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(共14张PPT)
古代数学问题
第5章 一元一次方程
（北师版）七年级
上
5.3.2一元一次方程的运用
丰顺县汤坑中学 胡军
01
学习目标
素养目标
1.能根据古代数学问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想.
2.借助古代数学问题，体会利用表格分析数量关系是一种有效方法.
3.经历运用方程解决古代数学问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识.
学习重点
寻找古代数学问题中的等量关系，建立方程.
学习难点
抓住古代数学问题中的不变量，确定等量关系.
02
创设情境，导入新课
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？
03
活动引入，合作探究（1）
(1)问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？
已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距；
未知量：人数与物价.
等量关系：每人出的钱数×人数-多出的钱数=每人出的钱数×人数+少出的钱数
题目大意：
几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？
03
活动引入，合作探究（1）
(2)设人数为x，其他未知量能用含x 的代数式表示，并完成下表
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数
出钱总数
物价
(3)根据等量关系， 列出方程
设人数为x. 根据等量关系，列出方程：8x-3=7x+4
解这个方程，得 x ＝7 7x+4=53
因此，人数为7，物价为53钱.
x
x
8x
7x
8x-3
7x+4
03
活动引入，合作探究（1）
思考：如果设物价为 y 钱， 用含 y 的代数式表示其他未知量，并补充表格.
有关量 每人出8钱 每人出7钱
物价
出钱总数
人数
根据等量关系， 列出方程,
设物价为 y. 根据等量关系，列出方程：=
+3
-4
(+3)/8
(-4)/7
03
活动引入，合作探究（2）
2.《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问：人数、金价各几何？
题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱. 合伙人数、金价各是多少？
(1)问题中的等量关系是怎样的？
每人出的较多钱数×人数－多出的钱数＝每人出的较少钱数×人数－多出的钱数.
03
活动引入，合作探究（2）
(2)设人数为x，补充下列表格
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数
出钱总数
金价
设合伙数为x，则金价可表示为(400x-3400)或(300x-100)
根据等量关系，列出方程：400x-3400=300x-100　
解这个方程，得 x ＝33
因此，人数为33人，金价为9800钱.
x
x
400x
300x
400x-3400
300x-100
04
活动引入，合作探究（2）
(3)设金价为y钱，能列出怎样的方程？
有关量 每人出400钱 每人出300钱
金价
出钱总数
人数
设金价为y钱，则人数可表示为(y+3400)/400(y+100)/300
根据等量关系，列出方程：(y+3400)/400(y+100)/300
y
y
y+3400
y+100
(y+3400)/400
(y+100)/300
04
思考 交流
《九章算术》给出了一种算法：
人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；
物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数.
你能说明为什么吗？
第一次出钱总数-物价=第一次剩余钱数 ①
第二次出钱总数-物价=第二次剩余钱数 ②
①-②得，两次出钱总数之差＝两次剩余钱数之差
即： 两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数
所以 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差.
06
知识延伸，巩固升华
我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则有多少匹大马？ 多少匹小马？
解：设有x匹大马，则有(100-x)匹小马
根据题意，得 3x+ (100-x)=100
解得 x=25
100-25=75
答：有25匹大马，75匹小马.
05
针对练习
隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤. 问：人、银各几何？ (选自《算法统宗》)
题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两. 有多少个人？有多少两银子？(1斤=16两)
解：设一共x人，则银子可表示为(7x+4)两或(9x-8)两
根据题意列方程得 7x+4=9x-8
解得 x=6
7×6+4=46(两)
答：有6人，有46两银子.
