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2024—2025 学年度第二学期期中考试高一年级数学试题
卷面满分:150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1．等于 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（为虚数单位），则的虚部为 （ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角的对边分别是，若，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
4．下列说法正确的是 （ ）
A．三点确定一个平面
B．和两条异面直线都相交的两条直线必定是异面直线
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
5．已知，，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
7．设，，，则有 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，“六芒星”是由两个边长为6正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 3 小题，毎小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分.
9．已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是 （ ）
A．当时，在上的投影向量为 B．当时，
C．当时， D．的最大值为0
11.在锐角△ABC中，角所对边分别为，且.则下列说法正确的是（ ）
B.角的范围是
C.若的平分线交于，，，则；
D.的取值范围是
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，满分 15 分.
12.已知向量，，，若A，C，D三点共线，则 .
13.已知，且，
（1) ； (2)=________________.
14.如图，在四边形中，，, 的面积分别为，则.
解答题：共 5 个小题，满分 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
（1）已知，若为纯虚数，求m的值．
（2）设复数，．若是实数，求；
（3）已知复数z满足，求z．
16 ．（本小题满分 15 分）
已知三棱锥满足.
(1)证明：直线与直线是异面直线；
(2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
17 ．（本小题满分 15 分）
在直角梯形中，，，，点是边上的中点.
(1)若点满足，且，求的值；
(2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围.
18 ．（本小题满分 17 分）
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且
求角C的大小
（2）若，的取值范围
（3）若点为所在平面内一点，且满足．
求的取值范围
19 ．（本小题满分 17 分）
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.
(1)若点分别是线段的中点，求；
(2)证明：；
(3)已知，点为线段的中点，，，求.
数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分．
9．ACD 10．BCD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． (1) (2) 14．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）因为为纯虚数，
所以且，解得；............................................4分
（2），是实数，，即，．.............................................................8分
（3）因为，且，因此可设，
则，
由题意可得，所以，
解得，即.........................................................13分
16．【详解】（1）因为直线平面，点平面，点，点平面，
所以直线与直线是异面直线...............................................6分
（2）如图：取的中点，连接，，，.......8分
所以，，所以异面直线与所成角为（或其补角），.......10分
因为，所以，，在中，，，，所以有，
由余弦定，..............13分
因为异面直线所成角范围为
所以异面直线与所成角的余弦值为..............15分
17．【详解】（1）如下图所示：由可得，
所以，
又，可得
所以....................................6分
（2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，则，
由点是线段上的动点（含端点），可令，
所以，则，
所以，.......................11分
由二次函数性质可得当时取得最小值；
当时取得最大值；
可得...............................15分
法2：取中点，作垂足为，如下图所示：
则
..................................................11分
显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值，
可得..................................................15分
18.【详解】，即，，......................................................2分
所以，故，
又△ABC为锐角三角形，，故，...............................4分
（2）由，故，由正弦定理，可得，
故可得
由△ABC为锐角三角形可得：，解得，故，
则，则................................................10分
（3）由题意知O为△ABC的外心，所以
........12分
......................................................15分
由第二问知所以
所以的取值范围，.........................17分
19．【详解】（1）由已知，，所以...................4分
（2）在，，，中，
，同理，
所以，..............................6分
又在，，，中，，
同理，所以，.........8分
又，，，，
所以，所以.............10分
（3）方法一：由，可得，即，所以，
又点B为线段AD的中点，即，所以，
又，所以，，，由已知，所以.
设，，由，得，
即，解得，…①.......................12分
在三角形AOB中，由正弦定理可得，得，…②
在中，由正弦定理可得，得，…③
又，
得，即，…④...................14分
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以..................................17分
方法二：因为，所以，设，则，
又B为线段AD的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，............12分
由，得，
所以，设，则，......................................14分
由，互补得，即，
解得，所以，，所以.....17分

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