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(共38张PPT)
5.2 一元一次方程的解法
第五章 一元一次方程
知1－讲
感悟新知
知识点
等式的基本性质
1
1. 等式的基本性质
等式的基本性质 用文字表示 用字母表示
基本性质 1 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 a±c=b±c
基本性质 2 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 ac=bc，=(c ≠ 0)
感悟新知
2.等式的其他性质
(1)对称性：若 a=b，则 b=a；
(2)传递性：若a=b， b=c，则a=c.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别解读
1.等式的基本性质变形中两个“同”：一是等式两边要参与同一种运算，二是加、减、乘或除以的是同一个数或整式.
2.利用等式的基本性质进行变形时，除以同一个数或除以同一个整式时，这个数或整式不能为0.
知1－练
感悟新知
下列变形不正确的是( )
A.若 a=b，则 2a=a+b
B.若 a=b，则 a－b=0
C. 若 =，则 a=b
D.若 ac=bc，则 a=b
例1
知1－练
感悟新知
解：选项 A 的变形是利用等式的基本性质 1， 两边同时加 a，故正确；选项 B 的变形是利用等式的基本性质 1，两边同时减 b，故正确；选项 C 的变形是利用等式的基本性质 2，两边同时乘 c，故正确；选项 D 的变形是利用等式的基本性质 2， 两边同时 除以 c， 但没有说明 c ≠ 0，故 D 的变形是错误的 .
解题秘方：依据等式的两条基本性质进行辨析 .
答案：D
知1－练
感悟新知
1-1.如果m=n，那么下列等式一定成立的是( )
A.m－3=n+3
B.3m+2=3n+2
C.5m=－5n
D. =
B
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知2－讲
知识点
利用等式的基本性质解一元一次方程
2
利用等式的基本性质解一元一次方程的步骤 :
第一步 : 利用等式的基本性质 1，在方程左、右两边同时加(或减)同一个代数式，使方程化为 ax=b( a ≠ 0)的形式 .
第二步 : 利用等式的基本性质 2, 在方程左、右两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为 1，从而使方程化为
x= 的形式 .
知2－讲
感悟新知
注意：
一般地，从方程中解出未知数的值以后，可以将其代入原方程检验，看这个值是否使原方程的左、右两边相等.
知2－讲
感悟新知
特别解读
1.方程的两边所进行的运算必须完全相同，这样才能保证方程的解不变.
2.利用等式的基本性质解方程的实质是将方程转化为x=a(a 是常数)的形式，即求出未知数的值 .
感悟新知
知2－练
[母题 教材 P140 例 1 ]利用等式的基本性质解方程：
(1)3x－2=7； (2) x+3= x－1.
例2
解题秘方：注意等式的基本性质在解方程中的运用， 即根据题目特点，运用等式的基本性质，将方程变形为 x=a( a为常数)的形式 .
知2－练
感悟新知
解：3x－2=7.
方程两边都加 2，得 3x－2+2=7+2，
即 3x=9.
方程两边都除以 3，得 x=3.
(1)3x－2=7
等式的基
本性质1
等式的基
本性质 2
知2－练
感悟新知
解：x+3= x－1.
方程两边都减 3，得 x+3－3= x－1－3，
即 x= x－4，
方程两边都减 x，得 x－ x= x－4－ x，
即 － x= － 4，
方程两边都除以 － ，得 x=24.
(2) x+3= x－1.
等式的基
本性质1
等式的基
本性质 2
等式的基
本性质1
知2－练
感悟新知
2-1.下列方程的变形，符合等式的基本性质的是( )
A. 由 2x－3=7 得 2x= 7－3
B. 由 2x－3=x－1 得 2x－ x=－1－3
C. 由 －3x=5 得 x=5+3
D. 由 － x=1 得 x=－4
D
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知3－讲
知识点
利用移项解一元一次方程
3
1. 移项 把方程中某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项 . 移项要注意变号 .
2. 移项的依据 移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加(或减) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 .
感悟新知
3. 移项解一元一次方程的步骤
(1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；
(2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且 a ≠ 0)的形式；
(3)未知数的系数化为 1： 得到方程的解 x= .
知3－讲
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特别解读
移项与加法交换律的区别：
移项是在等式中，把某些项从等号的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号.
知3－讲
知3－练
感悟新知
[母题 教材 P142 例 4 ]解下列方程：
(1)8－3x=x+6；(2) x － 1=3+ x.
例3
解题秘方：利用移项解一元一次方程的步骤： 移项 → 合并同类项→未知数的系数化为 1.
知3－练
感悟新知
解： 移项，得 －3x－x=6 － 8.
