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第二部分 数学基础知识
第1章 数与式
在初中,我们已学习了实数,知道字母可 复杂的多项式乘法运算,因此本章将拓展乘法
以表示数,用代数式也可以表示数,我们把实 公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、
数和代数式简称为数与式.代数式中有整式 立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们
(多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数 已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中
的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算 数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的
中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全 情形,但在初中却没有涉及,因此本章中要补
平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式 充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有
的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更 关内容.
1.1 绝对值 第
二
部
分
数
1.绝对值的代数意义:正数的绝对值是 【例1】 已知|a-1|+|b+2|=0,求a,b 学基
它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的 的值. 础
ìa,a>0 【分析】 由绝对值的非负性知,|a-1|≥0,
知
识
绝对 值 仍 是 零.即|a|= í0,a=0 或|a| |b+2|≥0,所以只有当|a-1|和|b+2|都等

-a,a<0 于0时,它们之和才等于零,否则,它们之和大
{a(a≥0) 于零.= .-a(a<0) 【解】 ∵|a-1|≥0,|b+2|≥0,又∵|a-1|
2.绝对值的基本性质 +|b+2|=0,
①非负性:|a|≥0;②|ab|=|a|·|b|; ∴|a-1|=0,|b+2|=0,∴a-1=0,
a |a| b+2=0,∴a=1,b=-2.③ = ( ); 2 2 2;b |b|b≠0 ④|a| =|a|=a 【说明】 本题是对绝对值的非负性的考查,任
⑤|a+b|≤|a|+|b|;⑥||a|-|b||≤|a- 何数的绝对值都不可能是负数.
b|≤|a|+|b|. 【例2】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的
3.绝对值的几何意义:一个数的绝对值, 3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的
是数轴上表示它的点到原点的距离. 两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数
两个数差的绝对值的几何意义:|a-b| 轴上表示这两数的点位于原点同侧呢
表示在数轴上,数a 和数b之间的距离. 【分析】 从题目中寻找关键的解题信息,“数
5
轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着 2008
=
甲、乙两数符号相反,即一正一负.那么究竟谁 2009
是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学 【说明】 在上述分数连加求和的过程中,我们采
思想解决这一问题. 用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学
【解】 设甲数为x,乙数为y. , 1 1们可以再深入思考 如果题目变成求
2×4+4×6
由题意得:|x|=3|y|,
1 1
(1)数 轴 上 表 示 这 两 数 的 点 位 于 原 点 + … 的值,你有办法求解6×8+ +2010×2012
两侧: 吗 有兴趣的同学可以在课后继续探究.
若x 在 原 点 左 侧,y 在 原 点 右 侧,即 【例4】 a,b,c 三数在数轴上的位置如图所
x<0,y>0,则4y=8,所以y=2,x=-6;
, , 示
,化简式子:a b c+ + .
若x 在 原 点 右 侧 y 在 原 点 左 侧 即 a b c
x>0,y<0,则 -4y=8,所以y=-2,x=6.
【分析】
()
观察数轴上a,b,c的位置知:a>0,
2 数 轴 上 表 示 这 两 数 的 点 位 于 原 点
: b>0
,c<0.
同侧
第 , , , , 因此|a|=a
,|b|=b,|c|=-c.
二 若x y 在原点左侧 即 x<0y<0 则
部 -2y=8,所以y=-4,x=-12; 【解】
a b c a b -c
a +b +分 c
=a+b+c =1+1
若x,y 在原点右侧,即 x>0,y>0, 则 -1=1
数 2y=8,所以y=4,x=12.
学 【说明】 本题考查数形结合的思想,根据图形【例3】 已知|ab-2|与|a-1|互为相反数,基 先得出a,b,c的正负性,从而得出与|a|,|b|,
础 试求下式的值.
知 |c|的关系.1 1 1
识 ab+(a+1)(
…
b+1)+(a+2)(b+2)+ 【例5】 你知道吗 正式比赛用的排球是有
1 严格规定的.现在选出了五个球,超重的克数
+(a+2007)(b+2007) 记为正数,不足的克数记为负数,结果如下(单
【解】 利用绝对值的非负性,我们可以得到: 位:g):
|ab-2|=|a-1|=0,解得:a=1,b=2. +10 -15 +20 -20 -40
1 1 1
于是
ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+ 你能从中挑出一个质量最好的球吗
1 【分析】 本题应该用绝对值的性质来解:… |+10|+(a+2007)(b+2007) =10,|+20|=20,|-15|=15,|-20|=20,
1 1 1 1
= + + +…+ |-40|=40.显然,只有表中克数为+10的球2 2×3 3×4 2008×2009
最接近标准.
1 1 1 1 1 1 1
= + …2 2-3+3-4+ +2008-2009 【解】 选第一只球,因为它最接近标准重量.
1 【说明】 把标准重量规定为0,超过标准重量
=1-2009 的数量记为正数,不足的数量记为负数.由有
理数的绝对值意义知,哪个数的绝对值越大,
6
说明那个数距原点(即标准重量)就越远;反 |x-3|也可理解为x 与3两数在数轴上所对
之,哪个数的绝对值越小,说明那个数距原点 应的两点之间的距离.试探索:
(即标准重量)就越近. (1)|4-(-2)|= .
(2)找出所有符合条件的整数x,使|x-4|
+|x+2|=6成立.
(3)由以上探索猜想,对于任何有理数x,
1.填空: |x-3|+|x-6|是否有最小值 如果有,写出最
(1)若|x|=5,则x= ;若|x|= 小值;如果没有,说明理由.
|-4|,则x= .
(2)如果|a|+|b|=5,且a=-1,则b=
;若|1-c|=2,则c= .
2.已知数轴上A,B 两点分别表示有理
数-3,-6,若在数轴上找一点C,使得A 与
C 的距离为4;找一点D,使得B 与D 的距离
第
为1,则C 与D 的距离不可能为 ( ) 6.结合数轴与绝对值的知识回答下列 二
A.0 B.2 问题: 部
分
C.4 D.6 (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离
3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5). 是 ;表示-3和2两点之间的距离是 数
.一般地,数轴上表示数m 和数n 两 学基
点之间的距离等于|m-n|. 础
(2)如果|x+1|=3,那么x= . 知
识
(3)若|a-3|=2,|b+2|=1,且数a,b
在数轴上表示的数分别是点A,B,则A,B 两
点间的最大距离是 ,最小距离是
4.已知a 是有理数,求|a-2011|+|a- .
2012|的最小值. (4)若数轴上表示数a 的点位于-4与2
之间,则|a+4|+|a-2|= .
5.同学们都知道,|4-(-2)|表示4与
-2的差的绝对值,实际上也可理解为4与-2
两数在数轴上所对应的两点之间的距离;同理
7暑假大串联初升高衔接教材 数学
参考答案
第二部分 数学基础知识
第1章 数与式
1.1 绝对值
1.(1)±5 ±4 (2)±4 -1或3
2.C
3.当
13 13
54.解:由绝对值的几何意义知,|a-2011|+|a-2012|表示数轴上的一点到表示数2011
和2012两点的距离的和,要使和最小,则这点必在2011~2012之间(包括这两个端点)取值,
故|a-2011|+|a-2012|的最小值为1.
5.解:(1)6
(2)当x-4=0或x+2=0时,x=4或x=-2;当x<-2时,-(x-4)-(x+2)=6,
-x+4-x-2=6,x=-2(不符合题意);当-2x+2=6,6=6,∴x=-1,0,1,2,3;当x>4时,(x-4)+(x+2)=6,x-4+x+2=6,2x=
8,故x=4(不符合题意).综上所述,符合条件的整数x 有:-2,-1,0,1,2,3,4.
(3)由(2)的探索猜想,对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|有最小值,为3.
6.(1)3 5 (2)2或-4 (3)8 2 (4)6
1.2 乘法公式
()1 1 1 11.1 3a- b
(2) (2 2 4 3
)4ab-2ac-4bc
2.(1)D (2)A (3)B
3.解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716
(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x3-x(x-1)2=-x=-1.345
2
4.解:(1)由已知得(x-1)2 ( 1 1 1+ y- ,得 ,2 ) =0 x=1y= ,所以原式2 =3.
(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x,y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,所
·1·
{x-1=0 {x-1=±1 x-1=0 x=1以可能有的结果是 或 或 ,解得 或y-1=0 y-1=0 {y-1=±1 {y=1 {
x=2
或
y=1 {
x=0
或
y=1
{x=1 {x=1或 ,所以x+y=1或2或3.y=2 y=0
(3)甲、乙、丙 三 个 商 场 两 次 提 价 后,价 格 分 别 为:(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;
( a+b)· ( a+b) ( ) (a+b 2;( )( a+b 21+ 2 1+ 2 =1+a+b + 2 ) 1+b 1+a)=1+a+b+ab;因 ( 2 ) -
a+b
ab>0,所以 ( 2 )
2
>ab,故乙商场提价最多.
5.(1)(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy) (2)(x+b)(x-2a-b)
1.3 十字相乘法
1.D 2.B 3.A 4.C 5.D
6.解:∵(x2+2x)4-10(x2+2x)2+9=[(x2+2x)2-9][(x2+2x)2-1]=(x2+2x+
3)(x2+2x-3)(x2+2x+1)(x2+2x-1)=(x2+2x+3)(x+3)(x-1)(x+1)2(x2+2x-
1),∴其中x+1,x+3,x2+2x+3,x2+2x-1是多项式(x2+2x)4-10(x2+2x)2+9的
因式.
7.解:设2x3-x2-13x+k=(2x+1)(x2+ax+b),则2x3-x2-13x+k=2x3+(2a+
ì2a+1=-1 ì a=-1
1)2

