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2024-2025学年度 七年级下册 数学 第三次月考试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在数轴上表示的的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.我国古代数学著作九章算术“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器个，小容器个，总容量为斛，大容器个，小容器个，总容量为斛．问个大容器、个小容器的容量各是多少斛？设个大容器的容量为斛，个小容器的容量为斛，下列方程组正确的是 ( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，下列不等式中，正确的是( )
A. B. C. D.
5.若关于，的方程的一个解是，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知关于、的方程组和的解相同，则、的值为( )
A. B. C. D.
7.下列实数是无理数的是( )
A. B. C. D.
8.如图，直线与直线，相交，则的内错角为( )
A. B. C. D.
9.河南新乡期末如图，个塑料凳子叠放在一起的高度为，个塑料凳子叠放在一起的高度为，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则个塑料凳子叠放在一起时的高度为( )
A. B. C. D.
10.若关于的不等式组无解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
11.把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果，那么”的形式为： ．
12.已知方程是关于、的二元一次方程，则 ．
13.若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是 ．
14.如图，点，，是直线上的三点，点在直线外，，垂足为，，，，则点到直线的距离是 ．
15.若一个正数的平方根是和，则_______．
16.已知正数的平方根是，则______．
17.若，则_________；若，则_________；若，则_________．
18.已知点在轴上，则点的坐标为______．
19.不等式的正整数解是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
20.计算
解方程组．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示．
21解方程组：； 解不等式组，并写出它的最小整数解．
四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题分学校策划了“多读书、读好书、善读书”的主题活动．根据同学们的需求，张老师要为学校图书馆补充一种科普书．某书店的优惠方案如下：已知该科普书定价元．
当购买数量不超过本时，张老师应选择优惠方案______；
当购买数量超过本时，张老师如何选择优惠方案？
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系内，三角形是由三角形平移得到，三角形内部一点随之平移后得到点．
填空：点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；
连接，求三角形的面积．
24.本小题分
如图，直线、被直线所截，平分，，求证：．
25.本小题分
为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车店准备购进型和型两种不同型号的电动汽车共辆进行销售，这两款电动汽车的成本价和售价如下：
成本价万元辆 售价万元辆
型
型
如果该店购进辆电动汽车所花费成本恰好为万元，那么其中购进型电动汽车______辆，型电动汽车______辆；
如果为了保证该店将购进的辆电动汽车全部售出后，所得利润要超过万元，那么型电动汽车最多购进多少辆？
26.本小题分在今年第个世界读书日来临之际，某校数学活动小组为了解七年级学生每天阅读时长的情况设计了一份调查问卷，同时随机邀请七年级的一些学生完成问卷调查，获得了这些学生平均每天阅读时长的数据，并对这些数据进行了整理，绘制成频数分布表、频数分布直方图下面给出了部分信息．
平均每天阅读时长频数分布表、频数分布直方图分别如图所示．
成绩 频数
其中这一组的平均每天阅读时长是：，，，，，，，，，，，，，，．
根据以上信息，回答下列问题：
表中 ______， ______，参与问卷调查的学生共有______人；
补全频数分布直方图；
为了鼓励学生养成阅读习惯，语文老师建议对七年级平均每天阅读时长在分钟及以上的学生授予“阅读达人”称号已知七年级共有名学生，请估计该年级共有多少名学生获得“阅读达人”称号．
27.本小题分
分如图，直线，相交于点，，平分．
直接写出的对顶角和邻补角．
若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，
在数轴上表示的的取值范围为，
故选：．
根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
根据第四象限点的横坐标大于，纵坐标小于列出不等式组求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【解答】
解：点在第四象限，
，
解得．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质，逐一分析判断即可．
【解答】
解：、两边都加，不等号的方向不变，故A错误；
B、两边都减，不等号的方向不变，故B错误；
C、两边都乘，不等号的方向不变，故C正确；
D、两边都乘，不等号的方向改变，故D错误；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
把代入方程，得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出一个关于的一元一次方程是解此题的关键．
【解答】
解：是关于、的方程的解，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【解答】
解：由关于、的方程组和的解相同，
得．
解方程组，得．
把代入方程组，得
解得．
故选A
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】
解：是有理数，故此选项不符合题意；
B.是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C.是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D.是无理数，故此选项符合题意；
故选D．
8.【答案】
【解析】与是邻补角，和是邻补角，故A不符合题意；与是同旁内角，故C不符合题意；与是内错角，故D符合题意．故选D．
9.【答案】
【解析】【解析】
解：设个塑料凳子的高度为，每叠放个塑料凳子高度增加，
依题意得：，
解得：，
所以，
即个塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为，
故选：．
设个塑料凳子的高度为，每叠放个塑料凳子高度增加，根据个塑料凳子叠放在一起的高度为，个塑料凳子叠放在一起的高度为，列出二元一次方程组，解之求出、的值，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由，
解不等式得：；
解不等式得：；
无解，
，
故选：．
先求出两个不等式的解集，再根据题意即可求出的取值范围．
此题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，解题的关键是得出关于的不等式．
11.【答案】如果两直线平行，那么同旁内角互补
【解析】【分析】
