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2025浙江省建德市新安江第三初级中学九年级中考模拟数学试卷（校五模
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体从左面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
3．据统计2025年2月份，到西湖三潭印月旅游的人数为人次，其中数用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查结果如图所示．其中有部分数据被墨迹遮挡，关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．如图，和是位似图形，O是位似中心，点的对应点分别为点．若的周长为4，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．关于的不等式的正整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
8．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．清代数学家梅文鼎在《几何通解》中指出：若一直角三角形的股长是勾长的二倍，则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股，其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比（即黄金分割比）．如图，在中，．点在边上，过点作于点，作于点，若四边形的周长与的周长之比恰好为中末比，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．已知的面积相等，现有两个判断：①若，则；②若，则．对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①②都正确
二、填空题
11．因式分解： ．
12．若m是方程的一个根，则的值为 ．
13．如图，是在上的点，，，则的长为 ．（结果保留）
14．如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．
15．如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ．
16．如图，在矩形中，已知，点是对角线上一动点，边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结，．当点落在边上时，的值为 ．
三、解答题
17．计算：
18．解分式方程：
(1)；
(2)．
19．如图，在中，，的平分线交于点，，．
(1)求的长．
(2)求的值．
20．为了解某校九年级学生的一分钟跳绳情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将跳绳个数分为五组：，，，，．（每组含后一个边界值，不含前一个边界值），绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据信息，解答下列问题：

(1)扇形统计图中的________，组所对圆心角度数为________．
(2)补全条形统计图．
(3)已知该校共有九年级学生450人，已知一分钟跳绳个数超过175个为满分，请估计该校九年级学生一分钟跳绳的满分人数。
21．已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）．
拓展：
(1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：．
(2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）．
(3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长．
22．如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
(1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）．
(2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
(3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．二次函数的图象经过点，点．
(1)若，求抛物线的顶点坐标；
(2)若存在实数，使得，且，求的取值范围；
(3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值．
24．如图，已知是的直径，弦于点，是弧上的一点，，的延长线交于点．连接交于点．连结，若．
【认识图形】求证：
【探索关系】①与之间有什么数量关系？
②设，，求关于的函数关系式．
【问题解决】若，，求的长．