x +(a+2b)x+b,∴ ía+2b=-13,解得:íb=-6,∴k=-6,且2x3-x2-13x-6=(2x+

b=k k=-6
1)(x2-x-6)=(2x+1)(x-3)(x+2).
8.解:设3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y+m)(x+2y+n)=3x2+5xy-2y2+(m+
ìm+3n=1
m=4
3n)x+(2m-n)y+mn.比较同类项系数,得:í2m-n=9,解得:{ .∴3x2+5xy-2y2+x
n=-1 mn=-4
+9y-4=(3x-y+4)(x+2y-1).
9.解:(1)x2-6x+8=(x-2)(x-4);
(2)①令A=x-y,则原式=A2+4A+3=(A+1)(A+3),所以(x-y)2+4(x-y)+3=
(x-y+1)(x-y+3);②令B=m2+2m,则原式=B(B-2)-3=B2-2B-3=(B+1)(B-
3),所以原式=(m2+2m+1)(m2+2m-3)=(m+1)2(m-1)(m+3).
·2·
1.4 分 式
1.B
2.解:由已知
1 1
a2-3a+1=0知a≠0,将已知等式两边同除以a得a-3+ =0,a ∴a+a=
4 2 2
3,
a +1 1 1
∴ 2 =a2+ 2= (a+ ) -2=32-2=7, a 1a a a ∴a4+1=7.
3.解:设
1 1 1
x+ -z=k
,
y
ì 1 1 1
x+ -z=k ① y