合并同类项，得 －4x=－2.
方程两边都除以 － 4，得 x= .
(1)8－3x=x+6
知3－练
感悟新知
解：移项，得 x － x =3+1.
合并同类项，得 －x=4.
方程两边都除以 －1，得 x=－4.
(2) x － 1=3+ x.
知3－练
感悟新知
3-1.解下列方程：
(1)2x－3=x；
(2)5x－2=7x+8；
解：移项，得2x－x＝3.
合并同类项，得x＝3.
移项，得5x－7x＝8＋2.
合并同类项，得－2x＝10.
方程两边都除以－2，得x＝－5.
知3－练
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(3)3x+4=2x+1－3x；
(4)－2x－ =x+ .
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知4－讲
知识点
利用去括号解一元一次方程
4
1.在解方程时，把方程中含有的括号去掉的过程叫作去括号 .
2.解含有括号的一元一次方程的步骤
(1) 去括号(按照去括号法则去括号)；
(2) 移项；
(3) 合并同类项；
(4) 未知数的系数化为 1.
3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号.
感悟新知
知4－讲
知4－讲
感悟新知
特别提醒
★去括号的目的是能利用移项解方程，其实质是乘法分配律 .
★解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同 .
知4－练
感悟新知
解方程： 4x+2(4x－3) =2－3(x+1) .
例4
解题秘方：按“去括号→移项→合并同类项→未 知数的系数化为 1” 的步骤解方程 .
知4－练
感悟新知
解：去括号，得得 4 x+8x－6=2－3x－3.
移项，得 4 x+8x+3x=2－3+6.
合并同类项，得 15x=5.
方程两边都除以 15，得 x= .
知4－练
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4-1.若 2(a+3)的值与4 互为相反数，则 a 的值为( )
A.－1 B.－ C.－5 D.
C
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知5－讲
知识点
利用去分母解一元一次方程
5
1. 解含有分母的一元一次方程时，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母 .
感悟新知
知5－讲
2. 解含有分母的一元一次方程的步骤
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项；
(4)合并同类项；
(5)未知数的系数化为 1.
知5－讲
感悟新知
特别解读
★去分母依据的是等式的基本性质2.
★去分母的目的是将分数系数化为整数系数 .
感悟新知
知5－练
解方程： +4= － .
例5
解题秘方：按“ 去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数的系数化为 1”的步骤解方程 .
知5－练
感悟新知
解：去分母，得 2( x+5) +24=3(x+3) －(5x－2) .
去括号，得 2 x+10+24=3x+9－5x+2.
移项，得 2 x－3x+5x=9+2－10－24.
合并同类项，得 4 x=－23.
方程两边都除以 4，得 x=－ .
知5－练
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5-1.解下列方程：
(1) = ；
知5－练
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(2) +1= ；
解：去分母，得x＋3＝2x＋1.
移项，得x－2x＝1－3.
合并同类项，得－x＝－2.
系数化为1，得x＝2.
知5－练
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(3) － =－2；
解：去分母，得5(x＋2)－3(2x－3)＝－30.
去括号，得5x＋10－6x＋9＝－30.
移项，得5x－6x＝－30－10－9.
合并同类项，得－x＝－49.
系数化为1，得x＝49.
知5－练
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(4)2－ = .
解：去分母，得12－2(2x＋1)＝3(1＋x)．
去括号，得12－4x－2＝3＋3x.
移项，得－4x－3x＝3－12＋2.
合并同类项，得－7x＝－7.
系数化为1，得x＝1.
一元一次方程的解法
移项
x=a 的形式
解一元
一次方程
等式的基本性质
去括号
去分母(共19张PPT)
☆问题解决策略：直观分析
第五章 一元一次方程
知1－讲
感悟新知
知识点
利用表格法解一元一次方程的应用题
1
1. 列表格的方法
第一行表明问题中涉及的三个重要物理量，例如路程、速
度、时间等 .
第一列表明完成本题的过程，例如分类、步骤、方法等 .
感悟新知
2. 列表格的步骤
(1) 审题
列方程解应用题的关键是：首先，通过认真读题，找出等量关系，即找出题中的已知量、未知量及数量关系，其次，抓住题中反映相等关系的关键字词 . 例如 “比”“是”“少”“共”……最后，总结一些常见题型的等量关系：路程 = 速度 × 时间，工作量 = 工作效率 × 工作时间，总价 = 单价 × 数量，逆水速度 = 静水速度 －水流速度，顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，利润 = 售价－进价等公式 .
