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《数学思考》教案
学情分析
学生从二年级开始，尽管已经接触了比较多的数学广角系列安排的内容知识，但前后的知识联系看起来并不紧密，不过数学的思想方法的熏陶却是一贯的：都强调数形结合，都强调合作探讨与交流，也都强调策略与方法的优化等，尤其是注重数学化思想的渗透。通过本节课的学习使学生进一步掌握观察、枚举、比较、归纳等逻辑推理常用的方法，同时渗透化难为易、数形结合的数学思想方法，并能灵活地运用这些方法解决一些实际问题，体会逻辑推理、化难为易、数形结合是学习数学和解决问题的一种重要方式。
教学目标
1．通过引导学生观察、探究、记录、归纳，得到解决“几个点能连成多少条线段”这类问题的方法。
2．渗透“化难为易”的数学思想方法，培养学生探索推理、总结规律的能力，并能运用规律解决较复杂的数学问题。
3．经历观察、操作、推理、验证、交流等数学活动，让学生进一步感受数学思想方法的奇妙和作用。
教学重难点
重点：学生通过画图，由简到繁，发现规律，总结规律，找到解决问题的方法。
难点：灵活运用一定规律解决较复杂的数学问题。
教学过程
一、开门见山，游戏激趣
师：同学们，今天我们来上一堂有意思的数学课。（板书课题）
师：当遇到复杂的数学问题时，你是怎么做的？（采访几名学生）
师：你们的方法真多。我国著名的数学家华罗庚先生曾经这样说过（ppt出示）：善于“退”，足够的“退”，“退”到最原始而又不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍。
师：华爷爷这是在教导我们什么呢？他是在说：当我们遇到复杂的数学问题时，在不改变问题基本性质的前提下，可以把问题回归到最原始、最简单的状态，其实就是把复杂的问题简单化。这是数学学习中一种重要的“化难为易”思想。（板书：化难为易）
师：今天，我们就运用这一策略，从数学的角度，用数学的方法来玩一个“点子连线”的游戏。【板书课题：数学思考（一）】
师：玩之前得知道什么？（规则）下面我们来看一段视频动画了解游戏规则和玩法。【播放规则动画】
（暂停）师：如果让你来玩，你会怎么连呢？（生答）
师：壮壮和思思是怎么连的？你们从中能获得哪些启发？带着这些问题，我们接着往下看。
【设计意图】：在视频播放到“20个点一共可以连成（ ）条线段”画面时，点暂停，引导学生先独立思考，如果自己来连，会怎么连呢？并说说自己的想法。之后继续看视频，有助于对自己先前的想法做出判断，并适时优化。
游戏规则：
1.卡片上有20个点，每两个点连成一条线段。
2.请你带着任务连线，边连边思考，边填写表格（见下表）。
3.两人一组合作比赛，哪个组最先得出准确结果，这个组就获胜。
（看完动画，ppt出示游戏规则）师：对规则有疑问吗？（生示意无）从刚才的视频中你获得了哪些启发？如果现在要你玩，你具体会怎么连？（指名几位学生回答）
二、探究交流，发现规律
（一）从易到难，发现规律
师：规则和玩法了解得差不多了，下面请拿出点子图开始吧，限时6分钟，每组第一个完成的请举手示意，老师将选出前三名做为本次比赛的冠亚季军。（打开计时器计时，并提示：赢家有奖）
（请冠军组上台分享：一个连、一个汇报、老师根据生的汇报适时板书）师：冠军组，你们是怎么做到这么快出结果的？跟大家分享一下吧。坐在下面的同学请认真听，他们组在连的过程中发现了什么 ？和你发现的一样吗？
（生分享完）师：太精彩了，此处应该有掌声。和他们结果一样的请举手示意？
预设一：
（生汇报出全部规律）师：冠军组把李老师接下来要讲的规律全部分享给大家了，你们都听出有哪些规律了吗？（指名生答，师适时表扬）
师：下面我们再来总结一遍。【生齐说后，ppt出示 ：新增条数=点子数-1；总条数=1+2+3+……+（点子数-1）】
师：为什么会存在这样的规律呢？
预设二：
（生只发现了新增条数比点子数少1）师：我在冠军组的分享中听到了一组关系：新增条数比点子数少1，你们听到了吗？为什么存在这样的关系呢？还有别的关系存在吗？
师：李老师这里有一个法宝可以帮助你们直观形象地找到（规律及其）原因，我们一起来看。
（打开动态点子连线图）师：现在是两个点连成一条线段，下面李老师加一个点，连线，你发现了什么？（指名生答，多加几个点，多连几次，让学生明晰不同颜色的线段就是每次的新增线段）
【设计意图】：引导学生总结出——点子数与新增线段数的关系；点子数与线段总数的关系，师适时板书。并运用制作的动态点子连线图（新增线段变成不同的颜色以示强调），又一次数形结合地把不同颜色的线段表示成数，那么线段总数就是这些数相加的和。让学生直观地感知这两个关系，以加深印象和理解。
（二）从数到形，了解规律
师：根据刚才的规律，你能表示出n个点子时的新增条数、总条数吗？（指名生答）
生：新增线段数是n-1，那就总共会有“1+2+3+4+……+（n-1）”的和那么多的线段。（师板书）
师：这么复杂的式子，该怎么计算呢？谁有想法。（生有就请他说，没有就引导）
预设1：这就是高斯求和，可以利用“（首项 尾项） 项数 2”来算。
师：你的知识面真广，下面我们就来听听“高斯求和”的故事吧。
师：少年高斯利用“对称思想”算出了和。还有别的想法吗？
预设2:把式子倒过来写再相加，那么就有n个（n-1），即n （n-1），一个式子的和就是n(n-1) 2。（师适时表扬）
