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浙江省杭州市梅城初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．
C． D．与可以合并
2．在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
3．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第二，三，四象限 B．图象与轴交于点
C．图象向下平移6个单位经过原点 D．点在函数图象上
4．如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于点E、F；②分别以E、F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H；③以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M．若，则点A，M之间的距离为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．如图，在等腰中，，AD平分，点E为AC的中点，则DE的长等于（　　）
A．8 B．6 C．4 D．5
6．矩形、菱形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
7．某校九（1）班全体43名学生身高的平均数与中位数都是，但后来发现其中有一位同学的身高登记错误，将登记成，经重新计算后，正确的平均数是，中位数是，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形，，的边长分别为直角三角形的三边长．若正方形，的边长分别为6和11，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．8 C．85 D．157
9．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．小明想画出平行四边形，他的方法如下图：点B是的边上的一点，用无刻度的直尺和圆规作一条射线，接下来的画图小亮和小红分别给出建议．小亮：分别在射线和射线上截取，连接，四边形即为平行四边形；小红：在射线上截取线段，作，交射线于点C，四边形即为平行四边形．下列说法正确的是（ ）
A．小红的方法正确，小亮的方法不正确 B．小红的方法不正确，小亮的方法正确
C．小红、小亮的方法都正确 D．小红、小亮的方法都不正确
11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y=kx+1与y轴的交点，若点A关于直线y=kx+1的对称点恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（　　）
A．-2< t < 2 B．-2 < t < 2 C．-2 < t <-2或212．如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．6.5
二、填空题
13．若一次函数上有两点和，则与的大小关系为 （填“>“、“＜“或“=“）．
14．如图，是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm．
15．已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ；
16．某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价（元/件）、每星期销量（件）之间的函数解析式为；售价（元/件）与单件利润（元）之间的关系如图所示．
（1）与之间的函数解析式为 ；（不必写范围）
（2）若某星期该滑板车单件利润为25元，则本星期该滑板车的销量为 件．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在平行四边形中，
(1)尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）；
(2)过点作直线分别交，于点，，
①求证：；
②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长．
19．某班40名学生进行数学测验（满分20分），随机抽取10人的真实成绩如下：16，18，15，12，20，17，18，14，18，19．
(1)直接写出该样本数据的中位数和众数；
(2)嘉嘉抄录样本数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，则他抄错的原成绩是 分；
(3)已知全班的平均分是16.2分．淇淇说：所抽取的这10名学生成绩与全班相比，平均水平更高．通过计算说明淇淇的说法是否正确．
20．清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
(1)当时，写出这一组勾股数______．
(2)证明“罗士琳法则”的正确性．
21．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M．
(1)求直线的表达式．
(2)求的面积．
(3)若一次函数的图像为，且、、不能围成三角形，直接写出n的值．
22．正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，是对角线上一点．
(1)求证：．
(2)如图2，过点作，，垂足分别为，，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，是的中点，连接，，求的最小值．
(4)如图4，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接，若恰好为的中点，直接写出矩形的面积．
23．学校计划在总费用3500元的限额内，租用客车送294名学生和6名教师去承德魁星楼研学，出于安全考虑，每辆客车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 54 46
租金/（元/辆） 600 480
设共租用了客车辆，其中租用甲种客车辆，租车总费用为元．
(1)求关于的函数解析式．
(2)求出最节省费用的租车方案，并说明理由．
24．如图1所示的云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．云梯底架以木为床，下置六轮，梯身以一定角度固定装置于底盘上，并在主梯之外增设了一具可以活动的副梯，主、副梯长度相等，立柱、底板、主梯构成一个三角形．如图2为其平面示意图，，米，AD可以绕点A旋转，以便调节云梯的高．
(1)若，，求的度数；
(2)当时，计算出点D到的距离．
《浙江省杭州市梅城初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C D C D C A C
题号 11 12
答案 C A
1．D
【难度】0.85
【知识点】实数的大小比较、利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、同类二次根式
【分析】本题主要考查了同类二次根式，实数大小比较以及最简二次根式，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，实数大小比较方法以及绝对值的性质解答即可．
【详解】解：，故选项不符合题意；
，故选项不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
，，即与可以合并，故选项符合题意．
故选：．
2．D
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意．
【详解】解：A．∵，，
∴，
∴能判定为直角三角形；