则 3 7 1íx+ - =3 ② y z

4 10 1
x+ -z=2 ③ y
1 1 1
①-②×3+③×2得k=5,∴x+ -y z
=5.
4.解:(1)由分母为x-1,可设2x2+3x+6=(x-1)(2x+a)+b.因为(x-1)(2x+a)+b
=2x2+ax-2x-a+b=2x2+(a-2)x-a+b,所以2x2+3x+6=2x2+(a-2)x-a+b,因此
{a-2=3 {a=5 2x2+3x+6 (x-1)(有 ,解得 ,所以 2x+5)+11 11x-1 = x-1 =2x+5+ ;()由分母-a+b=6 b=11 x-1 2
为x+2,可设5x2+9x-3=(x+2)(5x+a)+b,因为(x+2)(5x+a)+b=5x2+ax+10x+2a
+b=5x2+(a+10)x+2a+b,所 以5x2+9x-3=5x2+(a+10)x+2a+b,因 此 有
{a+10=9 {a=-1 2 ( )( ),解得 ,所以5x +9x-3 x+2 5x-1-1 1x+2 = x+2 =5x-1- ,所以x+2 5m-2a+b=-3 b=-1
1 1
11+ ,因此n-6=5x-1-x+2 5m-11=5x-1
,n-6=-x-2,所以m=x+2,n=-x+4,所
以m2+n2+mn=x2-2x+28=(x-1)2+27,因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+27≥27,所以
m2+n2+mn的最小值为27.
1.5 二次根式
1.(1)3-2 (2)3≤x≤5 (3)-86 (4)5
2.C
·3·
3.1
4.(1)
2a
-2a-2ab+2b+1 (2)a-b
5.2702
6.289
7.解:(1)m2+3n2 2mn (2)(2+ 3)2 (3)∵a 是216的立方根,b是16的平方根,
∴a=6,b=±4,∴ a+b 2= 6±42= (2± 2)2=2± 2.
1.6 因式分解
1.B
2.(1)(x+2)(x+4) (2)(2a-b)(4a2+2ab+b2) (3)(x-1- 2)(x-1+ 2)
(4)(2-y)(2x-y+2)
3.(1)x(x+y)(y2-xy+x2) (2)xn(x-y)(x2+xy+y2) (3)a2(m+n-b)[(m+
n)2+b(m+n)+b2] (4)y2(x-1)2(x4-4x3+3x2+2x+1)
4.(1)(x-2)(x-1) (2)(x+36)(x+1) (3)(x+13)(x-2) (4)(x-9)(x+3)
(5)(m-5n)(m+n) (6)(a-b+4)(a-b+7)
5.(1)ax3(x-2)(x-8) (2)an(a+3b)(a-2b) (3)(x-3)(x+1)(x2-2x+3)
(4)(x-3)(x+3)(x2+2) (5)(2x-3)(3x+1) (6)(m-2)(x+y)(x-y) (7)(7a+7b
+2)(a+b-1) (8)(x+5)(x-1)(x+3)(x+1)
6.等边三角形
7.(x-a+1)(x+a)
1.7 等差与等比数列
2n-1
1.2n
1
2.等比 [1-(-1)n]2
2b=a+c
3.提示:由等差数列和等比数列性质可知{ ,代入消去b即可.b2=ac
4.m=100
5.解:(1)由a1=b1=3,a4=b2=12,设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=12,所
·4·
以d=3,所以an=3+3(n-1)=3n;设等比数列{bn}的公比为q,由题b2=b1q=12,所以q=
4,所以b =3×4n-1n ;(2)an+bn=3n+3×4n-1,所以{an+bn}的前n 项和为Sn=(a1+a2+
( )
…+an)+(b1+b2+…+bn)=(3+6+…+3n)+3(1+4+16+… n-1)
3+3nn
+4 = 2 +3×
(1-4n) 3 ( ) n
1-4 =2nn+1 +4-1.
第2章 方程、不等式与函数
2.1 一元二次方程
2.1.1 一元二次方程根的判别式
2
1.(1)① (2)±22 (3)k≤ (3 4
)10 (5)k<1
2.(1)C (2)A
3.分两种情况讨论:(1)当
1
m=0时,x= ;(2)当2 m≠0
时,Δ=m2+4>0,所以方程必有
实根.
4.(1)证明:∵a=m,b=-(m+2),c=2,∴Δ=b2-4ac=(m+2)2-8m=m2+4m+4
-8m=m2-4m+4=(m-2)2≥0,∴方程总有两个实数根.
-b± b2-4ac m+2± (()解:方法 (公式法): m-2
)2 m+2±(m-2)
2 1 ∵x= = = ,2a 2m 2m
m+2+m-2 m+2-m+2 2
∴x1= =1,x2= = .∵方程的两个实数根都是整数,
2
∴ 是整数,2m 2m m m
∴m=±1或m=±2,又∵m 是正整数,∴m=1或m=2.
方法2(因式分解法):∵mx2-(m+2)x+2=0,∴(x-1)(mx-2)=0,∴x-1=0或
2
mx-2=0,∴x1=1,x2= .∵方程的两个实数根都是整数,m
2
∴ 是整数,∴m=±1或m=±2.又∵m 是正整数,m ∴m=1
或m=2.
5.解:(1)∵关于x 的方程x2-2mx+m2+m-2=0有两个不相等的实数根,∴Δ=
(-2m)2-4(m2+m-2)>0.解得m<2;(2)由(1)知,m<2.又m 为正整数,∴m=1,将m=
1代入原方程,得x2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2.
·5·
2.1.2 一元二次方程根与系数的关系
3
1.7 2.19 3.4 4.D 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D 11.D 12.k=-1
{Δ=(-2m)
2-4m(m-2)≥0
13.解:(1) ,∴m>0;
m≠0
(2)
3
x1+x2=2.若x1>x2,则x1-x2=1,∴x1= ,2 ∴m=8
,若x11
∴x1= ,2 ∴m=8
,∴m=8.
14.解:根据题意得
1 3
Δ=(k+1)2-4(4k
2+1)≥0,解得k≥ ,2 x1+x2=k+1
,x1x2=
1
k2+1.(1)
1 3
4 ∵x
2
1x2=5,∴4k +1=5
,解得k=±4,∵k≥ ,2 ∴k
的值为4;(2)∵|x1|=x2,
∴x 21 =x 22 ,∴(x1+x2)(x1-x2)=0,∴x1+x2=0或x1-x2=0,∴k+1=0或Δ=0,∴k
=-1或
3
k= ,∴k的值为
3
2 2.
2.2 二元二次方程组
2.2.1 由一个二元一次方程和一个
二元二次方程组成的方程组
{x1=1 {x2=-11. ,y1=2 y2=-2
ì 8
{x =2 x =3
x
1
=
1 { 2 15 x2=1 x1=6 x2=2 x1=4 x2=72.(1) , (2)í , (3) , (4) ,y1=3 y2=2 1 {y2=1 {y1=7 {y {2=3 y1=7 {y2=4
y1=15
3.由②得,y=m-x③,把③代入①,得x2+(m-x)2=8,整理,得2x2-2mx+m2-8=
0,当m=3时,2x2-6x+1=0,∵Δ=28>0,∴当m=3时,这个关于x 的方程有两个不相等
的实数解.当m=4时,2x2-8x+8=0,即x2-4x+4=0,∵Δ=0,∴当m=4时,这个关于x
的方程有两个相等的实数解.当m=5时,2x2-10x+17=0,∵Δ=-36<0,∴当m=5时,
这个关于x 的方程没有实数解.
·6·
2.2.2 由两个二元二次方程组成的方程组
{x1=4 {x2=-4 x3=32 x4=-321.(1) , , ,y1=2 y2=-2 {y = 2 {3 y4=- 2
ì 5+ 57 ì 5- 57
{x1=-7
x3=
{x2=7 2
x4= 2
(2) , ,

