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山东省济南市稼轩学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从对称性角度看，下列图形与其它三个图形不同的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
3．如图，平行四边形中，，平分交边于点E，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD
5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
7．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
8．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　）
A． B．3 C． D．
10．如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为10；③当P在运动过程中，的最小值；④当时，．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ．
12．在中，，点是的中点，是的中点，点在上，且．当时，则的长为 ．
13．设、是方程的两个实数根，则 ．
14．将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)．
(2)．
17．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．
18．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根；
(2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
19．[材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段的中点坐标为．
[运用]
(1)已知点和点，则线段的中点坐标是________；已知点，线段的中点坐标是，则点的坐标是________．
(2)已知平面上四点，，，．直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为________．
(3)在平面直角坐标系中，有，，三点，另有一点，可使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
20．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
21．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求的最小值．
解：．
∵不论取何值，总是非负数，即，
∴，即当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)直接写出多项式的最小值为___________；
(2)若，比较、的大小（写出比较过程）；
(3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值．
22．如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)当t为何值时，为？
(3)当___，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形？
23．如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，．
(1)若，求的长；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)若四边形是矩形，请直接写出与之间满足的数量关系．
24．四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
【探究发现】
（1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________；
【类比探究】
（2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明；
【拓展延伸】
（3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9．
①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长，
②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值．
《山东省济南市稼轩学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷》参考答案
1．A
解：平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，
故与其它三个图形不同的是平行四边形．
故选：A．
2．C
解：A、，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
C、，，不可以判定四边形是平行四边形，故符合要求；
D、∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
故选：C．
3．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
4．A
解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF=AC，EF∥AC，GH=AC，GH∥AC，EH∥BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，
故选：A．
5．B
解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得且，
故选：B
6．B
解：∵AE平分，
∴，
∴，
∵矩形ABCD中， ，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴是等边三角形，
∴，，
∴OB=BE，
∵，
∴，
∴，
故选B．
7．D
解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故选：D．
8．C
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故选C．
9．D
解：∵四边形是菱形
∴，
OA＝4，S菱形ABCD＝24，
即
中，
连接
PE⊥AB，PF⊥AD，
S菱形ABCD＝24，
故选D
10．C
解：①如图，
四边形是矩形，
，
，
，
，
由翻折得：，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
故此项正确；
②如图，过作交于，
，，
，，
由翻折得：，
，
，
，
，
故此项不正确；
③如图，连接，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
此时，
，
，
，
由翻折得，
，
的最小值，
故此项正确；
④如图，
由②得，
，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故此项正确；
故选：C．
11．81
解：正五边形中，，，
正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：81．
12．
解：∵，点是的中点，
∴，
∵
∴，
∴
∵点是的中点，是的中点
∴，
故答案为：．
13．
解：∵、是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．3
解：如图，标注图形，连接，，
∵由正方形性质可得：，，，
，
∴，
∴，
∴，
同理，右边空白四边形的面积也是，
∴图中阴影部分的面积是：．
故答案为：3．
15．
解：如图，连接CM、CN，
中，，，，
∴．
∵，点M，N分别是DE，AB的中点，
∴，．
当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为
故答案为：
16．(1)，；
(2) ．
（1）解：
分解因式得，，
∴ 或，
∴ ，；
（2）解：
∴ ．
17．见解析
解：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点，
∴，．
∵，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)5
（1）证明：，
，即，
无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当时，，则，
方程化为，解得，
的周长；
当或时，
把代入方程得，解得，
方程化为，解得，，
此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
的周长为5．
19．(1)，
(2)
(3)点的坐标为或或
（1）解：点和点
线段的中点横坐标为，纵坐标为
即线段的中点坐标为；
设点坐标为
，线段的中点坐标是
，，解得，
即
故答案为：，；
（2）解：，，，
四边形是矩形
又直线将四边形分成面积相等的两部分
直线经过矩形对角线的交点
的中点坐标为
将代入，得
解得
故答案为：；
（3）解：设点的坐标为
，，
①若以为对角线，、为邻边构成平行四边形，则、的中点重合
，解得
②若以为对角线，、为邻边构成平行四边形，则、的中点重合
，解得
③若以为对角线，、为邻边构成平行四边形，则、的中点重合
，解得
综上，点的坐标为或或．
20．（1）20%；（2）能
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为（公斤），
∵，
∴他们的目标可以实现．
21．(1)
(2)
(3)
（1）解：
，
∵，
∴
∴当时，，即有最小值；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
故．
（3）解：∵在四边形中，．，
∴四边形面积为：
，
∵，
∴，
则当时，四边形面积的最大值为．
22．(1)
(2)或
(3)或或或
（1）解：由题意知，，，，
∵在矩形中，，
∴，，
，．
当时，，，
，
．
（2）解：如图1所示，当，即，即时，
过点作于点，则四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或(舍去)．

如图2，当，即，即时，
过点作于点，则四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或(舍去)．

综上所述：当为或时，为．
（3）解：在中，由勾股定理得，
∴，．
点，，为顶点的三角形是等腰三角形，，
①当时，即：，
，
(舍去)或．
②当时，即：，
，
(舍去)或．
③当时，即，，
或．
综上所述：当的值为或或或时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
23．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∵FP＝AF，OF＝2，
∴OF是△ACP的中位线，
∴CP＝2OF＝4，
∴CP的长为4；
（2）证明：∵OF是△ACP的中位线，
∴OFCP，
∴∠FDE＝∠PCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF和△CEP中，
∵ ，
∴△DEF≌△CEP（ASA），
∴EF＝EP，
又∵DE＝CE，
∴四边形CFDP是平行四边形；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADE＝90°，
∴，
若四边形CFDP是矩形，则
EF＝DE＝PE＝CE＝CD，FP＝CD，
∵AF＝FP，
∴AE＝AF＋EF＝CD，
∴，
∴，
∴AD＝CD或AD＝ CD（舍去），
∴AD＝AB．
24．（1）；（2）；（3）①2；②
（1）如图，
由题可知垂直平分，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）；
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵翻折，
∴，
∴，
过点G作，垂足为点N，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
（3）①设，
∵正方形的边长为9，，
∴，，，
过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接，．
∵四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点D，
∴D，P关于直线对称，，
∴垂直平分，
∴，
∵由（2）得，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴根据勾股定理，，
在中，，
∴根据勾股定理，，
又∵，
∴，
解得，
答：的长为2．
②如图，过A作交于点K，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
过K作于点K，且，
∴，
∴，
∴，
∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，
过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形，
∴，，
∵F是中点，
∴，
∴，
由（2）中方法可证，
∴，
∴，
在中，，
即的最小值为．

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