B．∵，
∴，
∴能判定为直角三角形；
C．∵，
∴，
∴能判定为直角三角形；
D．∵，
∴，
∴不能判定为直角三角形．
故选：D．
3．C
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，由一次函数解析式可得图象经过第一，二，四象限，即可判断A，当时，，解得，故图象与轴交于点，即可判断B；图象向下平移6个单位后解析式为，经过原点，即可判断C；当时，，即可判断D．
【详解】解：A、图象经过第一，二，四象限，故原选项说法错误，不符合题意；
B、当时，，解得，故图象与轴交于点，故原选项说法错误，不符合题意；
C、图象向下平移6个单位后解析式为，经过原点，故原说法正确，符合题意；
D、当时，，故点不在函数图象上，故原选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
4．C
【难度】0.65
【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作线段，菱形的判定和性质，勾股定理，连接，设交于点O，证明四边形是菱形，勾股定理求出的长，进而得到的长即可．
【详解】解：如图，连接，设交于点O，
由题意可知，是的角平分线，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴
∴，
故选：C．
5．D
【难度】0.65
【知识点】三线合一、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查等腰三角形的性质和中位线定理的性质，根据已知条件求出
【详解】解：在等腰三角形中，，AD平分，为的中位线，对应的第三边为即可求解．
D为的中点（等腰三角形三线合一）．
点E为的中点，
为连接两边中点的线段，符合中位线定理．
根据中位线定理，连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于其一半，
此处，D是的中点，E是的中点，
为的中位线，对应的第三边为．
，
故选D．
6．C
【难度】0.85
【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查菱形的性质和矩形的性质．掌握特殊四边形的性质是解题关键．
根据矩形和菱形的性质判断即可对角线互相平分
【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是是对角线互相平分，
故选C．
7．D
【难度】0.85
【知识点】求中位数、求一组数据的平均数
【分析】本题主要考查了求中位数和求平均数，登记错误的数据，实际数据大于登记数据，那么实际平均数大于登记的平均数，即，而登记错误的数据和正确数据都大于中位数，故错误或者正确数据都不影响中位数，则．
【详解】解：∵，原来的平均数和中位数都是，
∴正确的平均数应该大于，登记错误的同学身高并不影响中位数，
∴，，
故选：D．
8．C
【难度】0.85
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】此题主要考查勾股定理，根据已知A、B的边长分别为6和11，利用勾股定理求出字母C所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积．
【详解】解：∵A、B的边长分别为6和11，
∴正方形C的边长，
∴正方形C的面积为85，
故选：C．
9．A
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可．
【详解】四边形是菱形，，
于点
故选：A．
10．C
【难度】0.85
【知识点】尺规作一个角等于已知角、证明四边形是平行四边形
【分析】此题考查了尺规作图，平行四边形的判定，
首先根据题意作出图形，然后利用平行四边形的判定定理求解即可．
【详解】小亮：如图所示，
由作图可得，，
∴四边形是平行四边形，
∴小亮的方法都正确；
小红：如图所示，
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴小红的方法都正确．
综上所述，小红、小亮的方法都正确．
故选：C．
11．C
【难度】0.4
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、一次函数与几何综合
【分析】根据条件，可以求得点关于直线的对称点的坐标，再根据在图形中的位置，得到关于的方程组．
【详解】解：点在直线上，
，得到，于是直线的表达式是．
于是过点与直线垂直的直线解析式为．
联立方程组，解得，则交点．
根据中点坐标公式可以得到点，
点在长方形的内部
，解得或者．
本题答案：或者．
故选：Ｃ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，解题的关键是明白该题涉及直线垂直时“”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．
12．A
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、点与圆上一点的最值问题
【分析】本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定．由可知点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值，过点C作，垂足为H，先求得、的长，则可得到的长，然后再求得的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明为等腰三角形，则可得到的长．
【详解】解：∵菱形中，，，
∴，
∴点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值，
如图所示：过点C作，垂足为H，
在中，，，
则，．
∵，
∴，
在中，依据勾股定理可知：，
∴由翻折的性质可知：．
∵，
∴．
∴．
∴．
故选：A．
13．＜
【难度】0.94
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合，即可．
【详解】∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点和在一次函数的图象上，且，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握图象性质是解题关键．
14．
【难度】0.94
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质，过点作于， 过点作交的延长线于，则可得到是矩形，然后证明，即可得到，确定是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【详解】解：过点作于， 过点作交的延长线于，
∵， ，
∴四边形是矩形，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
另一端离地面的高度为，
故答案为：．
15．
【难度】0.85
【知识点】求自变量的取值范围、三角形三边关系的应用、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系；
根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三角形的三边关系可得出x的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
解得：，
故答案为：；．
16． / 1300
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出与之间的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先由与之间的函数解析式求出当时的售价，再由售价（元/件）、每星期销量（件）之间的函数解析式即可求解该滑板车的销量．