í ,í
y1=7 y2=-7
-5+ 57

-5- 57
y3= 2 y4= 2
{x=1 a=22.(1)m=2 (2) 3.a≤2 4.y=-1 {b=3
5.解:根据题意,m2-2m-1=0或m2-2m-1=1或m2-2m-1=2,解m2-2m-1=
0,得:m=1± 2,解m2-2m-1=1,得:m=1± 3,解m2-2m-1=2,得:m=3或-1.综上,
m 的值为1± 2,1± 3,3或-1.
2.3 分式方程和无理方程
2.3.1 复杂的分式方程的解法
1.C
2.(1)x=-1 (2)x1=-1,x2=-21 (3)y1=0,y2=1 (4)x1=3,x2=-5
3.有错误.没有考虑x-3≠0,即-m+6-3≠0.正确的结果是m<6且m≠3.
4.(1)
1
x=4 (2)x1=11,x2=- .一般情形:方程
1 n
x- =n+ 的解为11 x n+1 x1=n+1
,
1
x2=-n+1.
3± 17
5.(1)x1=1,x2=2,x3=-3,x4=-4 (2)x=1± 2,x= 4
(3)x=-1
y
解:() 16. 1 - =0 (2)
4
y- =0 (3)原方程化为:
x-1 x+2
- =0,设
x-1
y= ,则4 y y x+2 x-1 x+2
原方程化为: 1y- =0,方程两边同时乘y 得:y2-1=0,解得:y=±1,经检验:y=±1都是y
·7·
方程 1 的解 当 时,x-1 ,该方程无解;当 时,x-1y- =0 . y=1 =1 y=-1 =-1,解得:y x+2 x+2
x=
1
- ;经检验:
1
x=- 是原分式方程的解,∴原分式方程的解为
1
2 2 x=-2.
2.3.2 简单的无理方程的解法
1.()
5-3
1x=-1 (2)x=6 (3)x= 2
2.(1)x=5 (2)x=20
3.(1)x=9 (2)x1=1,x2=-4
4.(1)x=± 2 (2)x=26 (3)x1=3,x2=-1
2.4 不等式
2.4.1 一元二次不等式的解法
1.(1)x<-2或x>3 (2)x=3 (3)一切实数
k>0 k>0 k>0
2.解:显然k=0不合题意,于是:{ (-2)2-4k2<0 {k2-1>0 {k<-1或k>1
k>1.
ìk>0
2
: :
k +1
3.解 由题意得 -1+3=í k k=1.


(-1)·
3
3=-
k
2.4.2 一元二次不等式、一元二次方程、
二次函数的关系
1
1.-1·8·
2.解:∵α,β是方程x2-kx+8=0的两相异实根,∴Δ=k2-32>0,解得k>42或k<
-4 2,∵α+β=k,αβ=8,∴ α+β >42.
3.解:关于x 的不等式x2-(a+1)x+a<0,即(x-1)(x-a)<0.当a=1时,不等式即
(x-1)2<0,不等式无解;当a>1时,不等式的解为1x<1.
4.解:(1)设方程x2+2(m-2)x+m2+4=0的根为x1,x2,
则x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4,Δ=4(m-2)2-4(m2+4)≥0,∴m≤0,
∵x21+x22=x1x2+21,∴(x1+x 22)=3x1x2+21,
4(m-2)2=3(m2+4)+21,∴m2-16m-17=0,∴m=-1或17(舍),即m=-1;
(2)设f(x)=x2+2(m-2)x+m2+4,
ìΔ=4(m-2)
2-4(m2+4)≥0 ì m≤0