知1－讲
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(2)设计
问题中通常涉及两者之间的各种数量的比较，例如“骑自行车与乘汽车”“原计划与实际”“甲与乙”等，列表时表格横向表示各数量，纵向表示两者的比较，要能容纳题中所有数量关系 .
知1－讲
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(3) 填表
边读题边将已知量填入表中， 再填数量关系， 最后填未知量及含未知量的代数式， 填过后一定会余下一个等量关系供列方程使用 .
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别解读
利用表格法解一元一次方程的应用题的口诀：
应用题，不要慌，画个表格来帮忙，
一列分清两对象，二列写上已知量，
未知者，紧跟上，套公式，填未量，
未量自然存等量，等量找出方程亮 .
知1－练
感悟新知
[母题 教材 P161T14 ]某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，成人票每张 80 元，学生票每张
50 元，共售出1 000 张票，筹得票款 69 500 元，成人票与学生票各售出多少张？
例1
知1－练
感悟新知
解题秘方：本题主要考查了一元一次方程的应用 , 厘清题里蕴含的数量关系 : ①成人票张数 + 学生票张数 =1 000 张，②成人票票款 + 学生票票款 =69 500 元是解题关键 .
知1－练
感悟新知
解：设售出的成人票为 x 张，列表分析如下：
根据题意，得 80x+50×(1 000－x) =69 500，
解得 x=650. 所以 1 000－650=350(张) .
因此，售出成人票 650 张，学生票 350 张 .
单价 /(元 / 张) 数量 / 张 总票款 / 元
成人票 80 x 80x
学生票 50 1 000－x 50×(1 000－x)
知1－练
感悟新知
1-1.某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺 栓 15 个或螺母 21个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套 ( 两个螺栓配三个螺母 )
知1－练
感悟新知
感悟新知
知2－讲
知识点
利用示意图法解一元一次方程的应用题
2
示意图法
解一元一次方程的应用题，最关键的就是找到等量关系，
列出方程 . 利用示意图法可以更加直观地找出并找准等量
关系 .
示意图有线段图、框图、树状图等 .
知2－讲
感悟新知
特别解读
“一图顶千言”，画示意图是指将实际数学问题中隐蔽复杂的内涵条件以及复杂的数量关系画出示意图，用几何图形直观形象地表示出来 .这样容易从整体上把握题目.
感悟新知
知2－练
某校大学生军训时，沿着与铁路并列的公路匀速前
进，每小时走 4 500 米，一列火车以每小时 120 千米的速度迎面开来，测得从火车车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇共经过 60 秒，如果队伍长 500 米，那么火车长多少米？
例2
知2－练
感悟新知
解题秘方：首先我们要找准等量关系，队伍和火车的速度都是已知的，相遇问题的时间也已确定，那么就要表示出走过 的路程之和， 我 们可以 画出如图 5-1 所的示意图， 可以直观地发现，队伍行进路程与火车行驶的路程之和就是队伍长度与火车长度之和，本题要注意的是，单位要统一 .
知2－练
感悟新知
解：设火车长 x 千米 .60 秒 = 小时，
4 500 米 =4.5 千米，500 米 =0.5 千米 .
根据题意，得 ×(4.5+120) =x+0.5.
解得 x=1.575. 1.575 千米 =1 575 米 .
因此，火车的长为 1 575 米 .
知2－练
感悟新知
2-1.甲、乙两人同时以 4 km/h 的速度从A 地出发到 B 地办事，走了 2.5 km 时，甲要回去取一份文件，他以 6 km/h的速度往回走，取到文件后以同样的速度追赶乙，结果他们同时到达 B 地，已知甲取文件时在办公室里耽误了 15 min，求 A，B 两地的距离．
知2－练
感悟新知
问题解决策略：直观分析
示意图法
一元一次方
程的应用
表格法(共39张PPT)
5.1 认识方程
第五章 一元一次方程
知1－讲
感悟新知
知识点
等量关系与方程
1
1. 找等量关系的常用方法
①根据几何图形的周长、面积、体积公式确定等量关系；
②根据题目中的不变量确定等量关系；
③根据关键词确定等量关系， 如“ 一共有 ……”“ 比 ……多……”“比……少……”通常表示和差关系，“是……的几倍”通常表示倍数关系 .
感悟新知
2. 方程的定义： 含有未知数的表示量相等的等式称为方程 .
3. 方程与等式的区别与联系
(1)方程一定是等式，等式不一定是方程；
(2)方程中含有未知数，而等式中不一定含有未知数 .
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒
准确找出等量关系是列方程的关键 .