【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为，
代入得，
，
解得：，
∴与之间的函数解析式为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴（件），
故答案为：1300．
17．(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘法、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了二次根式的乘法及混合运算，解题关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）利用二次根式的乘法法则及完全平方公式进行计算即可得到答案；
（2）利用二次根式的混合运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)①见解析；②48
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了三角形的外心的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）连接交于点，利用平行四边形的性质知点为对角线的中点；
（2）①利用即可证明；
②利用外心的性质求得，推出，再利用三角形和平行四边形的周长公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，点即为所求点；
；
（2）①证明：如图，
四边形是平行四边形，为的中点，
∴，，
，
在与中，
，
；
②解：如图，
的外心在上，
，
，
，
的周长为24，
，
，
，
平行四边形的周长为．
19．(1)中位数为，众数为18；
(2)18
(3)淇淇的说法正确．理由见解析
【难度】0.65
【知识点】 利用众数求未知数据的值、求众数、求中位数、求一组数据的平均数
【分析】本题考查了数据分析中众数、中位数、平均数的知识；求解关键是准确掌握中位数、众数、平均数定义，从而计算得到答案．
（1）根据众数和中位数的定义，即可求解；
（2）根据众数的定义求解即可；
（3）根据平均数的定义计算，即可计算得到答案．
【详解】（1）解：样本数据重新排列为：12，14，15，16，17，18，18，18，19，20．
中位数为，
18出现了三次，出现次数最多，则众数为18；
（2）解：嘉嘉抄录样本数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，则他抄错的原成绩是18分；
故答案为：18；
（3）解：淇淇的说法正确．理由如下：
样本数据的平均数为，
，
∴淇淇的说法正确．
20．(1)14，48，50；
(2)见解析．
【难度】0.65
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．
（1）根据题意直接求解即可；
（2）根据勾股定理计算证明即可．
【详解】（1）解：当时，
根据题意得：，
∴这一组勾股数为14，48，50；
故答案为：14，48，50．
（2）证明：∵
．
，
∴当k大于2时，，
∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数．
21．(1)
(2)3
(3)，2或
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合
【分析】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围．
（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可；
（3）根据的解析式得其恒过点，结合图象移动变化可知当与，平行或经过点时符合题意，最后得出结论．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，
将，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：将代入，得：，
∴，
∴，
∴的面积；
（3）解：的解析式为，当时，，
恒过点．
、、不能围成三角形，的解析式为， 的解析式为，
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当经过点时，、、不能围成三角形，，解得，
当，2或时，、、不能围成三角形．
22．(1)见解析
(2)，见解析
(3)
(4)10
【难度】0.65
【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系；
（2）连接，根据矩形的性质，证明，再利用（1）的结论，进而得证；
（3）连接，与交于点，连接，．由可知，当点与点重合时，，此时取得最小值，最小值是线段的长，据此求解即可．
（4）过点作于点，于点，先证明四边形是矩形，再证明得，从而四边形为正方形，由勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，．
在与中，
，
．
（2）解：．
证明：如图，连接．
，，四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
．
由（1）可知，
．
（3）解：如图，连接，与交于点，连接，．
，当点与点重合时，，此时取得最小值，最小值是线段的长．
四边形是正方形，是的中点，，
，，，
，
的最小值是．
（4）如图，过点作于点，于点，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
四边形为正方形．
连接，
∵恰好为的中点，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．
23．(1)
(2)租甲种客车3辆，乙种客车3辆时，最节省费用，最小费用为3240元
【难度】0.65
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】此题主要考查了一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用辆甲种客车与总租金费用的函数关系是解决问题的关键．
（1）根据题意可列出与的等式关系，再化简整理得出的表达式；
（2）根据共有师生300人，费用不超过3500元，列不等式组求解；然后根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：由题意可知，租用5辆车不能将学生和老师运送完，因为每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆，即6，
设租甲种客车(辆)、学校租车所需的总费用(元)，依题意，得，
整理，得．
所以与的函数关系式为：；
（2）解：由题意得，，
解得，
∵为整数，，
∴y随的增大而增大，
∴当时，y最小，最小值(元)；
∴租甲种客车3辆，乙种客车3辆时，最节省费用，最小费用为3240元．
24．(1)
(2)点D到的距离为5米
【难度】0.65
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等边对等角，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理即可得到答案；
（2）过点D作于F，可证明，则米．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵主、副梯长度相等，
∴，
∴．
∴
（2）解：过点D作于F，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴米
即点D到的距离为5米．

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