由题意得:í2-m>1 ,∴ í m<1 ,∴m≤0且m≠-1,

f(1)=(m+1)2>0 m≠-1
即实数m 的取值范围为m≤0且m≠-1.
2.4.3 分式不等式
1
1.(1)x≤-1或x>1 (2)x< 或x>3 (3)x<-2或x>0 (4)
1
2 x>-2 2.k=5
{a>0 {a<0 {x-2>0 {x-2<03.解:(1) (2)不等式转化为 或 ,所以x>2或x<-1.b<0 b>0 x+1>0 x+1<0
(3)不等式转化为
1 2
03或-22.5 二次函数
2.5.1 二次函数的图像与二次方程的解
1.解:(1)开口向上;对称轴为直线x=1;顶点坐标为(1,-4);当x=1时,函数有最小值
y=-4;当x<1时,y 随着x 的增大而减小;当x>1时,y 随着x 的增大而增大.其图像如图
①所示.
·9·
① ②
(2)开口向下;对称轴为直线x=3;顶点坐标为(3,10);当x=3时,函数有最大值y=10;
当x<3时,y 随着x 的增大而增大;当x>3时,y 随着x 的增大而减小.其图像如图②所示.
2.(1)解:由题意得Δ=[-(2k-3)]2-4(k2+1)>0,解得k的取值范围是
5
k<12.
(2)证明:
5
∵x1·x =k22 +1>0,∴x1,x2 同号,∵k< ,12 ∴x1+x2=2k-3<0
,∴x1<
0,x2<0.
(3)解:设A(x1,0),B(x2,0),由(2)知x1<0,x2<0,∴OA=-x1,OB=-x2,∴OA+
OB=-(x1+x2)=-(2k-3),OA·OB=x1·x2=k2+1,∵OA+OB=2OA·OB-3,
5
∴ -(2k-3)=2(k2+1)-3,解得k1=1,k2=-2.∵k< , 只取12 ∴ k=-2.
ìa+b+c=0 {a=-2b3.解:由题意有 í b 1 ,得 ,则f(x)=-2bx2+bx+b.方程f(x)+5x+
-2a=4 c=b
3=0可化为:-2bx2+(b+5)x+(b+3)=0,Δ=(b+5)2+8b(b+3)=0,解得:b=-1或
25,故函数 ()的解析式为 () 2 或 () 50 25 25-9 f x f x =2x -x-1 f x =9x
2-9x-9.
2.5.2 二次函数的极值
x-20
1.解:(1)由题意得y=500-50× ,即5 y=-10x+700
;
(2)由z=100+10y,y=-10x+700,得z=-100x+7100;
(3)w=x(-10x+700)-(-100x+7100),
即 b 800w=-10x2+800x-7100,当x=- =- ( )=40时,景点每日获取的利润2a 2× -10
2
最大, 4ac-b 4×
(-10)×(-7100)-8002
w最大= 4a = 4×(-10) =8900
(元),答:当门票价格为40元时,
景点每日获取的利润最大,最大利润是8900元.
·10·
2.解:(1)y=-5x+100;
(2)设每天所获销售利润为 w 元,则 w=(40-30+x)(-5x+100)=-5(x-5)2+
1125.∵-5<0,∴抛物线开口向下,在对称轴直线x=5的左侧,w 随x 的增大而增大.∵40+
x≤30(1+40%),∴x≤2.∴当x=2时,w最大值=-5(2-5)2+1125=1080.答:当销售单价定
为42元时,才能使每天所获销售利润最大,最大利润是1080元.
2.5.3 二次函数的综合应用
1.解:(1)由题意,得
1
- ×(-2)2+(-2)+c=0,解得c=3,4
∴抛物线的解析式为
1
y=-4x
2+x+3.
(2)①连接CM,DM,易证OC,DE 都是☉M 的切线,
1 1
∴∠DCM +∠CDM = (2 ∠OCD +∠EDC
)= 2×180°=90°
,∴∠CMD =90°,
∴∠CMO+∠DME=90°,∵∠OCM+∠CMO=90°,∴∠OCM=∠DME,
OC OM
∵∠COM=∠DEM=90°,∴△OCM∽△EMD,∴ME=
, ·
DE ∴OC DE=ME
·OM,
设点D 的横坐标为t,则
1 1
OM=ME= t,DE=- t2+t+3,2 4
抛物线 1∵ y=- x2+x+3与y 轴的交点为C(0,3),4
1 1 1
∴OC=3,∴3× (- t2+t+3)= t· t,整理,得4 2 2 t2-3t-9=0,
解得 3+35 3-35t1= >0,t2= <0(不合题意,舍去),2 2
当 3+35时, 1t= - t2
9+35
+t+3= ,故所求点D 的坐标为 (3+35,9+352 4 8 2 8 ) .
②存在
(Ⅰ)当存在的点G 在x 轴上方时,如图,
·11·
∵四边形ACGF 是平行四边形,∴CG∥x 轴,∴点C 与点G 关于抛物线的对称轴x=2
对称,
∵点C 的坐标为(0,3),∴点G 的坐标为(4,3);
(Ⅱ)当存在的点G 在x 轴下方时,如图,过点G 作GH⊥x 轴于点H,
∵四边形ACFG 是平行四边形,∴GH=CO=3,
∴点G 的纵坐标为
1
-3,∴-4x
2+x+3=-3,即x2-4x-24=0,
解得x1=2+27,x2=2-27,∴点G 的坐标为(2+27,-3)和(2-27,-3),
综上所述,满足题目条件的点G 有3个,分别为(4,3),(2+27,-3),(2-27,-3).
1 5
2.解:(1)y= x26 -
;
6x
(2)解法一:设BC 交y 轴于点G,则S2=OG·BC=20,∴S1≤5,
又OB 所在直线的解析式为y=2x,OB= OG2+GB2=25,
∴当S1=5时,△EBO 的OB 边上的高为 5,
如图1,
图1
设平行于OB 的直线为y=2x+b,则它与y 轴的交点为M(0,b),与抛物线对称轴
5
x=2
·12·
交于点 (5E ,n) .过点O 作ON⊥ME 于N,若ON= 5,由2 △MNO∽△OGB 得OM=5,
所以y=2x-5,
ì y=2x-5
由 5í 5 ,得y=0,即点E ( ,2 0) .

