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2025年辽宁省抚顺市新宾满族自治县教学质量检测（四）（三模）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（ ）
A．2.5 B．0.7 C．+3.2 D．+0.8
2．下列是抚顺市四所高中的校徽标志，其中的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．华为麒麟9000处理器采用了工艺制程，．把数0.000000005用科学记数法表示，记为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，记录有某校“篮球社团”25名成员的年龄分布数据的小纸条不小心被撕掉了部分，则根据剩余数据，仍然可以得到该社团全体成员年龄数据的（ ）
年龄/岁 11 12 13 14 15
频数/名 5 8 2
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
8．某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，若快递公司的快递员人数不变，公司投递快件的能力由原来每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件．设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，菱形的对角线相交于点，若，则菱形边的长为（ ）
A． B．5 C． D．
10．如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ．
13．如图，直线与轴，轴分别交于两点，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则第一象限点的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，且与相交于点，的值为 ．
15．如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为 ．
三、解答题
16．计算
(1)；
(2)．
17．某校组织学生积极参与各种科创活动，某次活动准备了四个生动的演示实验：．打印晶体结构实验；．水火箭演示实验；．机器人街舞实验；．纸质搭高承重实验．演示结束后，该校随机选取部分学生对四个实验的喜爱程度做了抽样调查（每位同学选取一个最喜爱的实验）．调查内容及不完整的统计图如下：
调查内容 你最喜爱的实验（每位同学选取一个最喜爱的实验） ．打印晶体结构实验 ．水火箭演示实验 ．机器人街舞实验 ．纸质搭高承重实验
调查结果
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求本次调查的学生人数；
(2)求扇形统计图中“．打印晶体结构实验”对应的圆心角的度数；
(3)用列表法或画树状图法求出小明和小强恰好最喜爱同一个实验的概率．
18．小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
(1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
(2)小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
19．某奶茶店新推出一款果饮，依据销售经验，定价在元之间适合顾客心理，且日销售量（单位：杯）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该款果饮的成本价为8元/杯．
(1)求关于的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
(2)当该款果饮的销售单价为多少元时，每日的销售利润最大？最大利润是多少元？
20．某校“综合与实践”活动小组的同学们到广场做实践课题，并制作如下实践报告：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据 抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段），小组成员测量了相关数据，并画如下示意图1，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生 （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若通过操控手中风筝线，使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中剩余风筝线20米，此时风筝下降约为多少米（结果精确到0.1米）？ （参考数据：）
问题解决 ……
21．如图，是的外接圆的直径，点为上一点，过点作于点，交的延长线于点，点为线段上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
22．【问题初探】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在中，，，为边中线，求的取值范围．
①如图2，小豪同学给出如下解题思路：取边的中点，连接，构造，利用三角形的三边关系定理，从而求出的取值范围．
②如图3，小潆同学给出如下解题思路：延长至，使，连接，构造，再利用三角形的三边关系定理，从而求出的取值范围．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
赵老师发现之前两名同学都运用了转化思想，转化线段，为了帮助学生更好地感悟转化思想，赵老师提出下面问题，请你解答．
（2）如图4，在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使，连接，交的延长线于点，连接，若，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，求的长．
23．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数．
例如：一次函数与反比例函数的交点为，
因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为．
(1)求一次函数与二次函数的乘积常数；
(2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围．
《2025年辽宁省抚顺市新宾满族自治县教学质量检测（四）（三模）数学试题》参考答案
1．B
解：∵0.7＜0.8＜2.5＜3.2，
∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为-0.7的．
故选B．
2．B
