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期末核心考点 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2017 绵阳）使代数式有意义的整数x有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（2025春 河东区校级月考）使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
3．（2015 济宁）要使二次根式有意义，x必须满足（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2
4．（2017 裕华区校级模拟）下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024春 齐齐哈尔期末）将a根号外的因式移到根号内，得（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 饶平县期中）在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
7．（2015 湖北）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．431
C．236 D．3
8．（2018 曲靖）下列二次根式中能与2合并的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023春 新城区校级期中）化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
10．（2017春 蒙城县期末）如果，那么x的取值范围是（　　）
A．1≤x≤2 B．1＜x≤2 C．x≥2 D．x＞2
二．填空题（共5小题）
11．（2009 兴化市模拟）若实数a满足|a﹣8|a，则a＝　 　 ．
12．（2003 常德）化简：2xx2　 　 ．
13．（2013 六盘水）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　 ．
14．（2021 新市区校级一模）已知m＝1，n＝1，则代数式的值为　 　 ．
15．（2012 德阳）有下列计算：
①（m2）3＝m6，
②，
③m6÷m2＝m3，
④，
⑤，
其中正确的运算有　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2014 荆门）（1）计算：4（1）0；
（2）先化简，再求值：（），其中a，b满足|b|＝0．
17．（2021春 越秀区校级期末）计算：
（1）（263）÷2；
（2）（25）（25）﹣（）2．
18．（2014 通辽）计算：（2）0﹣（﹣1）2014+|2|+（）﹣2．
19．（2015春 饶平县期末）先化简，再求值： ，其中．
20．（2020秋 沿河县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
期末核心考点 二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2017 绵阳）使代数式有意义的整数x有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】B
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x+3＞0且4﹣3x≥0，
解得﹣3＜x，
整数有﹣2，﹣1，0，1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．
2．（2025春 河东区校级月考）使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，根据分式有意义条件可得x﹣4≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣4≠0，且x﹣3≥0，
解得：x≥3且x≠4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式与二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
3．（2015 济宁）要使二次根式有意义，x必须满足（　　）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．（2017 裕华区校级模拟）下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，同时应考虑分母中若有字母，字母的取值不能使分母为零，即可求解．
【解答】解：A、当a≥1时，根式有意义．
B、当a≤1时，根式有意义．
C、a取任何值根式都有意义．
D、要使根式有意义，则a≤1，且分母不为零，故a＜1，
故选：D．
【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆．
5．（2024春 齐齐哈尔期末）将a根号外的因式移到根号内，得（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而变形得出答案．
【解答】解：a．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
6．（2025春 饶平县期中）在根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【考点】最简二次根式．
【答案】C
【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：①是最简二次根式；
②，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式，故选C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7．（2015 湖北）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．431
C．236 D．3
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法．
【答案】D
【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可．
【解答】解：A.，无法合并，故此选项错误，
B.43，故此选项错误，
C.236×3＝18，故此选项错误，
D.，此选项正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．
8．（2018 曲靖）下列二次根式中能与2合并的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【解答】解：A、，不能与2合并，错误；
B、能与2合并，正确；
C、不能与2合并，错误；
D、不能与2合并，错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
9．（2023春 新城区校级期中）化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据分母不等于0和被开方数大于等于0，得到x是负数，然后化简即可．
【解答】解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，
∴x＜0，
∴原式
|x|
（﹣x）