知1－练
感悟新知
[母题 教材 P138 习题 T1(1) ] 语句“ x 的 3 倍比 y 的 大 7” 用方程表示为_____________ .
例1
3x－ y=7
知1－练
感悟新知
解：x 的 3 倍即 3x， y 的 即 y，
用方程表示为 3x－ y=7.
解题秘方：本题考查根据语句寻找等量关系，找出语句中的关键词(如：多、少、倍、共、增加、减少等)是解题关键 .
知1－练
感悟新知
1-1.下列所给条件 , 不能列出方程的是( )
A. 某数比它的平方小 6
B. 某数加上 3，再乘以2 等于 14
C. 某数与它的差
D. 某数的 3 倍与 7 的和等于 29
C
知1－练
感悟新知
下列各式中，属于方程的是( )
A.6+(－2)=4
B. x－2
C.7x>5
D.2x－1=5
例2
知1－练
感悟新知
解：A.6+(－2) =4 不含未知数，不是方程；
B. x－2 不是等式，故不是方程；
C.7x>5 不是等式，故不是方程；
D.2x－1=5 是含有未知数的等式，是方程 .
解题秘方：本题考查方程的定义， 熟悉方程的定义及方程与等式的区别是解题关键 .
答案：D
知1－练
感悟新知
2-1.下列各式中，是方程的有( )
① r=0；② 3x－5=2x+1；③ 2x+6；④ x－y=0；
⑤ = 5y+3； ⑥ a2+a －6=0.
A.5 个 B.4 个
C.3 个 D.2 个
A
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知2－讲
知识点
一元一次方程
2
1. 一元一次方程的定义
在一个方程中， 只含有一个未知数， 且方程中的代数式都是整式， 未知数的次数都是 1， 这样的方程叫作一元 一次方程 . 例如： x+1=0 是一元一次方程 .
感悟新知
知2－讲
2. 一元一次方程必须满足三个条件 :
①只含有一个未知数；
②方程的分母中不含字母(即为整式方程)；
③ 未知数的次数都是 1.
3. 一元一次方程的标准形式
任何一个一元一次方程 变形后总可以化为 ax+b=0 的形式，其中 x 是未知数， a， b 是已知数，且 a ≠ 0. 我们把ax+b=0 叫作一元一次方程的标准形式 .
知2－讲
感悟新知
特别解读
一元一次方程中的未知数”，“次”指“未知数的次数”，“整式”指分母不含未知数 .
感悟新知
知2－练
下列方程中，哪些是一元一次方程？
① x+y=1 － 2y； ② 7x+5=7(x－2)；
③ 5x2－ x－2=0； ④ =5；
⑤ x= ； ⑥ 2x2+5=2( x2－x) .
例3
知2－练
感悟新知
解题秘方：利用一元一次方程的定义进行判断 .
解：①含有两个未知数；② 化简后 x 的系数为 0；
③未知数 x 的最高次数为 2；
④等号左边不是整式；
故方程①②③④不是一元一次方程 .
⑤⑥符合一元一次方程的定义 .
故方程⑤⑥是一元一次方程 .
判断是否为一元一次方程时不仅要看原方程，还要看化成标准形式后a是否为0.
知2－练
感悟新知
3-1.在方程 3x－y=2，x+ －2=0， x= ， x2－2x－3=0 中，一元一次方程有( )
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
A
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知2－练
若( m+2) x|m| － 1=4 是关于 x 的一元一次方程，
求 m 的值 .
例4
知2－练
感悟新知
解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的次数为 1，系数不为 0，据此求待定字母的值 .
解：根据题意，可得 |m|－1=1，且 m+2 ≠ 0.
由 |m|－1=1，得 |m|=2.
根据绝对值的意义，可得 m=± 2.
由 m+2 ≠ 0，得 m ≠ －2，所以 m=2.
知2－练
感悟新知
4-1. 若关于 x 的方程2xa－9=0 是一元一次方程，则 a=________ .
1
知2－练
感悟新知
4-2. 已知方程(m－1) x|m|+5=0 是关于 x 的一元一次方程 .
(1)求 m 的值；
(2)写出这个一元一次方程 .
解：因为方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程，所以m－1≠0，且|m|＝1，所以m＝－1.
由(1)得这个一元一次方程为－2x＋5＝0.
感悟新知
知3－讲
知识点
方程的解
3
方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 .
特别提醒： 方程的解与解方程的关系：
(1)方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程；
(2)方程的解是通过解方程求得的 .
知3－讲
感悟新知
特别解读
方程的解可能不止一个，也可能无解 .如x=1 和 x=2 都是方程 x2－3x+2=0 的 解，而方程|x|=－2 无解 .