x=2
∵与OB 平行且到OB 的距离为 5的直线有两条,
5
∴由对称性,得另一条直线为y=2x+5,得点E'( ,2 10) .
由题意得,n 的取值范围为:0≤n≤10,且n≠5.
解法二:如图2,抛物线的对称轴 为
5
l x= ,延长OB 交l于点T,延长CB 交l于点2 H
,
直线l与x 轴交于点F,
图2
当点E 在OT 的上方时,点E (5,2 n) .
1 5 1 1 1 1 5
S1=S△EOF-S△EBH-S梯形HBOF=2×2×n-2×
( )
2 n-4 -2×4× (2+2 )=n-5,
当S1≤5时,即n-5≤5,n≤10.
由对称性,点 5E ( ,10) 关于点T (5, 55) 的对称点为E'( ,0),由题意,2 2 2 n≥0,所以n 的
取值范围为:0≤n≤10,且n≠5.
(3)如图3,动点P,Q 按题意运动时,当
5 5
1,BP=25-5t
,
图3
·13·
OQ=2(t-1),连接 ,当
PQ 2 4
QP QP⊥OP 时,有 = ,∴PQ= (t-1),OQ 5 5
若PQ 1= ,则有
PQ OD,又 ,
PB 2 PB=OA ∠QPB=∠DOA=90°∴△BPQ∽△AOD
,
此时, 5 8PB=2PQ,即25-5t=
(t-1),10-t=8(t-1),∴t=2,
5
若PB 1,则有PB OD
PQ= =
,又
2 PQ OA ∠BPQ=∠DOA=90°
,∴△BPQ∽△DOA,
此时, 4PQ=2PB,即 (
5
t-1)=2(25-5t),4t-4=20-2t,∴t=4(不合题意,舍去).5
当3.5≤t≤6时,QB=10-2(t-1)=12-2t,连接QP,
当QP⊥BP 时,则有∠PBQ=∠ODA,∠QPB=∠DOA=90°,所以△BPQ∽△DOA,
此时,BQ= 5PB,即
5
12-2t= 5(25- t),5
12-2t=10-t,∴t=2(不合题意,舍去),
当QP⊥BQ 时,同理△BPQ∽△DAO,此时PB= 5BQ,
即 5 ( ),所以 5025-5t= 512-2t t=
,
9
所以符合条件的t值为:
50
t1=2,t2=9.
第3章 直线与圆
3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理
解:设 , , DE AD, x 5, 10 101. BF=xcm ∵DE∥BC ∴BC=AB ∴x+2=8 x=
,即
3 BF=3cm.
解: AB BD 5 352. ∵AC= =
,
DC 4 BD+DC=BC=7cm
,∴BD=9cm.
3.(1)证明:如图1,过点B 作BE∥AC 交AD 延长线于点E.
∵BE∥AC,∴∠E=∠CAE,∵∠BAE=∠CAE,∴∠BAE=∠E,∴BA=BE,∵BE
, , BE BD AB BD∥AC ∴△BDE∽△CDA ∴ ,AC=CD ∴AC=DC.
·14·
图 1 图2
(2)解:如图 ,
BD AB 7
2 ∵AD 是∠BAC 的平分线,AB=7,AC=15,∴CD= =
是
AC 15.∵E BC
7+15
中点, CE 2 11, CF CE 11 11∴CD= 15 =15 ∵EF∥AD
,∴CA=CD=
,
15 ∴CF=15CA=11.∴AF=4.
3.1.2 相似形
1.D
2.(1)证明:
EM
∵M 为AD 中点,∴AM=DM,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∴FM
AM
= =1,即DM EM=FM.∵MG⊥EF
,∴GE=GF,∴△EFG 是等腰三角形.
(2)解:若点G 与点C 重合,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠ADC=90°,∴∠AEM+
∠AME=90°.∵MG⊥EF,∴∠CME=90.∴∠CMD+∠AME=90°.∴∠AEM=∠CMD.
AM AE a 1
∴△MAE∽△CDM.∴ = .∵AE=1,DC DM AM=a
,CD=3,DM=4-a,∴ ,解得3=4-a
a=1或a=3.当a=1时,MG=32;当a=3时,MG= 10.
(3)解:(i)当点M 在线段AD 上时,如图.
过M 作MH⊥BC 于H,则∠MHG=∠AMH=90°.∴∠AME+∠EMH=∠HMG+
MG MH MG 3
∠EMH=90°,∴∠HMG=∠AME.∴△HMG∽△AME.∴ME =MA .∴ = .a2+1 a
·15·
3 a2+1 由()知,FM DM FM 4-a
(4-a)a2+1
∴MG= a . 1 EM=
, , ,
AM ∴ = a ∴FM= a ∴EF=a2+1
4 a2+1 1· · 1 4 a
2+1 3 a2+1 6(a2+1)
EM+FM= a .∴S=2 EF MG=
· ·
2 a a = a2 .
(i)当点M 在线段AD 延长线上时,如图,过M 作MH⊥BC 于
3 a2+1
H,则∠MHG=∠AMH=90°.同(i)可得 MG= ,由a DF∥
,得FM DM, FM a-4
(a-4)a2, +1AE EM =AM ∴ = ∴FM=
,∴
a2+1 a a
4 a2+1 2, 1· · 1·4 a +1·3 a
2+1 6(a2+1)
EF=EM-FM= a ∴S=2 EF MG=2 a a = 2 .
综
a
(2 )
上所述, 6a +1 6△EFG 的面积S= a2 =6+a2.S
的最小整数值为7.
3.2 三角形的“四心”
1.D 解析:分别作三角形ABC 内角和外角的平分线,共有4个交点.
2.D 解析:第1个图形有4个三角形;第2个图形在第1个图形基础上增加4个,所以是
8个三角形;每增加一个正方形,三角形就多4个.所以第n 个图形中三角形的个数是4n.
3.35° 70° 解析:“平行线+角平分线”构造相等的角,可得∠DEB=∠ABE=35°,
∠ADE=35°+35°=70°.
α
4.2009 解析:由题意得
180°-∠ABC-∠ACB
2 ∠A=180°-∠ABC-∠ACB.∠A1=
;
2
180°-∠ABC-∠ACB;……,所以 180°-∠ABC-∠ACB α∠A2= 22 ∠A2009= 22009 =22009.
5.证明:设O1,O2,O3是△APS,△BQP,△CSQ 的外心,作出六边形O1PO2QO3S 后再
由外心性质可知:∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠B,∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P
+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°.将△O2QO3绕着O3点
旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3
1 1 1
=∠KO1O3= ( ) (2∠O2O1K=2 ∠O2O1S+∠SO1K =2 ∠O2O1S+∠PO1O2
)=
1 ;同理有
2∠PO1S=∠A ∠O1O2O3=∠B.
故△O1O2O3∽△ABC.
·16·
3.3 圆
3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(1)证明:如图,连接OC,∵AB⊥CD,AB 是☉O 的直径,
∴B︵C=B︵D,∠CEO=90°,∴∠CAB=∠DAB,∴∠DAC=2∠CAB,又∵∠COB=2
∠CAB,∴∠DAC=∠COB,∵∠DCP=∠DAC,又在Rt△CEO 中,∠CEO=90°,∠ECO+
∠COB=90°.∴∠ECO +∠DCP=90°,∴∠PCO=90°.∴OC⊥PC,又OC 为☉O 的半径,∴
PC 是☉O 的切线.
()解: , 1 12 ∵AB⊥CD ∴CE=DE=2CD=2×6=3
,在Rt△ACE 中,AC=5,CE=3,∴
AE= AC2-CE2=4,设☉O 的半径为R,在Rt△OCE 中,OC=R,OE=AE-OA=4-R,
∵OE2+CE2=OC2,∴(4-R)2+32=R2,解得
25, 25R= ∴OC= ,
25 7
8 8 OE=4-8=
,
8
∵∠EOC=∠DCP,
PC CE PC 3 75
∴Rt△PCE∽Rt△COE,∴ = ,即 ,OC OE 25=7 ∴PC=7.
8 8
2.(1)证明:如图所示,连接CM,CO.∵AO 为直径,∴∠ACO=90°(直径所对的圆周角等
于90°),又∵CO⊥AP,OA=OP,∴C 为AP 的中点.又∵M 为AO 中点,∴MC 为中位线,
∴MC∥OP.又∵CD⊥OP,∴∠MCD=90°(两条直线平行,内错角相等).又∵MC 为☉M 的
半径,∴CD 是小半圆M 的切线.
(2)解:①连接PB,由(1)题,可知∠PCO=90°,CD⊥OP,∴Rt△ODC ∽Rt△CDP,
OD DC
∴ = ,DC PD ∴DC
2=OD·PD,即y=(4-x)x,∴y=-x2+4x(0·17·
②当y=3时,-x2+4x=3,解得x1=1,x2=3,∴P,M 两点之间的距离有下面两种
情况:
a:当PD=1时,如图甲所示;b:当PD=3时,如图乙所示.
a:如图甲所示,当
1
PD=1,CD= 3时,PC= 12+(3)2=2,∴PD= PC,2 ∴∠PCD=
30°,∴∠APD=60°,∴△AOP 是等边三角形.∴PM= OP2-OM2= 42-22=23.
b:如图乙所示,当
1
PD=3,CD= 3时,OC= (3)2+12=2= OA,2 ∴∠PAB=30°
,
1
∴∠POB=60°,∴OE= , 2 2 ,2OP=2PE= 4-2 =23 ∴PM= 4
2+(23)2=27.
3.3.2 点的轨迹
1.A
5 15 20 5
2.(1)t= s时,S 取得最大值 ;(2)t= s时,四边形2 8 13 PQP'C
为菱形;(3)当t=2s
或 40 25t= s或t= s时,△APQ 是等腰三角形13 13 .
3.解:(1)在Rt△ADH 中,DH2=AD2-AH2,∴DH=27,HC=DC-DH=27,
∴H为DC 中点,又∵AH⊥DC,∴AC=AD=7.
ì 3t2 ( 70≤t≤ 3 )