07
课堂小结
古代数学问题
数学问题
（一元一次方程）
表格分析
寻找等量关系
08
课后作业
1.基础作业：教材P155习题5.3第6、7题
拓展作业：我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公. 众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.该店有客房多少间？ 多少客人？
2.《导学全程练》相应课时训练.5.3.2 一元一次方程的应用-古代数学问题教学设计
学科 数学 年级 七年级 课型 新授课 设计者 胡军
课题 一元一次方程的应用---古代数学问题 课时 1
课标要求 1、知识与技能目标：学生能够借助表格等工具分析实际问题中的数量关系，准确找出等量关系，建立一元一次方程模型来解决问题，进一步提高解方程的技能。2、过程与方法目标：通过解决古代数学问题的过程，培养学生学习古代前人的智慧，学习分析问题、解决问题的能力，提高学生将问题转化为数学问题的建模能力。3、情感态度与价值观目标：通过对古数学问题及生活中实际问题的探讨，激发学生学习数学的兴趣，让学生体会数学的实用性和魅力，培养学生勇于探索、敢于尝试的精神，增强学生学好数学的自信心。
教材分析 本节课是北师大版（2024）七年级上册第五章第三节《一元一次方程的应用》内容，学生已掌握一元一次方程概念及解法后的深化应用阶段。作为第二个模型应用专题，它以《九章算术》“盈不足” 问题为载体，旨在让学生认识到古代数学的魅力和前人的智慧，培养学生用表格分析方程的习惯和思维。 相较于前一课时，“盈不足” 问题数量关系更为复杂，需引导学生通过构建表格梳理信息，掌握分析复杂问题的直观策略。学生在经历从实际问题抽象出等量关系、建立方程模型并求解的完整过程中，能深刻感悟数学建模思想，为后续学习函数、不等式等数学模型奠定坚实基础。同时，以古代数学经典为素材，既能传承中华优秀传统文化，增强学生民族自豪感，又实现了学科知识与人文素养的有机融合。因此，本节课在知识体系、思想方法渗透及学生能力培养方面均具有承上启下的关键作用。教学重点在于引导学生剖析实际问题中的数学关系，精准提炼 “盈不足” 问题的等量关系，实现实际问题向数学模型的转化。
学情分析 学生已学习一元一次方程的基本概念、解法及第一课时应用内容，具备一定代数运算和方程思维基础，能够熟练进行方程求解，但在面对 “盈不足” 这类古代数学问题时，易出现理解障碍。由于缺乏相关生活经验与理论积累，学生在分析复杂数量关系、寻找等量关系时存在困难。 从思维发展角度看，七年级学生正处于具象思维向抽象思维过渡的关键期，虽抽象思维能力逐步提升，但仍需借助具体实例、直观图表辅助理解抽象数学概念。针对这一学情，教学中应采用启发式、探究式教学，设计贴近生活的情境任务，组织小组合作交流活动，引导学生在实践中掌握 “盈不足” 问题的解题策略，提升分析和解决问题的能力。
核心素养目标 1、能根据古代数学问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想.2、借助古代数学问题，体会利用表格分析数量关系是一种有效方法.3、经历运用方程解决古代数学问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识.
教学重点 熟练掌握借助表格等方式准确分析复杂实际问题中的数量关系，特别是涉及多个未知量和等量关系的问题。
能够根据问题中的等量关系，合理选择未知数，列出一元一次方程并求解。
教学难点 正确理解实际问题中的各种数量关系，尤其是一些隐含的等量关系，准确找出问题的关键所在，建立合适的方程模型。
对于较复杂的问题，如何引导学生从不同角度思考，选择恰当的设未知数方法和解题思路，体会多种解题方法的差异和优劣。
教学方法 情境教学法：创设丰富多样的实际问题情境，包括古数学问题情境和生活中的常见问题情境，让学生在具体情境中感受数学与生活的紧密联系，提高学生解决实际问题的兴趣和能力。
讲授法：通过清晰的讲解，向学生传授一元一次方程应用的关键知识点、解题思路和方法步骤，确保学生对基本概念和原理的理解。
教学过程（教学环节可结合学科特点自行设置）
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 通过课件展示这节课的学习目标，包括素养目标、学习重点、学习难点。 诵读学习目标 让学生了解这节课的目标，围绕目标进行学习。
环节二 通过AI数字人祖冲之朗读古代数学《盈不足》里面的题目：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？创设古代数学情景，引出今天的学习内容。引导学生思考问题中的已知量和未知量，鼓励学生大胆猜测它们之间可能存在的等量关系，激发学生的探究欲望。
观看视频思考，思考并书写题目中的已知量和未知量和它们之间的关系 以古数学问题为情境引入新课，激发学生的好奇心和学习兴趣，让学生感受到数学的悠久历史和深厚文化底蕴。同时，引导学生思考问题中的数量关系，自然地引出本节课要学习的一元一次方程在实际问题中的应用，使学生明确学习目标。