师：其实我们还可以借助“图形”的直观性来求和，下面我们来看一个微视频。
总结并板书：n（n-1） 2
师：两种方法都算出来是这个结果。190这个结果是否正确呢？我们用它来验算一下吧。（生算确实是190）
师：回顾前面的探究过程，我们通过简单的3个点、4个点、5个点……观察分析找出内在的规律，再运用这个规律解决了复杂的问题。这其实就是我们最前面所讲的“化难为易”。接下来，我们趁热打铁，继续思考。
【设计意图】：带领学生回顾整个探究过程，其实就是一个从易到难，发现规律，解决问题的过程，让学生亲历从易到难的实际，感知这种思想的实用价值，也恰好印证了华罗庚名言，做到了首尾呼应。
三、练习巩固，学以致用
1.观察下图，想一想。 书本第100页《做一做》（指名生答，并说明理由）
2.脑洞大开
计算：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…=？（生先小组讨论两分钟，再请生汇报，后播放视频讲解）
【信息技术及意图】借助希沃白板5中的课堂视频，数形结合，让学生能直观形象地理解算法，深化了对应用“化难为易”思想解决复杂数学问题的认识。
四、归纳小结，深化认知
这堂课你有什么收获？
师：学了这堂课，以后遇到复杂的数学问题，你会怎么解决？（指名生答）
五、回顾旧知，提升思想
师：今天这堂课是六年级下册总复习的内容，现在请你们仔细回顾，我们以前学过的哪些数学问题也应用了“化难为易”思想？（指名生答，师评价）
师：李老师找到了这些问题，我们一起来看。（ppt依次出示：植树问题、鸡兔同笼、找次品主题图）
师：还有哪些数学问题中用到了这种思想呢？你们可以课后再一起探讨、研究。今天的课就上到这里，下课！
【设计意图：既然是六年级下册的一堂总复习课，那么我们应当引导学生纵观整个小学阶段所学的知识，哪些数学问题中用到了“化难为易”思想？一方面帮助学生提升对思想本身的认识，另一方面让学生感知“化难为易”思想在解决复杂问题时的实用价值。】
布置作业
独立完成《数学思考（一）》课堂效果评估单
板书设计(共17张PPT)
人教版数学六年级下册
数学思考（一）
善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
——华罗庚
点子连线
20个点连成的线段总条数：（ ）
STAR
规则动画：
游戏规则：
1.点子图中有20个点，每两个点连成一条线段。
2.请你带着任务连线，边连边思考，边填写表格。
3.两人一组合作比赛，哪个组最先得出准确结果，这个组就获胜。
STAR
点子连线
20个点连成的线段总条数：（ ）
加一个点
连线
点数：
新增条数：
总条数：
1
0
0
2
-
1
3
2
3
4
3
6
5
4
10
6
5
15
7
6
21
8
7
28
STAR
点子数
新增条数
总条数
新增条数=点子数－1
总条数=1+2+3+4+5+……+（点子数-1）
总结规律：
STAR
从数到形，了解规律：
1+2+3+4+5+……+（n-1）=
（n-1）+(n-2)+(n-3)+……+1
n
n
n
……
n
n（n-1）
n（n-1）÷2
G
S
STAR
高斯算法
德国有一位世界著名的数学家叫高斯，他上学时，老师出了一道数学题：1+2+3+……+100=？，小高斯看了看题目，想了一下，很快说出结果是5050。
同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题目的特点，发现了这样的有趣现象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，……，50+51=101，一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，也就是共有50个101，所以1+2+3+……+100=101×50=5050。
在数学上，人们把1 100这些数中的每个数都叫做项，并把这样的一串数称作等差数列。由此归纳出一个公式：
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
这就是“高斯求和”的公式。有了它，好多复杂的数学问题解答起来就方便多了。
知识拓展：
知识拓展：
STAR
从数到形，了解规律：
1+2+3+4+5+……+（n-1）=
（n-1）+(n-2)+(n-3)+……+1
n
n
n
……
n
n（n-1）
n（n-1）÷2
G
S
STAR
1+2+3+4+5+……+（n-1）=
知识拓展：
1.观察下图，想一想。
（1）第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
第7幅图有7×7=49个棋子，第15幅图有15×15=225个棋子。
（2）第n幅图有多少个棋子？
第n幅图有n × n个棋子。
第n幅图有n × n= 个棋子。
巩固练习：
1×1
2×2
3×3
4×4
正方形数
计算：
无限接近1
2.脑洞大开
？
1
STAR
归纳总结，提升思想
这节课你有什么收获？
STAR
回顾旧知，建立联系
STAR
再见！

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