(2)S= 133 2 843 983(7í- 5 t + 5 t- 5 3
23 2 283 983 3t - 3 t+
(
3 4)

(3)①当CM=MN 时,根据题意得CF'=G'F'=CG'=14,如图1,过点C 作CJ⊥G'F'
·18·
于点J,根据“三线合一”得,G'J=7,∴CJ= 142-72 =7 3,∵∠CNM =∠MCN =
3
∠ACH,∴tan∠CNM=tan∠MCN=tan∠ACH= ,2 ∴JN=14
,∴CN=77.过点 M 作
于 点 , 7 , 3 7MI⊥CN I ∴CI = 2 7 ∵tan∠MCN =
, ,
2 ∴IM = 4 21 ∴CM =
(7 227) + (
7
4 21)
2 49
=4.
图1 图2
②当MN=NC 时,则∠CMN=∠MCN=∠ACH,如图2,过点C 作CT⊥G'F'于点T,
由①知
3
CT=73,∵tan∠CMN=tan∠ACH= ,∴TM=14,∴CM= 142+(73)22 =
77.
所以存在点 M,N,使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形,此时CM=7 7
或49
4.
第三部分 衔接达标检测
衔接达标检测卷
一、1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D
二、9.<4且k≠0 10.-2 11.(-3,1) (0,4) -1(2)-10或2 14.二 15.65° 16.(3022,0) 17.(-3,4) 18.4或6
三、19.(1)1 (2)1
6 6 21
20.(1)x1=1+2 x2=1-
(
2 2
)x1=5 x2=4
解:() 由 (, ) , (,) 得:a×1+b×
(-1) 和a×4+b×221. 1 ① T 1 -1 =-2T 42 =1 2×1-1 =-2 2×4+2 =
·19·
1,即{a-b=-2 a=1,解得 .4a+2b=10 {b=3
(,) x+3y {T(2m,5-4m)≤4 -10m≤5②由①得T xy = ,则不等式组 可化为 ,解得2x+y T(m,3-2m)>p {-5m>3p-9
1 9-3p {T(2m,5-4m)≤4因为不等式组 恰好有 个整数解,所以 9-3p-2≤m< 5 . 3 2< 5 ≤3,T(m,3-2m)>p
解得 1-2≤p<-3.
(2)因T(x,y)=T(y,),所以
ax+by ay+bx
x = .即(ax+by)(x+2y)=(ay+bx)(2x+y 2y+x
2x
+y).即有(a-2b)x2+(2b-a)y2=0对于任意实数x,y 都成立,故a-2b=0,所以a=2b.
22.解:(1)∵DB=CB,∴∠BDC=∠BCD.∵∠CDB=38°,∴α=∠BDC+∠BCD=
76°.即护墙与地面的倾斜角α的度数为76°.
(2)如图,过点E 作EG⊥FB,过点M 作MN⊥FB,G,N 为垂足.
∵EG⊥FB,MN⊥FB,∴EG∥MN.又∵点M 是线段EF 的中点,∴点N 是线段FG 的
中点.∴MN 是△EFG 的中位线.∴EG=2MN=2×1.9=3.8(m).即E 点离地面FB 的高度
为3.8m.
(3)如图,延长AE 交PB 于点H.
在 AH AH AH AHRt△AQH 中,由tan∠AQH= ,得QH= ,同理,QH tan60°= PH=3 tan45°
=AH.
1
∵PQ=4,∴AH- AH=4,解得AH≈9.46.∴AE=AH-EH=9.46-3.8≈5.7(m).∴旗
3
杆AE 的高度约为5.7m.
·20·
解:() 123. 1 ∵y= x2+bx+c与x 轴交于A(5,0),B(-1,0)两点,4
ì 25
4+5b+c=0 ì b=-1
∴ í ,解得 í .
1 5
-b+c=0 c=- 4 4
∴抛物线的解析式为
1 2 5y=4x -x-4.
(2)过点A'作A'E⊥x 轴于E,AA'与OC 交于点D,∵点C 在直线y=2x 上,∴C(5,
10),∵点A 和A'关于直线y=2x 对称,∴OC⊥AA',A'D=AD.∵OA=5,AC=10,∴OC
1 1
= OA2+AC2= 52+102=55.∵S△OAC= ·2OC AD=2OA
·AC,∴AD=25.∴AA'
=45.在Rt△A'EA 和Rt△OAC 中,∵∠A'AE+∠A'AC=90°,∠ACD+∠A'AC=90°,
A'E AE
∴∠A'AE=∠ACD.又∵∠A'EA=∠OAC=90°,∴Rt△A'EA∽Rt△OAC.∴OA =AC=
AA' 即A'E AE 45 , 点 的坐标为( ,)
OC . 5 =10= .∴A'E=4AE=8.∴OE=AE-OA=3.∴ A' -34 .55
当 1 5x=-3时,y= (4× -3
)2+3-4=4.
所以,点A'在该抛物线上.
(3)存在.理由:设直线CA'的解析式为y=kx+b,图像过A'(-3,4),C(5,10).
ì 3
5k+b=10 k=
则{ 4, 解得 í .∴直线CA'的解析式为 3 25y=4x+ .-3k+b=4 25 4
b= 4
设点P 的坐标为 (x,1 2 5 ,则点 3 254x -x-4 ) M 为 (x, , 要使四边4x+4 ) .∵PM∥AC ∴
形PACM 是平行四边形,只需PM=AC.又点 M 在点P 的上方, (3 25∴ 4x+4 )- (
1
4x
2-x
5 9
-4 )=10.解得x1=2,x2=5(不合题意,舍去).当x=2时,y=-4.∴当点P 运动到 (2,
9
- ) 时,四边形4 PACM 是平行四边形.
·21·
24.(1)证明:在矩形 ABCD 中,AB=CD,AB∥CD,∠A=∠C=90°.∴∠ABD=
∠CDB.由翻折得,AB=BE,CD=DF,∠A=∠HEB,∠C=∠GFD,∠ABD=2∠HBE=
ì∠HBE=∠GDF

