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山东省济南市稼轩学校2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．第届夏季奥林匹克运动会将于年月日在巴黎开幕，此次奥运会体育项目图标充满了图形变换的元素．下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（ ）
A． B． C． D．
3．相传墨家巨子墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风等起源．在如图所示的风筝骨架中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各数中，属于勾股数的是（ ）
A． B．1， 2， 3 C． D．5， 12， 13
7．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知在中，，，点为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（ ）
A．3 B．3或5 C．3或 D．5
10．已知，如图（1），长方形中，E是边上一点，且，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（ ）
①；②；③当时，为等腰三角形；④当时，
A．①②③ B．①③ C．③④ D．①④
二、填空题
11．4的算术平方根为
12．若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
13．如图， 的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于 ．

14．王师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据：
行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，请直接写出，两地之间的距离是 ．
15．如图，在矩形中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线分别与、交于点、，则 ．
16．如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．

三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．如图所示，于点F，于点M，．
求证：．
证明：∵，（已知）
∴（__________________），
∴（__________________），
∴（___________________），
∵，（已知）
∴（___________________），
∴（________________________）
∵，（已知）
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（_____________________）．
19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小；
(3)求的面积．
20．为了调查学生对海南自贸港建设知识的了解程度，普及海南自贸港建设的相关知识．某校随机抽取若干名学生进行了测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图表：
问卷测试成绩统计表
组别 分数/分
A
B
C
D
(1)本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中n的值为 ；
(3)样本的D组50名学生中有20名男生和30名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生代表学校参加市里的演讲比赛，则恰好抽到女生的概率是 ；
(4)若该校共有1000名学生参加测试，则估计问卷测试成绩在之间的学生有 人．
21．某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离．
乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离．
丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离．
(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．
乙：　　　；丙：　　　．
(2)请你选择其中一种方案进行说明理由．
22．一条笔直的公路上有两地，相距米，甲从地匀速步行到地，乙从地匀速骑车到地后，休息分钟，再沿原路原速返回地．设他们同时出发，运动的时间为（分），与地的距离为（米），如图所示，图中线段，折线分别表示两人与地距离和运动时间之间的关系，结合图象解答下列问题：
(1)甲步行的速度为 米分钟；乙骑车的速度为 米分钟；
(2)甲步行到地比乙骑车返回地晚到 分钟；
(3)求甲与乙途中（不包括地与地）相遇时的值．
23．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_________，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（_____）
A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．转化
利用上述公式解决问题：
【直接应用】（2）若，则______；
【类比应用】（3）若，求的值；
【知识迁移】
（4）手工课上，小麒将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，如图1．然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案，如图2．此时，四边形是正方形，连接，通过探索，小麒发现四边形也是正方形，如图3．设．若图3中空白部分面积为168，，求的长．
24．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2)类比探究
如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米．
《山东省济南市稼轩学校2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D B D C D C B
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定a和n的值是解题的关键．
根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查平行线的性质、对顶角性质，先根据对顶角相等得到，再根据平行线的性质得到即可求解．
【详解】解：如图，，
∵，
∴，
故选：A．
4．D
【分析】此题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂乘除法计算法则，熟练掌握计算法则是解题的关键，根据计算法则计算判断即可
【详解】解：A.，原计算错误，故不符合题意；
B.，原计算错误，故不符合题意；
C.与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
D.，计算正确，故符合题意；
故选：D
5．B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、，可以进行分母有理化，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
B、，被开方数，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项符合题意；
C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
D、，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足， 则是直角三角形，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、不是正整数，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、不是正整数，故选项不符合题意；
D、，是勾股数，故选项符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度．
【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度，
以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P，
所以数轴上的点P表示的数为：．
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C．如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D．如图:
同理可得：，而，
但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题．
用的长度减去的长度，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴；
当时
∵，是的中点，
∴，解得，
∵，
∴，即，解得；
当时
，解得，
∵，
∴，即，解得，
故选：．
10．B
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度．
先通过，计算出的长度，即可求得长度，根据长计算的值，的值等于整个运动路程除以速度，当时，找到点位置计算面积即可判断的值．
【详解】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为，
．
，
．
∴，
当点从点到点时，所用时间为：，
，故①正确；
点运动完整个过程需要时间为：，即，故②错误；
当时，，
又四边形是长方形，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形，故③正确；
当时，点运动的路程为：，此时，
面积为：，故④错误．
故选：B．
11．2
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴4的算术平方根为，
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查了解二元一次方程组、非负数的和为0的条件、负指数幂，解题的关键是理解几个非负数的和为0的条件是各自为0，根据题意可得，求解后，再代入求解即可．
【详解】解：，
解之得：
．
故答案为：．
13．/度
【分析】如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，可得，，由此即可求证．
【详解】解：如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，