知3－练
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[母题 教材 P137 随堂练习 T2 ]检验下列各未知数的值是不是方程 5x － 2=7+2x 的解，并写出检验过程 .
(1) x=2； (2) x=3.
例5
解题秘方：紧扣方程的解的定义，将 数值代入方程左、右两边，看方程左、右两边的值是否相等进行检验 .
知3－练
感悟新知
解：将 x=2 分别代入方程的左边和右边，
得左边 =5× 2－2=8，右边 =7+2× 2=11.
因为左边≠ 右边，
所以 x=2 不是方程 5x－2=7+2x 的解 .
(1) x=2
知3－练
感悟新知
解：将 x=3 分别代入方程的左边和右边，
得左边 =5× 3－2=13，右边 =7+2× 3=13.
因为左边 = 右边，所以 x=3 是方程 5x－2=7+2x 的解 .
(2) x=3.
知3－练
感悟新知
5-1.下列方程中解为x=2 的是( )
A.2x=6
B.－ x=1
C.2+x=0
D.2x－1=3
D
知3－练
感悟新知
5-2.检验下列各题大括号内的值是否为相应方程的解：
(1)2x－3=5( x－3)； ｛ x=6， x=4｝
解：将x＝6分别代入方程的左边和右边，
得左边＝2×6－3＝9，右边＝5×(6－3)＝15.
因为左边≠右边，所以x＝6不是该方程的解．
将x＝4分别代入方程的左边和右边，
得左边＝2×4－3＝5，右边＝5×(4－3)＝5.
因为左边＝右边，所以x＝4是该方程的解．
知3－练
感悟新知
(2)4x+5=8x－3. ｛ x=3， x=2｝
解:将x＝3分别代入方程的左边和右边，
得左边＝4×3＋5＝17，右边＝8×3－3＝21.
因为左边≠右边，所以x＝3不是该方程的解．
将x＝2分别代入方程的左边和右边，
得左边＝4×2＋5＝13，右边＝8×2－3＝13.
因为左边＝右边，所以x＝2是该方程的解．
知3－练
感悟新知
已知关于 x 的方程 3a－x= +3 的解是 x=4，求a2－2a 的值 .
例6
知3－练
感悟新知
解题秘方：利用方程的解的定义，将已知的解代入方程，求出待定字母的值， 再将待定字母的值代入所求代数即可得解 .
解：把 x=4 代入方程 3a－x= +3 ，得 3a－4=2+3，
解得 a=3.
当 a=3 时， a2－2a=32－2× 3=3.
知3－练
感悟新知
6-1.已知 y=1 是方程my=y+2 的解，求 m2 － 3m+1 的值 .
解：把y＝1代入方程my＝y＋2，得m＝3.
当m＝3时，m2－3m＋1＝9－3×3＋1＝1.
感悟新知
知4－讲
知识点
列一元一次方程
4
1. 列一元一次方程的一般步骤
(1) 审题： 提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语(如多、少、倍……) .
(2) 分析： 厘清问题中的关系，找出等量关系 .
(3) 建模： 设出未知数，并用含有未知数的代数式表示等量关系中的量，将问题转化为方程，可直接或 接设未知数 .
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2. 列一元一次方程的基本思路
实际问题 一元一次方程
设未知数
列方程
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方法点拨
设未知数的两种方法
①直接设未知数，题目中求什么就设什么为x；
②间接设未知数 : 当直接设未知数难以列方程时，可以设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题目中要求的量.
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洪水无情人有情， 爱心捐款传真情 . 某校三个年级为洪水重灾区捐款， 经统计， 七年级 捐 款数占全校
三个年级捐款总数的 ， 八年级捐款数是全校三个年级捐款总数的平均数， 已知九年级捐款 1 964 元， 求其 他两个年级的捐款数 . 若设七年级捐款数为 x 元，则可列方程为_________________.
例7
x+ x+1 964= x
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解题秘方：从现实生活或 具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程表示数学问题中的数量关系，体现了模型观念 .
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解：因为七年级捐款数为 x 元，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 ， 所以三个年级总的捐款数为 x÷ = x(元)，故八年级的捐款数为 x÷ 3= x(元)，根据题意，得 x+ x+1 964= x.
