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2025年河北省中考模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，直线，相交于点，平分，若，则图中大小为的角是( )
A.
B.
C.
D.
2.洛阳，是中国著名的“百段之城”和“围棋之乡”如图是收藏于洛阳围棋博物馆内的唐代文懒物--唐代三彩围棋罐，其口径为毫米，腰径为毫米，高度为毫米，重量为克其主视图为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.年春哪吒之魔童闹海横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，哪吒在部分关键镜头中甚至达到了每秒帧，每帧画面仅用时大约，使得画面效果更加震撼，数据可用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
6.如图，，两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是( )
A. B. C. D.
7.“五月五日午，赠我一枝艾”端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日某超市在端午节当天举办购物满元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球编号为，，中抽取一个球抽取后放回，每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉小明和小华购物都满元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图，，两点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在菱形中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接若直线恰好过点且交于点，连接，则( )
A. B. C. D.
10.已知，是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
11.将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.将因式分解的结果是 ．
14.不等式组的解集是______．
15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于点若，则的值为 ．
16.如图，在中，已知，，点是的中点，交于点，连接当是以为底的等腰三角形时，边的长为______；当是以为底的等腰三角形时，边的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
【知识回顾】一动点沿着数轴向右平移个单位，再向左平移个单位，相当于向右平移个单位用有理数加法表示为．
【类比学习】若坐标平面上的点做如下平移：沿轴方向平移的数量为向右为正，向左为负，平移个单位，沿轴方向平移的数量为向上为正，向下为负，平移个单位，则把有序数对，叫做平移后的“位移量”；用记号来表示，“位移量”与“位移量”的加法运算法则为．
【解决问题】
计算：______．
动点从坐标原点出发，先按照“位移量”平移到，再按照“位移量”平移到；若先把动点按照“位移量”平移到，再按照“位移量”平移，在图中标出点、、，并画出四边形．
如图，一般船从码头出发，先航行到湖心岛码头，再从码头航行到码头用“位移量”表示它从点航行到点的航行过程应表示为：______．
18.本小题分
学习了乘法公式中的平方差公式，有时候为了计算方便也可以写成的形式逆向运用来解决问题．
【尝试运用】：用简便方法计算：
；
．
【拓展运用】：记，其中正整数，下列说法中，甲同学认为：；乙同学认为：对任意正整数，总有你认为甲、乙两同学的判断是否正确？请分别说明理由．
19.本小题分
某校甲、乙两个班级各有名学生组成矩形方阵进行校运动会入场仪式，为了解这两个班级参加入场仪式的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高单位：，数据整理如下：
甲班名学生的身高：
，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，．
两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：
班级 平均数 中位数 众数
甲
乙
请根据所给信息，解答下列问题：
表中______，______；
在甲班的名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的名学生中，高于平均身高的人数为，则______填“”“”或“”；
若甲班调整了一下队形，派身高分别为、、、的四位同学负责在队列前面手擎国旗，其余人组成一个新的矩形方阵，设甲班原方阵的身高平均值为，方差为，新方阵的身高平均值为，方差为，则______，______填“”“”或“”．
20.本小题分
如图，在中，，过点作交于点，为边上一点，使得，以为直径作，交于点．
求证：是的切线；
若，求和的值．
21.本小题分
图为天工开物记载的用于舂捣谷物的工具--“碓”，图为其平面示意图于点，与水平线相交于点，且若，，，求点到水平线的距离结果精确到，参考数据：
22.本小题分
河南地处中原腹地，拥有悠久的历史文化和丰富的自然资源，孕育了众多独具特色的经典土特产，如信阳毛尖、焦作铁棍山药、灵宝苹果、新郑大枣，某商店销售，两种河南当地土特产，每斤种土特产的利润比每斤种土特产的利润多元，销售种土特产获利元和销售种土特产获利元时的销售数量相同．
分别求，两种土特产每斤的利润；
若该商店计划购进，两种土特产共斤进行销售，且种土特产数量不超过种土特产数量的倍，如何安排购买方案才能使总利润最大？
23.本小题分
问题背景：
如图是足球比赛中某一时刻平面截面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线攻球员位于球场点，守门员位于球场点，后卫位于球场点三点共线，的延长线与球门线交于点，且点，，均在足球轨迹正下方，已知米，米通过监测，足球飞行的水平速度为秒，水平距离单位：米，水平距离水平速度时间与离地高度单位：米的函数关系式为守门员的最大防守高度都为米，后卫的最大防守高度为米守门员和后卫在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员和后卫位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员或后卫的最大防守高度视为防守成功．
问题解决：
当足球飞行的水平距离时，求足球离地高度为多少米？
当足球飞行多少秒时，足球离地达到最高？若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
求后卫选择面对足球移动防守，计算成功防守的最小速度．