∠CDB=2∠GDF.在△BHE 和△DGF 中,í∠HEB=∠GFD,∴△BHE≌△DGF.

BE=DF
(2)解:设FG=x,则CG=x,BG=8-x.在Rt△BCD 中,∠C=90°,BD= BC2+CD2=
82+62=10,∴BF=BD-DF=BD-CD=10-6=4,在Rt△BFG中,∠BFG=90°,BG2=BF2+
FG2,则(8-x)2=42+x2,解得x=3.故线段FG 的长为3.
25.解:(1)所有可能的结果如下表:
B
A 4 6 7 8
1 (1,4)(1,6)(1,7)(1,8)
2 (2,4)(2,6)(2,7)(2,8)
3 (3,4)(3,6)(3,7)(3,8)
5 (5,4)(5,6)(5,7)(5,8)
一共有16种结果,各种结果出现的可能性相同,P(和为偶数)
6 3
= = ,所以A 班去参16 8
赛的概率为3
8.
(2)由(1)列表的结果可知:
3 5
A 班去的概率为 ,B 班去的概率为 ,所以游戏不公平,对8 8
B 班有利.游戏规则改为:若和为偶数则A 班得5分,若和为奇数则B 班得3分,则游戏是公
平的.
26.解:(1)∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,在△ADE 中,∵∠A=90°,∴tan∠ADE
AE
= ,∵AD=1·t=t,∴AE= 3t,又∵四边形ADFE 是矩形,
1
AD ∴S△DEF=S△ADE=2AD
·
1 3 3
AE= ·t· 3t= t2(2 2 0≤t<3
),∴S= t2(0≤t<3)2 .
(2)过点O 作OG⊥BC 于G,过点D 作DH⊥BC 于H,
·22·
∵DE∥BC,
DH
∴OG=DH,∠DHB=90°,在△DBH 中,sinB= , ,BD ∵∠B=60°BD=
3 3 1
AB-AD,AD=t,AB=3,∴BD=3-t,DH= (2 3-t
),∴OG= (2 3-t
).当OG=2DE
时,☉O 与
AD 1
BC 相切,在△ADE 中,∵∠A=90°,∠ADE=60°,∴cos∠ADE= = ,DE 2 ∵AD
=t,
3
∴DE=2AD=2t,∴2t= (2 3-t
)×2,∴t=63-9,∴当t=63-9时,☉O 与直线
BC 相切.
1
27.解:(1)函数y= (x>0)不是有界函数;函数x y=x+1
(-4图所示:
∵-4∴这个函数的边界值为3.
(2)∵在函数y=-x+1中,y 随x 的增大而减小,∴当x=a 时,y最大=-a+1,又∵这
个函数的最大值是2,∴-a+1=2,解得a=-1.当x=b时,y=-b+1,∵这个函数的边界
值是2,∴-2≤-b+1<2,解得-1a,a=-1,∴b>-1.综上,-1(3)当m>1时,如图所示:
函数图像向下平移 m 个单位后,得到的抛物线解析式为y=x2-m,令x=0,则y=
-m,
3
∵m>1,∴y<-1,∴t>1,∵4≤t≤1
,∴m>1时不符合题意,舍去;当0≤m≤1时,
如图所示:
·23·
此时平移后的函数最大值是 ,最小值是 , 当 ,即 11-m -m ① 1-m>|-m| m< 时,2 t=
, 3 3 11-m ∵ ≤t≤1,∴ ≤1-m≤1,解得0≤m≤ ,符合题意;②当4 4 4 1-m<|-m|
,即m>
1时, 3 3t=m,∵ ≤t≤1,∴ ≤m≤1,符合题意 综上所述,当
1或3. 0≤m≤ ≤m≤1时,满2 4 4 4 4
足3
4≤t≤1.
·24·

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