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7-1. A 种饮料比 B 种饮料的单价少 1 元，小峰买了 3 瓶 A 种饮料和 4 瓶 B 种饮料，一共花了 18 元 . 如果 设 B 种饮料的单价为 x 元，那么下面所列方程中正确的是( )
A.3x+4( x－1)=18 B.3(x+1)+4x=18
C.3x+4( x+1)=18 D.3(x－1)+4x=18
D
认识方程
建模
实际问题
方程的解
方程
一元一
次方程
特例(共53张PPT)
5.3 一元一次方程的应用
第五章 一元一次方程
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知识点
等积变形问题
1
1. 等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变 . 等积变形问题中的等量关系为变化前图形的面积或物体的体积 = 变化后图形的面积或物体的体积 .
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2. 易错警示 等积变形问题中涉及求圆柱体积时，会用到圆柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是半径 .
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知1－讲
知识链接
常见立体图形的体积公式：
1. V正方体=a3(a为棱长)；
2. V长方体=abh(a， b分别为底面的长、宽， h为高)；
3. V圆柱=πR2h( R为底面半径， h为高) .
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用直径为 4 cm 的圆柱形钢材铸造 3 个直径为 2 cm，高为 16 cm 的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱形钢材？
例1
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解：设需要截取 x cm 长的圆柱形钢材 .
根据题意， 得 π×() 2× x=π× () 2 × 16× 3， 解得x=12.
因此，需要截取 12 cm 长的圆柱形钢材 .
解题秘方：紧扣题目中铸造前后的体积相等这一等量关系，列出方程解决问题 .
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1-1.有一圆柱合金，底面半径为 10 cm，高为64 cm. 若将其锻造成长方体工件，使长方体的长为 20π cm，高为32 cm，则长方体的宽为多少？
解：设长方体的宽为x cm.
根据题意，得20π×32·x＝102×π×64，
解得x＝10.
所以长方体的宽为10 cm.
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将装满水的底面直径为 40 cm，高为 60 cm 的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为 50 cm 的圆柱形水桶里(水不会溢出)，这时水面的高度是多少厘米？
例2
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解：设这时水面的高度是 x cm.
根据题意，得 π× () 2× 60=π× () 2· x，解得 x=38.4.
因此，这时水面的高度是 38.4 cm.
解题秘方：紧扣容器改变但水的体积没有变这一等量关系列方程求解 .
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解题通法：水放在不同的容器中， 只是水的“ 形 状” 发生了变化，但是水的体积不变 . 一定量的水注入某容器中，水的体积 = 容器的底面积 × 水面高度 .
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2-1. 用一个底面大小为 20 cm×20 cm 的长方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是8 cm，5 cm 和 10 cm的长方体铁盒内倒水 . 当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了______ cm.(长方体容器和长方体铁盒的壁厚忽略不计)
1
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知识点
等长变形问题
2
1. 等长变形是 指图形 或物体的形状发生变化， 但变化前后物体的周长不变 .
2. 一般用固定长度的线段围成不同形状的图形， 关 键是根据周长这一不变量列方程求解 .
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特别解读
“等长变形”关键是“等长”，即“形变”但“长不变” .
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知2－练
用一根长为 12 m 的铁丝围成一个长方形 .
(1)使得该长方形的长比宽多 2 m，此时长方形的长、宽各为多少米？面积为多少平方米？
(2)使得该长方形的长比宽多 1.6 m，此时长方形的长、宽各为多少米？此时长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？此时正方形的面积与(2)中的长方形面积相比又有什么变化？
例3
知2－练
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解题秘方：紧扣“等长”，即铁丝的长和长方形(正方形)的周长相等，列方程解决问题 .
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解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为( x+2) m.
根据题意，得 2( x+x+2) =12，解得 x=2.
此时长方形的长为 2+2=4( m)， 宽为 2 m，
面积为2× 4=8( m2) .
(1)使得该长方形的长比宽多 2 m，此时长方形的长、宽各为多少米？面积为多少平方米？
知2－练
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解：设此时长方形的宽为 y m，则它的长为(y+1.6) m.
根据题意，得 2( y+y+1.6) =12，解得 y=2.2.
此时长方形的长为 2.2+1.6=3.8( m)， 宽为 2.2 m，面积为 3.8× 2.2=8.36(m2) .
此时长方形的面积比(1) 中的长方形的面积增大了8.36－8=0.36(m 2) .
(2)使得该长方形的长比宽多 1.6 m，此时长方形的长、宽各为多少米？此时长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？
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解：设正方形的边长为 z m.
根据题意，得 4z=12，解得 z=3.
此时正方形的边长为 3 m，面积为 3× 3=9( m2) .
此时正方形的面积比(2) 中的长方形面积增大了
9－8.36=0.64( m2) .
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？此时正方形的面积与(2)中的长方形面积相比又有什么变化？
知2－练
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3-1. 用一根铁丝可围成边长为 9 cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多 2 cm 的长方形，则长方形的面积是多少？
解：设长方形的宽为x cm，则它的长为(x＋2)cm.