在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查网格中三角形角的关系，掌握等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
14．350
【分析】本题主要考查用表格表示变量之间的关系，由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，再求出减少的油量，即可得出结果．
【详解】解：
，
故答案为：350．
15．
【分析】根据题意可知，MN为线段BD的中垂线，连接DE，则DE=BE，设AE=x，则BE=DE=8-x，在Rt△ADE中运用勾股定理求解出x，从而求解即可．
【详解】由题，MN为线段BD的中垂线，
∴连接DE，则DE=BE，
设AE=x，则BE=DE=8-x，
在Rt△ADE中，，
即：，
解得：，即：AE=3，
∴BE=8-3=5，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，理解并熟练运用垂直平分线的性质是解题关键．
16．
【分析】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
先求出的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题．
【详解】解：，
，
，

由翻折可知，，，
，，
，
，
，
，
设点到的距离为，则有，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，熟记运算法则是关键．
（1）根据二次根式的性质化简再合并即可；
（2）根据完全平方公式和二次根式的乘法化简，再进行合并计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法和性质化简，然后合并即可；
（4）根据二次根式的分母有理化和平方差公式计算，再进行合并即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
18．垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，平行公理，先结合垂直的定义得，再运用同位角相等，两直线平行得，故，根据，则，证明，结合，即可作答．
【详解】证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）
∵，（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，利用网格求三角形面积．
（1）根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）连接交直线l一点P，即可使得的周长最小；
（3）根据网格利用割补法即可求的面积．
【详解】（1）解：如图即为所求，
（2）如图，点P即为所求；
（3）．
20．(1)抽样调查
(2)200；35
(3)
(4)350
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用样本估计总体，简单的调查方式，扇形统计图与条形统计图信息相关联：
（1）根据题意可得本次调查采用的调查方式为抽样调查；
（2）用A组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出C组的人数，再用C组的人数除以参与调查的人数即可求出n的值；
（3）用女生人数除以D组的总人数即可得到答案；
（4）用1000乘以样本中成绩在之间的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：∵某校随机抽取若干名学生进行了测试，
∴本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：人，
∴在这次调查中，抽取的学生一共有200人，
∴，
∴，
故答案为：200；35；
（3）解：，
∴从这50名学生中随机抽取1名学生代表学校参加市里的演讲比赛，则恰好抽到女生的概率是，
故答案为：；
（4）解：人，
∴估计估计问卷测试成绩在之间的学生有350人，
故答案为：350．
21．(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．
（1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可；
（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可．
【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离；
丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．
故答案为：，；
（2）解：答案不唯一．
选甲：在和中，
，
∴，
；
选乙：，，
，
在和中，
，
∴，
；
选丙：
在和中，
，
∴，
．
22．(1)；；
(2)；
(3)分或分．
【分析】（）根据“速度路程时间”，即可得出答案；
（）根据图象即可作答；
（）分别求出，，解析式，然后列出方程即可得出答案；
本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）甲步行速度为：（米分），
乙骑车的速度为：（米分），
故答案为：，；
（2）（分），
故答案为：；
（3）设解析式为：，过点，
则，解得：，
∴解析式为，
设解析式为，
由题意可知点，，
∴，解得，
∴解析式为，
同理可得解析式为，
第一次相遇时：，解得；
第二次相遇时：，解得；
∴甲与乙途中（不包括地与地）相遇时的值为或．
23．（1），A；（2）28；（3）；（4）
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握长方形、正方形和三角形的面积公式是解题的关键．
（1）大正方形的面积可用“边长的平方”和“各部分面积之和”两种不同的方法来表示，通过数形结合的数学思想验证一个乘法公式；
（2）根据（1）中得到的等式计算即可；
（3）设,,则，，根据（1）中得到的等式计算即可；
（4）根据阴影部分的面积等于四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积即可；由空白部分面积，得到，根据，利用完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：（1）图①中大正方形的面积用“边长的平方”表示为，用“各部分面积之和”表示为，利用数形结合的数学思想验证了公式．
故答案为：， A ；
（2）∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：28．
（3）设，，
则，，，
∴，
即，
，
∴．
（4） 空白部分面积为168，
∴，
即，
∵，
∴
∴．
24．(1)；；
(2)，理由见解析；
(3)米．
【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得；
（）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证；
（）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可；
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形,
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
设与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2），理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形，
同（）同理可证：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴（米），
∴米，
故答案为：．

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