环节三 提出问题，让学生先独立思考，设人数为x，其他未知量能用含x 的代数式表示，并完成表格，通过表格分析各个量之间的关系，寻找能列方程的等量关系，列出方程并求解。 独立思考问题，通过已经设好的未知数，尝试找出其他未知量，完成表格。通过尝试如何设未知数、如何找等量关系以及列出方程的依据，学会设未知数，找等量关系，列方程并求解。 先让学生独立思考，培养学生的自主学习能力和独立解决问题的能力。教师的适时点拨和引导，帮助学生克服困难，顺利找到解题思路。通过展示借助表格分析数量关系的方法，让学生学会一种有效的分析问题的工具，提高学生分析复杂问题的能力。
环节四 引导学生思考：如果设物价为 y 钱， 用含 y 的代数式表示其他未知量，并补充表格，通过表格分析各个量之间的关系，寻找能列方程的等量关系，列出方程并求解。 合作探究，完成表格内容。 通过设不同的未知数，开展一题多解，引导学生从不同角度思考，训练学生的发散思维。
环节五 呈现《九章算术》“盈不足” 章第五题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？” 引导学生分析题目大意，设人数为x，让学生尝试把相关表格补充完整，提问学生如何根据表格中的信息找到等量关系并列出方程，对学生的回答进行评价和指导，展示完整的解题过程，包括解方程的步骤和检验过程。之后，提出思考交流问题：对于例题，如果设金价为y，能列出怎样的方程？《九章算术》给出的算法与方程求解过程有何不同？ 认真听教师分析题目，根据教师的要求设人数为x，尝试补充表格内容，思考并回答如何根据表格找等量关系列方程。仔细观看教师展示的解题过程，学习解题的规范步骤。在思考交流环节，积极参与同桌讨论，尝试设金价为y列出方程，并与同伴交流《九章算术》算法与方程求解过程的差异。 通过具体例题的讲解和练习，让学生进一步巩固利用一元一次方程解决 “盈不足” 类型实际问题的方法，强化学生分析问题、找等量关系、列方程和解方程的能力。思考交流问题的设置，引导学生从不同角度思考问题，体会设不同未知数列出不同方程的算法多样化，同时对比古代算法与方程解法，拓宽学生的思维视野，加深学生对数学知识的理解。
环节六 给出练习题目1、隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤. 问：人、银各几何？ (选自《算法统宗》)2、我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则有多少匹大马？ 多少匹小马？在学生独立完成练习过程中，教师在教室里巡视，观察学生的答题情况，及时发现学生存在的问题，对有困难的学生进行个别指导。练习完成后，给出答案，对学生的完成情况进行全面分析讲解，重点讲解学生出错较多的题目，强调解题的关键步骤和容易出错的地方。
独立完成教师布置的练习题目，认真分析题目中的数量关系，设未知数，列方程并求解。在遇到困难时，积极向教师或周围同学请教。对照答案，认真听取教师的分析讲解，反思自己在解题过程中存在的问题，及时进行纠正。
通过多样化的练习题，让学生在不同情境中运用所学知识解决实际问题，加深学生对一元一次方程应用的理解和掌握，提高学生的解题能力和应用意识。教师的巡视指导和分析讲解，能够及时发现并解决学生存在的问题，帮助学生查缺补漏，强化学习效果。
环节七 引导学生一起回顾本节课所学内容，包括借助表格分析古数学盈亏问题等实际问题中的数量关系，建立方程解决问题的方法，从古代数学问题中学习方程的知识。 跟随教师的引导，积极回忆本节课所学知识，回答教师提出的关于知识点的问题，分享自己在本节课学习中的收获和体会。
课堂小结有助于学生梳理本节课的知识框架，强化重点知识，加深对利用一元一次方程解决实际问题方法和步骤的记忆。鼓励学生将数学知识应用到生活中，培养学生的数学应用意识和实践能力，让学生体会数学与生活的紧密联系。
环节八 布置基础作业，要求学生完成教材课后练习题中关于一元一次方程应用的相关题目，明确提出认真分析题目中的数量关系，列出方程并求解，规范书写解题过程的要求，其他拓展作业为有兴趣的同学单独完成。 记录教师布置的作业，明确作业要求。对于基础作业，计划认真完成，巩固课堂所学知识；对于拓展作业，思考如何在生活中寻找合适的问题，并运用所学知识进行解决。 基础作业旨在巩固学生课堂所学的基础知识和基本技能，通过教材练习题的训练，让学生熟练掌握利用一元一次方程解决实际问题的方法。拓展作业则注重培养学生的创新思维，让学生在生活中发现数学问题，运用数学知识解决问题。
总结评价 教师总结，引导学生关注古代数学问题，学习前人的智慧，掌握学习方法。
分层作业 1、基础作业： 基础作业：教材P155习题5.3第6、7题拓展作业：我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公. 众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.该店有客房多少间？ 多少客人？2. 《导学全程练》相应课时训练。
板书设计 5.3.2 一元一次方程的应用 古代数学问题盈不足问题
教学反思 大部分学生能够理解 “盈不足” 问题的基本逻辑，成功通过表格梳理数量关系并建立方程模型，但在面对条件隐含性较强的变式题目时，仍有部分学生难以快速提取关键信息，说明在培养学生灵活运用模型解决复杂问题的能力上还存在不足。通过AI数字人祖冲之作为引入能有效激发学生的兴趣，有效调动了学生积极性，学生参与度明显提高。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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