依题意得2x＋2(x＋2)＝9×4，解得x＝8.
则x＋2＝10.
所以长方形的面积为10×8＝80 (cm2)．
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3-2. 用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆 .已知正方形的边长比圆的半径长 2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积较大 .
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解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[ r+2(π－2)]m.
根据题意，得2πr＝4 [ r+2(π－2)] ，解得r＝4.
所以铁丝的长为2π×4＝8π(m)．
所以圆的面积为π×42＝16π(m2)，正方形的面积为
[ 4+2(π－2)] 2＝4π2(m2)．因为4π·4＞4π·π，所以16π＞4π2.
所以圆的面积大．
因此，这两根等长的铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
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知识点
“盈不足”问题
3
盈不足问题，也称为盈亏问题，是古代中国《九章算术》中研究的一种数学问题 . 这类问题涉及将一定数量的物品平均分配给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈(有余)，一次是亏(不足)；或者两次都盈；或者两次都亏时，求参加分配的物品总量及人员总数 .
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知3－讲
盈不足问题的基本运算公式为
( 盈 + 亏 )÷ ( 两次分得之差 )= 人数 .
每人所得数 × 人数 - 亏 = 物数 .
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解题通法
先求两次分配中各次共分物品的数量差，再求两次分配中分配者每份所得物品数量的差 . 用前一个差除以后一个差，就得到分配者的人数，进而求得物品数 .
此外，利用方程的思想来解决这类问题也更加直观和普遍 .
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[母题 教材 P149 例 2 ]我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹 . 每人六竿多十四，每人八竿恰齐足 .”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿 . 若每人拿 6 竿，则多 14 竿；若每人拿 8 竿，则恰好拿完 .”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数 .
例4
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解题秘方：本题考查了一元一次方程的应用， 可借 助 表格找出等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 .
设这个问题中的牧童人数为 x，列表如下：
有关量 每人拿 6 竿 每人拿 8 竿
拿竿数 / 竿 6x 8x
总竿数 / 竿 6x+14 8x
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解：设这个问题中的牧童人数为 x，
根据题意，得 6x+14=8x，解得 x=7.
因此，这个问题中的牧童人数为 7.
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4-1. [ 一模·德州 ] 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是 120 元，若按进价计算，其中一件盈利20%，另一件亏本 20%，则两件上衣的进价之和为( )
A.230 元 B.240 元
C.250 元 D.260 元
C
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知识点
行程问题
4
1.相遇问题
相遇问题 沿直线运动 沿圆周运动
图示 甲、乙由同一地点相背而行
等量关系 路程 s 甲+s 乙=s 总 s 甲+s 乙= 圆周长
时间 若同时出发，则 t 甲=t 乙
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2. 追及问题
追及问题 沿直线运动 沿圆周运动( 同时同地 )
同地不同时 同时不同地 图示
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知4－讲
续表
等 量 关 系 路 程 慢者先行的路程+ 慢者被追及的路程 = 快者追及的路程 快、慢两者间的距离 + 慢 者 所 行 的路 程 = 快 者 所 行的路程 快者走的路程－慢 者 走 的路程 =圆周长(首次追上)
时 间 快者所用的时间= 慢者所用的时间 － 慢者先行的时间 快者所用的时间 =慢者所用的 时间 快者所用的时间 =慢者所用的时间
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知4－讲
3. 航行问题
航行问题 顺水航行 逆水航行
图示
速度关系 v 顺水 =v 静水 +v 水 v 逆水 =v 静水 －v 水
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特别解读
1.行程问题中常用的三个量之间的关系为路程 =速度×时间.
2. 航行问题中涉及顺和逆的问题，只要路线相同，则路程不变.
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方法点拨
追及问题中等量关系的寻找方法：
(1)从时间考虑 : 若同时出发，追及时两人所用的时间相等.
(2)从路程考虑 : ①沿直线运动，两人所走路程之差等于需要赶上的距离；②沿圆周运动，两人所行路程之差等于圆周长 ( 从同一地点出发 ，且首次追上).
(3)从速度考虑 : 两人的相对速度等于他们的速度之差 .
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A， B 两地相距 280 m，甲、乙两人同时出发相向而行 . 甲从 A 地每秒跑 8 m，乙从 B 地每秒跑 6 m，那么多少秒后甲、乙两人相遇？
例5
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解题秘方：此题属于相遇问题，等量关系是甲所用时间 =乙所用时间， 甲跑过的路程 + 乙跑过的路程 =A， B 两地之间的距离 .