解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
3．A
解：A．圆锥的主视图和左视图都为三角形，故该选项符合题意；
B．水平放置的圆柱的主视图为矩形，左视图是圆，故该选项不符合题意；
C．竖直放置的圆柱的主视图为矩形，左视图是矩形，故该选项不符合题意；
D．球的主视图，左视图都是圆，故该选项不符合题意；
故选：A．
4．C
解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
5．D
解：，
方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
6．C
解：．
故选：C．
7．D
解：平均数计算必须知道每个数据的权重，13岁，14岁的权重不清楚，
故平均数无法计算，
故A选项不符合题意；
根据方差的计算公式，必须清楚平均数，由此判定方差也是无法计算的，
故B选项不符合题意；
众数是数据出现次数最多的数，两个数据的频数不清楚，无法确定最多次数，可以判定众数也是无法计算，
故C选项不符合题意；
中位数是第13个数据，5与8的和恰好是13，即可以确定中位数，
故D选项符合题意．
故选：D．
8．B
解：更换交通工具后每人每周投递，
由题意得：，
故选：B．
9．A
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴
在中，
故选：A．
10．C
解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
11．
解：∵二次根式在实数范围内有意义
∴，
解得．
故答案为：
12．
解：点关于x轴对称的点的坐标为：．
故答案为：．
13．
解：与轴轴分别交于两点，
令可得；令可得，
点和点的坐标分别为，，
与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，
轴，
，
当点在第一象限时 的坐标为；
故答案为：
14．4
解：设点的坐标为，则点的坐标为．
点为线段的中点，
点的坐标为．
点均在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为；
故答案为：．
15．2或
解：如图，过点作于点，
∵在矩形中，，是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
设，
当在点的左侧时，，
∵
∴
∴
∴
∴
当的面积是10时，
解得：（负值舍去）
如图，当在点的右侧时，
，
∵
∴
∴
∴
∴
当的面积是10时，
解得：（负值舍去）
当点在的右侧时，不合题意；
综上所述，或,
故答案为：2或．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)人
(2)
(3)
（1）解： ，
答：本次调查的学生人数是50人．
（2），
答：扇形统计图中“．打印晶体结构实验”对应的圆心角的度数是．
（3）解：列表如下：
小强小明
由列表可知，共有16种结果，并且每种结果出现的可能性相等，
其中小明和小强恰好最喜爱同一个实验的结果有共4种，
小明和小强恰好最喜爱同一个实验的概率为：．
18．(1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量
(2)100个
（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，
由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
19．(1)
(2)当该款果饮的销售单价为19元时，每日的销售利润最大，最大利润是1210元
（1）解：设关于的函数解析式为，
将点代入，得，
解得
关于的函数解析式为．
（2）设该款果饮的日销售利润为元，根据题意，得，
，
，
当时，取得最大值，最大值为1210，
当该款果饮的销售单价为19元时，每日的销售利润最大，最大利润是1210元．
20．（1）风筝离地面的垂直高度为米；（2）此时风筝下降约为米
解：（1）如答图1，由题意，得，，
，
在中，，
答：风筝离地面的垂直高度为米．
解：（2）如答图2，由题意，得，，
，
在中，，
，
，
答：此时风筝下降约为米．
21．(1)见解析
(2)5
（1）证明：连接，
，
，
于点，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线．
（2）证明： 为直径，，
即，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
答：的长是5．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）6
（1）证明：选择小豪同学的解题思路：
如答图2，取中点，连接，
，
，，
是边的中线，
∴为中点，
是的中位线，
，
在中，，
，即．
证明：选择小潆同学的解题思路：
如答图3，延长至，使，连接，
是边的中线，
，
，
，
，
在中，，
，即，
．
（2）证明：如答图4，延长到点，使得，连接，，
，
垂直平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
由勾股定理的逆定理得，，
，
在中，，
．
（3）证明：如答图5，延长至点，使，连接，，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，，，
，
，
在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，即，
，
，
，
，
，
．
23．(1)－6
(2)
(3)或
（1）解：当时，得，
整理，得，
一次函数与二次函数的乘积常数是－6．
（2）当时，得，
整理，得，
，
二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线，
顶点坐标为（1，3）二次函数的解析式为，
二次函数的图象经过，
，解得，，
二次函数的解析式为．
（3）当时，，
解得，，，
抛物线与轴的交点坐标为，
①如答图1，当时，点在第二象限时，点在的左侧，点在的左侧时，
抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意，
，得，
②如答图2，当，点在轴上方，且满足点在点的右侧，在对称轴上或对称轴左侧时，
抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意，
，解得，
当时，则，
此时在右侧，在左侧，抛物线与正方形只有一个公共点，如答图3，
时，，
此时在左侧，抛物线与、有公共点，故正方形与抛物线的公共点个数不少于3个，如答图4，
综上所述，的取值范围是或．

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