命题都能写成“如果，那么”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
此题主要考查了命题与定理，正确掌握命题的定义是解题关键．
【解答】
解：“两直线平行，同旁内角互补”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同旁内角互补”，
写成“如果，那么”的形式为：“如果两直线平行，那么同旁内角互补”．
故答案为：如果两直线平行，那么同旁内角互补．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
方程中只含有个未知数；
含未知数的项的最高次数为一次；
方程是整式方程．
根据二元一次方程的定义，则，的次数都是一次，由此可以得到关于的方程，解方程就可以求出的值．
【解答】
解：方程是关于、的二元一次方程，
，
解得．
故答案是：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之可得答案．
【解答】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组有个整数解，
不等式组的整数解为、，
则，
解得，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离，熟记性质是解题的关键，根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．
【解答】
解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，，垂足为，，
点到直线的距离是，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平方根，一元一次方程的解法，掌握平方根的定义是关键，根据一个正数的平方根分别是和，得到，即可得到答案．
【解答】
解：一个正数的平方根分别是和，
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：，
的平方根是，则．
故答案为：
根据平方根的定义解答即可．
此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
17.【答案】；；．
【解析】【分析】
本题考查考查算数平方根，立方根．
根据算术平方根，立方根定义解答即可．
【解答】
解：，
，
，
；
，
，
．
18.【答案】
【解析】解：点在轴上，
点的横坐标是，
，解得，
，点的纵坐标为，
点的坐标是．
故答案为：．
在轴上，那么横坐标为，就能求得的值，求得的值后即可求得点的坐标．
本题考查了坐标轴上的点的坐标的特征，解决本题的关键是记住轴上点的特点为横坐标为．
19.【答案】，
【解析】【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式是解答本题的关键．求出不等式的解集，找出解集中的正整数解即可．
【详解】解：不等式．
移项合并同类项，得．
解得．
则不等式的正整数解为：，．
故答案为：，．
20.【答案】解：，
得：，
，
把代入得：，
，
原方程组的解是；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是．
把解集表示在数轴上如下：

【解析】本题考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式组的解集．
用加减消元法即可解出方程组；
先解出每个不等式，找出解集的公共部分即可得到不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可．
21.【答案】解：原式
；
解：，
，得，
解得，
将代入，得，
解得．
方程组的解为；
解：，
由得，，
由得，，
此不等式组的解集为：．
故最小整数解是．
【解析】先根据算术平方根、立方根的意义，绝对值的意义化简，再计算加法即可；
利用加减法解方程组即可；
先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分，然后求出最小整数即可．
本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了实数的运算以及解二元一次方程组．
22.【答案】解：方案二；
设购买数量为本，
当购买数量超过本时，
则方案一费用为：；
方案二费用为：，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
当时，按方案二购买更优惠；当时，方案一和方案二花费一样多；
当时，按方案一更优惠．
【解析】【分析】
根据方案一和方案二直接可以得出结论；
当购买数量超过本时，先写出方案一和方案二实际费用，再比较两种费用的大小即可．
本题考查一元一次不等式的应用，正确表示每种方案的费用是解题的关键．
【解答】
解：当购买数量不超过本时，方案一不优惠，方案二按八折优惠，
张老师应选择方案二方案，
故答案为：方案二；
见答案．
23.【答案】解： ； ；；
如图所示：
三角形的面积．
【解析】【分析】
点的坐标是；点的坐标是；
所以平移规律为：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
点的坐标是；
故答案为：；；；
根据三角形的面积公式解答即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是根据平面直角坐标系得出平移的规律解答．
24.【答案】证明：平分，，
，
，
，
．
【解析】根据角平分线的定义和已知条件可得，再根据同位角相等，两直线平行即可求解．
本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
25.【答案】
【解析】解：设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：；．
设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，
根据题意得：，
解得：．
为整数，
．
答：型电动汽车最多购进辆．
设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，根据总价型电动汽车成本价购进数量型电动汽车成本价购进数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，根据总利润销售每辆型电动汽车的利润购进数量销售每辆型电动汽车的利润购进数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最大整数即可．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：据总价型电动汽车成本价购进数量型电动汽车成本价购进数量，列出关于的一元一次方程；根据总利润销售每辆型电动汽车的利润购进数量销售每辆型电动汽车的利润购进数量，列出关于的一元一次不等式．
26.【答案】解：；；．
补全频数分布直方图如图所示．
人．
估计该年级获得“阅读达人”称号的学生约人．
【解析】解：由题意得，，，
参与问卷调查的学生共有人．
故答案为：；；．
见答案；
见答案．
本题考查频数率分布直方图、频数率分布表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
由题意可直接得出，的值，进而可得参与问卷调查的学生人数．
根据所得的值补全频数分布直方图即可．
根据用样本估计总体，用乘样本中七年级平均每天阅读时长在分钟及以上的人数所占的百分比，即可得出答案．
27.【答案】【小题】解：的对顶角是，邻补角是和．
【小题】解：因为，，
所以．
因为平分，所以 ．
因为，所以．
因为，
所以．

【解析】 本题考查对顶角与邻补角的定义，掌握对顶角与邻补角的定义是解题的关键．
本题考查垂线，邻补角，角平分线，利用垂线，邻补角及角的平分线的定义进行角度计算即可．
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