解：设 x s 后甲、乙两人相遇 . 根据题意，
得 8x+6x =280，解得 x=20.
所以 20 s 后甲、乙两人相遇 .
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5-1.甲、乙两车站相距450 km，一 辆慢车从甲站开出，平均速度为65 km/h；一辆快车从乙站开出 ，平均速度为 85 km/h.
(1)两车同时开出，相向而行 , 那么两车行驶多长时间后相遇？
解：设两车行驶x h后相遇．
根据题意，得65x＋85x＝450，解得x＝3.
所以两车行驶3 h后相遇．
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(2)快车先开 30 min，两车相向而行，慢车行驶多长时间后两车相遇？
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知4－练
小明、小杰两人在 400 m 的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑 300 m，小杰每分钟跑 220 m.
(1)若小明、小杰两人同时同地反向出发，则出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
(2)若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面 100 m 处 .
①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
②出发几分钟后，小明、小杰在赛道上第一次相距 20 m ？
例6
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解题秘方：可将环形中的相遇问题转化为直线中的相遇问题解答 .
解：设出发 x min 后，小明、小杰第一次相遇 .
依题意，得 300x+220x=400，解得 x=.
因此，出发 min 后，小明、小杰第一次相遇 .
(1)若小明、小杰两人同时同地反向出发，则出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
知4－练
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解：设出发 y min 后，小明、小杰第一次相遇 .
依题意，得 300y － 220y=100，
解得 y= .
因此，出发 min 后，小明、小杰第一次相遇 .
(2)若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面 100 m 处 .
①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
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解：设出发 z min 后，小明、小杰在赛道上第一次相距 20 m.
依题意，得 300z－220z+20=100，解得 z=1.
因此，出发 1 min 后，小明、小杰在赛道上第一次相距 20 m.
②出发几分钟后，小明、小杰在赛道上第一次相距 20 m ？
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6-1.甲、乙两人沿运动场中一条周长为 400 m的环形跑道匀速跑步 ，甲的速度是乙的速度的1.5 倍，他们从同一地点，朝同一方向同时出发，8 min 后甲第一次追上乙 .
(1) 求甲、乙两人跑步的速度分别为多少.
知4－练
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解：设乙的速度为x m/min，则甲的速度为1.5x m/min.
根据题意，得8×(1.5x－x)＝400，
解得x＝100，所以1.5x＝150.
因此，乙的速度为100 m/min，甲的速度为150 m/min.
知4－练
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(2) 若甲、乙两人从同一地点，同时背向而行，经过多长时间两人恰好第五次相遇
解：设经过t min两人恰好第五次相遇．
根据题意，得(150＋100)t＝400×5，
解得t＝8.
因此，经过8 min两人恰好第五次相遇．
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李成在王亮的前方 10 m 处，李成每秒跑 7 m，王亮每
秒跑 7.5 m，两人同时同向起跑，请问王亮跑多少米可以追上李成？
例7
知4－练
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解题秘方：此题是追及问题，属于“同时不同地”的类型，可根据“王亮跑的路程 - 李成跑的路程 =10 m”列方程求解 .
解：设 x s 后王亮追上李成 .
根据题意，得 7.5x － 7x=10，解得 x=20.
7.5× 20=150( m) .
因此，王亮跑 150 m 可以追上李成 .
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7-1.上午 6：00 甲步行从 A 地匀速出发，于下午 5：00 到 达 B 地；上午 10：00 乙骑自行车从A 地匀速出发，于下午 3：00 到达 B 地，问乙在什么时间追上甲？
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一名极限运动员在静水中的划船速度为 12 km/ h，
今往返于某河，逆流时用了 10 h，顺流时用了 6 h，求此河的水流速度 .
例8
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解题秘方：逆水速度 = 静水速度 - 水流速度，顺水速度 =静水速度 + 水流速度，顺流行程 = 逆流行程 .
解：设此河的水流速度为 x km/h.
根据题意，得 6(12+x) =10(12 － x)，
解得 x=3.
因此，此河的水流速度为 3 km/h.
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8-1.某学生乘船沿笔直的河道由甲地顺流而下到乙地，然后又乘船逆流而上到丙地，共用了 3h. 已知船在静水中的速度是 8 km/h，水流的速度是 2km/h，甲、丙两地相距 2km，求甲、乙两地间的距离 .
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一元一次方程的应用
借助表
格分析
等量关系
用一元一
次方程解
实际问题
的步骤
应用
等积变形
等积变形
几何问题
“盈不足”问题
行程问题
直线形
环形
追及
相遇

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