《2025浙江省建德市新安江第三初级中学九年级中考模拟数学试卷（校五模）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C C A B C A B
1．A
【难度】0.85
【知识点】有理数加法运算、正负数的实际应用
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数是解题的关键．先由图1可得白色表示正数，黑色表示负数，然后观察图2列式即可．
【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，
∴图2表示的过程是在计算．
故选：A．
2．A
【难度】0.85
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题主要从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解．
【详解】
解：由图可知从左面看到的形状图是
故选A．
3．B
【难度】0.94
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此即可求解．
【详解】解：；
故选：B．
4．C
【难度】0.85
【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是：熟练掌握合并同类项，积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法的基本运算法则．
直接利用合并同类项，积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法来计算即可．
【详解】解：A，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意；
B，，故选项错误，不符合题意；
C，，故选项正确，符合题意；
D，，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．C
【难度】0.94
【知识点】求方差、求众数、求中位数、求一组数据的平均数
【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差等知识点，解题的关键是熟练掌握相关概念和计算公式．
根据平均数，众数，中位数，方差的定义可得出答案．
【详解】解：因为13和14岁年龄的人数不确定，所以平均数，众数和方差不能确定，
因为总数为20，中位数取排序后的第10位和第11位数的平均数，由表可知，第10位数是12，第11位数是12，
∴中位数．
故选：C．
6．A
【难度】0.85
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，而，
∴与的周长比为：，
∵的周长为4，
∴的周长为6；
故选A．
7．B
【难度】0.85
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，正确解不等式是解题关键．先解不等式，得到，再确定正整数解即可．
【详解】解：由，解得：，
正整数解有1、2、3，共3个，
故选：B．
8．C
【难度】0.65
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可．
【详解】解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确；
D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误．
故选C．
9．A
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．由题意得到，设，则，则，根据，求出即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
由题知四边形是矩形，
，
，
设，则，则，
矩形的周长为，
，
解得．
，
故选A．
10．B
【难度】0.65
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质．分别作的高,根据的面积相等，可得，可证明，可得,可判断①；证明，可得，再由的面积相等，可得，从而得到，可判断②．
【详解】解：①如图，分别作的高,
∵的面积相等，
∴，
∵，
∴，
∵，,
∴，
∴,
此时无法判断与是否相等，故①错误；
②设边上的高分别为，
∵，
∴，
∴，
∵的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
故选：B
11．
【难度】0.85
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法与公式法综合运用分解因式是解题的关键．
先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【难度】0.94
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
13．
【难度】0.65
【知识点】求弧长、圆周角定理
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，掌握以上知识是关键．
根据圆周角定理得到的度数，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是，
∴，
∴，
故答案为： ．
14．
【难度】0.65
【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．
根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域有种可能；
故一粒米落在阴影区域的概率为：；
故答案为：
15．且
【难度】0.65
【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到，再根据方程的解为负数以及分母不为0列式求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵分母不为0，
∴，
∴，
∴；
综上所述，且，
故答案为：且．
16．
【难度】0.65
【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】先证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再证四边形是正方形，设，利用等腰直角三角形的性质用表示出，再利用相似三角形的性质用表示出、，接着利用等腰直角三角形的性质用表示出，从而可利用勾股定理用表示出，，再利用线段差求得
【详解】解：当点落在边上时，如图，连结，，，，过点作于点，作于点，
∵边绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，，，，
∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
又，
∴，解得：，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点，解题关键是掌握根据相似三角形的性质列出比例式求解．
17．
【难度】0.85
【知识点】求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简绝对值，负整数指数幂、零指数幂，再进行计算即可．
【详解】解：原式
．
18．(1)（增根），原方程无解
(2)
【难度】0.85
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式方程的解法．正确运用解法，先转化成整式方程，再解，切记要检验．
（1）先把方程两边乘，去分母得一整式方程解出即可，
（2）方程两边同乘，得整式方程再解出即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
（2）解：
方程两边同乘，得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
19．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）求出，得到；
（2）设相交于点，作于点，证明，得到，设，则，得到，解得，得到，求出．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：如图，作于点，
平分，，
，，
，
，
由（1）知，，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
．
20．(1)20，
(2)见解析
(3)108人
【难度】0.65
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、频数分布直方图
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，样本估计总体等知识点，读懂统计图是解题的关键．
（1）先由组人数除以占比得到抽取的人数，再由B组人数除以抽取的人数即可求解m，由乘以组的占比即可求解圆心角；
（2）先求出组的人数，即可补全条形统计图；
（3）九年级学生450人乘以占比即可．
【详解】（1）解：抽取的人数为：（人），
则，
∴；
组所对圆心角度数为，
故答案为：20，；
（2）解：组人数为：（人），
则补全条形统计图：
（3）解：由题意得，（人），
答：该校九年级学生一分钟跳绳的满分有108人．
21．(1)见解析
(2)等腰三角形
(3)
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】本题主要考查中位线的性质定理以及勾股定理，熟练掌握中位线的性质，添加辅助线构造中位线，是解题的关键．
（1）根据中位线的判定和性质得出是的中位线，，，再由平行线的性质及各角之间的关系进行等量代换即可；
（2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，，即可证明是等腰三角形．
（3）取的中点G，连接，利用中位线的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵G、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理：，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：是等腰三角形；
证明：如图，取的中点H，连接、，
∵E、F分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）取的中点G，连接，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴．
22．(1)
(2)k的取值范围为
(3)存在，点Q的坐标为或
【难度】0.4
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据等边对等角证明、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式
【分析】（1）分别把代入函数解析式，解方程，进一步得出结果；
（2）求出，根据恰好落在的内部得出不等式组，求解即可；
（3）可推出，，进而得出，从而得出轴，从而得出，求得直线的解析式后，代入求得的值，进而得出结果；当点在轴上时，可求得点，，求得直线直线的解析式后，与直线的解析式联立成方程组，进一步得出结果．
【详解】（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
23．(1)顶点坐标
(2)
(3)的值是或
【难度】0.4
【知识点】y=ax +bx+c的最值、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）当时，把二次函数化为顶点式即可；
（2）先计算，用表示，进而可得，分别代入得出关于的不等式组，解不等式即可；
（3）根据当时，的值增大，的值先减小再增大，可得点抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧．当时，的最小值是．然后分两种情况讨论的最大值，由该二次函数的最大值与最小值的和为，列出方程求解．
【详解】（1）解：若，
则，顶点坐标；
（2）解：把代入得：，
把代入得：．
，
，
，
，
；
（3）解：∵二次函数的对称轴为，
当时，随着的值增大，的值先减小再增大，
∴点在抛物线对称轴的左侧，
点在抛物线对称轴的右侧．
∴当时，的最小值是．
若，即的最大值是，
，
解得：（舍去）．
若，即的最大值是，
，
解得：（舍去）．
综上，的值是或．
24．[认识图形]见解析；[探索关系]①；；②[问题解决]
【难度】0.4
【知识点】利用垂径定理求解其他问题、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆内接四边形对角互，熟练掌握以上知识是解题的关键．
[认识图形] 先证明，根据四边形是的内接四边形，得出，进而证明；
[探索关系]①证明得出，设，则，，得出，进而代入比例式，即可求解；
②过点作于点，得出，则，进而得出关于的函数关系式；
[问题解决] 由①可得，得出，，根据垂径定理得出，即可得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】[认识图形]证明：如图，连接，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴
又∵，
∴，
[探索关系]①∵，
∴
又∵
∴
∴
∵，
设，则，，
∴
∴
∴
②如图，过点作于点，

∵
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴
[问题解决]∵，，，
∴
∴，设，则
又∵
∴，
∴
∴
由①可得
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
设，则，，
∴
解得：
∴

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