受各民族群众喜爱的体育运动．如图是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．若单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．为庆祝神舟十八号载人飞船的成功发射，某学校“鲲鹏”航天社团开展航天知识竞赛活动．经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差（单位：分2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 96 98 98
方差 1.0 0.4 0.2 0.6
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C． 没有实数根 D．无法判断
7．（3分）如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘(转盘质地均匀),正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计重转），则指针两次指向的图案 相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平面直角坐标系中，经过三点，点是上的一动点．当点到弦的距离最大时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图（1）所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图（2）），射向光敏电阻的激光(恒定)被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
A．该图象不是反比例函数图象 B．随的增大而减小
C．当烟雾浓度增大时，电压表示数变小 D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．化简__________．
12．不等组最大整数解是___________．
13．如图，在中，，对角线与相交于点，，则的周长为___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴，轴上，点为的中点，连接．点为上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点的坐标为___________．
15．如图所示，在中，，是的中位线，是边上一点，，是线段上的一个动点，连接相交于点．若是直角三角形，则的长是___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）化简：．
17．（9分）综合与实践【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同 学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用（单位：cm）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：
组别
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下．
甲园样本数据频数直方图 乙园样本数据频数直方图
图（1） 图（2）
任务1：求图（1）中的值
【数据分析与运用】
任务2：五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数；
任务3：下列结论一定正确的是___________（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在组；
②两园样本数据的众数均在组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
任务4：结合市场情况将两组的柑橘认定为一级，组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．
18．（9）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点．
（1）求的值；
（2）已知点为直线在第一象限的部分上的一个动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，当时，求的值；
（3）观察图象，直接写出当时，的取值范围．
19．（9分）科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬 起整个地球!”这运用的是杠杆原理．如图，◎表示地球，点是支点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图（2），连接交于点，延长交◎于点，点为下方的上一点，且．在（1）的条件下，若点为的中点，求的度数．
20．（9分）九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长为米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长为米，已知，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯的高度．
21． (9分)共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行min，收费元，且，品牌电动车骑行min，收费元，且，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示．
（1）说明图中函数与图象的交点表示的实际意义．
（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
22．（10分）数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚（如图（1））将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先对大门进行了装修，如图（2）所示，该大门门头示意图由矩形和抛物线形组成，测得2m，m，m．以水平线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．
图（1） 图(2)
（1）求此门头抛物线部分的表达式；
（2）改造时，为了加固，要在棚内梁的四等分点处焊接两排镀锌管支撑大棚顶部，若定制的每根镀锌管成品长2m，则是否需要截取？如果需要，计算需要截取的长度．
23．（10分）综合与实践
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合)，连接，以为直角边在的右侧构造，连接，．
特例感知
图（1） 图（2） 图（3）
（1）如图（1），当时，与之间的位置关系是___________，数量关系是___________．
类比迁移
（2）如图（2），当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，如图（3）已知，设，四边形的面积为．
①求与的函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
2024-2025学年九年级第三次中招模拟考试数学答案
一、选择题
1．A 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．C 9．A 10．C
二、填空题
11． 12．2 13．8 14． 15．或
三、解答题
16．（1）计算过程：．
（2）
17．任务1：
计算过程：由频数直方图可知，解得．
任务2：
计算过程：乙园样本数据的平均数为．
任务3：
答案：①③
解析：
选项①：甲园和乙园的样本数据都是200个，中位数是第100和101个数的平均数，都在组，①正确。
选项②：从频数直方图中不能确定众数一定在组，②错误。
选项③：两园样本数据的最大数与最小数的差都为，③正确．
任务4：
答案：乙园的柑橘品质更优．
理由：甲园一级柑橘的数量为个，乙园一级柑橘的数量为个；甲园二级柑橘的数量为30个，乙园二级柑橘的数量为30个；甲园三级柑橘的数量为个，乙园三级柑橘的数量为个．乙园一级柑橘和二级柑橘的总数为个，甲园一级柑橘和二级柑橘的总数为个，但乙园三级柑橘的数量更少，所以综合来看乙园的柑橘品质更优．
18．（1）计算过程：把代入，得，所以，把代入，得．
（2）计算过程：因为点的横坐标为，且在直线上，所以点的坐标为，点的坐标为，则，整理得，即，解得或（舍去），所以．
（3）答案：或．
解析：由图象可知，当时，或．
19．（1）作图步骤：连接．
作的垂直平分线，交于点．
以为圆心，为半径作圆，交于点．
作直线，则直线即为所求的杠杆．
（2）计算过程：连接．因为，所以．因为点为的中点，所以．
因为是的切线，所以，则．
20．计算过程：
因为，所以，则，即．
当标杆旋转到的位置时，标杆的影长最大，此时，且，
即．
21．（1）答案：图中函数与图象的交点表示当骑行时间为15分钟时，、两种品牌的共享电动车收费相同，均为6元．
（2）计算过程：王老师家与学校的距离为m，王老师骑电动车的平均速度为300m/min，则骑行时间分钟．
品牌电动车收费元．
把代入，得，解得，所以时，，则王老师选择品牌的共享电动车更省钱．
（3）计算过程：
当时，，即或，解得（舍去）或．
当时，，即或，解得或（舍去）．
所以当或时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
22．（1）计算过程：由题意可知，设抛物线的表达式为，把代入得，解得，所以抛物线的表达式为．
（2）计算过程：因为，所以的横坐标分别为．当时，，则镀锌管的长度为米，因为，所以需要截取，截取的长度为米．
23．（1）答案：．
解析：因为，所以，即．又因为，所以，则≌（SAS），所以．
因为，所以，则．
（2）猜想：．
证明过程：因为，所以，
则，所以．
因为，所以，则．
（3）①计算过程：因为，由（1）可知，
所以，即．因为，所以随的增大而增大，当时，有最小值0．
②计算过程：因为，所以或．

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