24.本小题分
【问题思考】
如图，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接．
则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是______．
【探究应用】
如图，正方形的边长为，点是射线上一动点不与点重合，连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接，当点在上时．
若，求的值；
若是等腰三角形，求此时的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】与是对顶角，，
，
平分，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】根据从正面看到的图形是主视图可知：唐代三彩围棋罐的主视图为：
故选：．
3.【答案】
【解析】，，，，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】，
故选：．
6.【答案】
【解析】观察数轴可知：，，
，，，
、、选项的说法错误，选项的说法正确，
故选：．
7.【答案】
【解析】列树状图如下：
由树状图可知：两人恰好得到不同馅的粽子的概率是．
故选：．
8.【答案】
【解析】将线段平移至，，，
平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
，
，
故选D．
9.【答案】
【解析】连接．
由作法得垂直平分，
，
四边形为菱形，
，，
，，
为等边三角形，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】，是方程的两根，
，，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动，
如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值，
将代入得，，
解得，不合，舍去，
的最小值是；
如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，
将代入得，，
解得，不合，舍去，
的最小值是；
综上，，
故选：．
12.【答案】
【解析】如图所示，连接并延长，作的延长线于点，作于点，
，，为中点，
由三线合一可知，平分．
，
，
，
，，，
，
，即，
故GE．
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，由勾股定理可得．
故选：．
13.【答案】
【解析】，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，
时，，，
当时，，，
，
，
，
过点作轴于点，则，
，，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】当是以为底的等腰三角形时，如图，
由条件可知是的垂直平分线，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
又，
，
，即，
；
当是以为底的等腰三角形时，则，
，
由条件可知；
过点作于点，如图，

设，则，
在和中，，，
，
解得，
，，
在由，由勾股定理得．
故答案为：；．
17.【答案】
【解析】
故答案为：；
动点从坐标原点出发，先按照“位移量”平移到，再按照“位移量”平移到
，即，
动点从坐标原点出发，若先把动点按照“位移量”平移到，
即
先描点，再顺次连接点、、、，即可得到四边形，如图所示：
由题意可得：
点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
用“位移量”表示它从点航行到点的航行过程应表示为：．
故答案为：．
18.【解析】
；
；
拓展运用
判断甲同学说法：
，
约分后可得，
，，
通分比较大小，，，
．
，
甲同学说法错误；
判断乙同学说法：
，
且为正整数，
，则，
时取等号，当时，，
对任意正整数，总有，
乙同学说法正确．
19.【解析】，
数据出现了次，为最多，
所以；
故答案为：，；
由甲班数据可知，
乙班中位数为，
，
；
故答案为：；
，
；
由甲班数据可知，去掉两端较高的两人和较低的两人，则身高差异会变小，即，
故答案为：，．
20.【解析】证明：连接，如图，
，
，
点在以为直径的上，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，如图，
，，
，
设，则，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，．
21.【解析】延长交直线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由题意得：，
，
．
答：点到水平线的距离约为．
22.【答案】每斤种土特产利润是元，每斤种土特产利润是元；
购进种土特产斤，购进种土特产斤使总利润最大．
【解析】设每斤种土特产利润是元，则每斤种土特产利润是元，
依题意得，，
整理得，，
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
，
答：每斤种土特产利润是元，每斤种土特产利润是元；
设购进种土特产斤，则购进种土特产斤，销售总利润是元，
依题意，，
整理得，，
解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，斤，
答：购进种土特产斤，购进种土特产斤使总利润最大．
23.【解析】当时，．
答：当足球飞行的水平距离时，足球离地高度为米；
，
抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线，
当足球飞行秒时，足球离地达到最高，
足球飞行的水平速度为秒，
足球离地达到最高时飞行时间为：，
守门员选择原地接球，不能防守成功．
理由：米，米，
米，
当时，，
守门员选择原地接球，不能防守成功；
后卫位于点，米，当时，，，
后卫不用移动即可防守成功，
成功防守的最小速度为米秒．
24.【答案】，之间的数量关系是：理由：
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
即．
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；
连接，如图，
四边形为正方形，
，，
，
由知：．
正方形的边长为，，
．
设，则，．
，
，
．
，
过点作，交的延长线于点，如图，
四边形和四边形为正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
设，则，，
．
Ⅰ当时，，
．
，
．
此时，不合题意，舍去；
Ⅱ当时，，
，
此时，点与点重合，
点与点重合，
；
Ⅲ当时，
则，
，
，
解得：，
综上，若是等腰三角形，的长为或．
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