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2025届高三全真模拟考试
数学科试卷
本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合( )
A. B. C. D.
2. 若复数( )象限。
A.一 B. 二 C. 三 D.四
3. 已知向量( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）.
A. B. 0 C. D.
6. 已知满足（ ）
A． B． C． D．4
7．已知抛物线，其准线为，焦点为，过的直线与和从左到右依次相交于，，三点，且，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8.已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．下列说法正确的是（ ）
A．残差越小，模型的拟合效果越好
B．若随机变量，则
C．数据，，，，，，的第80百分位数是21
D．一组数，，…，（）的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称
C．若是偶函数，则
D．若在区间上恰有3个零点，则
11. 已知函数 是奇函数, 且 , 是 的导函数,则 ( )
A. B. 的周期是 4
C. 是偶函数 D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12.棱长均相等的正三棱柱中，若三棱锥的体积为，
则该正三棱柱的棱长为 .
13. 如图，单位圆被点分为12等份，其中，角的始边与轴 的 非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点 。(从中选择，写出所有满足要求的点)
14.设椭圆的焦点为,P是椭圆上的一点，且的外接圆和内切圆的半径分别为时，椭圆的离心率为
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分=6+7)在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为其外接圆的半径为，且满足
（1）求角B.
(2)若AC边上的中线长为，求 ABC的面积和周长。
16.(15分=6+9)已知函数
设的极值点，求并讨论的单调性；
当时，证明
17.(15分=3+5+7)如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，M为线段 的动点.
(1)若直线平面，求证：为的中点：
(2)求证：平面平面
(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
(17分=4+13)给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．
若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为.
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．
19.(17分=5+6+6)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence,简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计
(1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？
性别 男生 女生 合计
报名参加答题活动
未报名参加答题活动
合计 100
（2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束。已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为
①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望；
②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分。记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值。
参考公式与数据：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

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