．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式，解题的关键是根据代数式有意义得到x是负数．
10．（2017春 蒙城县期末）如果，那么x的取值范围是（　　）
A．1≤x≤2 B．1＜x≤2 C．x≥2 D．x＞2
【考点】二次根式的乘除法．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和0不能为分母可知，x﹣1≥0且x﹣2＞0，解不等式组即可．
【解答】解：由题意可得，x﹣1≥0且x﹣2＞0，
解得x＞2．
故选：D．
【点评】二次根式有意义的条件必须是被开方数大于等于0，特别注意0做除数无意义．
二．填空题（共5小题）
11．（2009 兴化市模拟）若实数a满足|a﹣8|a，则a＝　74　 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由可得a≥10，再对式子进行化简，从而求出a的值．
【解答】解：根据题意得：a﹣10≥0，解得a≥10，
∴原等式可化为：a﹣8a，
即8，
∴a﹣10＝64，解得：a＝74．
【点评】二次根式中被开方数为非负数，是解此题的突破口．
12．（2003 常德）化简：2xx2　﹣2x　 ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用开平方的定义计算．
【解答】解：原式2xx2
＝2xx5x
＝﹣2x．
【点评】应先化成最简二次根式，再进行运算，只有同类二次根式，才能合并．
13．（2013 六盘水）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　m≥9　 ．
【考点】二次根式有意义的条件；配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x2﹣6x+m＝（x﹣3）2﹣9+m≥0，所以（x﹣3）2≥9﹣m．通过偶次方（x﹣3）2是非负数可求得9﹣m≤0，则易求m的取值范围．
【解答】解：由题意，得
x2﹣6x+m≥0，即（x﹣3）2﹣9+m≥0，
∵（x﹣3）2≥0，要使得（x﹣3）2﹣9+m恒大于等于0，
∴m﹣9≥0，
∴m≥9，
故答案为：m≥9．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14．（2021 新市区校级一模）已知m＝1，n＝1，则代数式的值为　3　 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出（m+n）2、mn的值，再把m2+n2﹣3mn化成（m+n）2﹣5mn，代入求出其值是9，最后求出9的算术平方根即可．
【解答】解：∵m＝1，n＝1，
∴（m+n）222＝4，
mn＝（1）×（1）＝1﹣2＝﹣1，
∴m2+n2﹣3mn
＝（m+n）2﹣2mn﹣3mn
＝（m+n）2﹣5mn
＝4﹣5×（﹣1）
＝9，
∴3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，注意：（m+n）2＝m2+2mn+n2，m2+n2﹣3mn＝（m+n）2﹣5mn．
15．（2012 德阳）有下列计算：
①（m2）3＝m6，
②，
③m6÷m2＝m3，
④，
⑤，
其中正确的运算有　①④⑤　 ．
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由幂的乘方，可得①正确；由二次根式的化简，可得②错误；由同底数的幂的除法，可得③错误；由二次根式的乘除运算，可求得④正确；由二次根式的加减运算，可求得⑤正确．
【解答】解：∵（m2）3＝m6，∴①正确；
∵|2a﹣1|，∴②错误；
∵m6÷m2＝m4，∴③错误；
∵351515，
∴④正确；
∵421214，
∴⑤正确．
∴正确的运算有：①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【点评】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、二次根式的乘除运算以及二次根式的加减运算．此题比较简单，注意掌握运算法则与性质，注意运算需细心．
三．解答题（共5小题）
16．（2014 荆门）（1）计算：4（1）0；
（2）先化简，再求值：（），其中a，b满足|b|＝0．
【考点】二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式41＝2，然后合并即可；
（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式，再根据非负数的性质得到a+1＝0，b0，解得a＝﹣1，b，然后把a和b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式41
＝2
；
（2）原式＝[]
＝（）

，
∵|b|＝0，
∴a+1＝0，b0，
解得a＝﹣1，b，
当a＝﹣1，b时，原式
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．
17．（2021春 越秀区校级期末）计算：
（1）（263）÷2；
（2）（25）（25）﹣（）2．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算括号，再计算除法即可；
（2）利用乘法公式计算即可；
【解答】解：（1）（263）÷2；
＝（4212）÷2
＝142
＝7
（2）（25）（25）﹣（）2．
＝（2）2﹣（5）2﹣（5﹣22）
＝20﹣50﹣（7﹣2）
＝﹣37+2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（2014 通辽）计算：（2）0﹣（﹣1）2014+|2|+（）﹣2．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的除法法则、零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式1﹣1+24，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式1﹣1+24
＝2+1﹣1+24
＝8．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
19．（2015春 饶平县期末）先化简，再求值： ，其中．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出a的值，化简|a﹣2|＝2﹣a，在计算乘法得出原式等于﹣a，再代入求出即可．
【解答】解：∵a2，
∴a﹣20，
∴a
＝a（2﹣a）
＝﹣a
＝﹣（2）
＝﹣22
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的性质化简和分母有理化的应用，关键是正确进行化简，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目．
20．（2020秋 沿河县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
【考点】分母有理化．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分式的分子和分母都乘以，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
【解答】解：（1）
．
（2）原式
．
【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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