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2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷
一、单选题(共36分)
1．(3分)下表是我国五个城市某年1月份的平均气温，温差最大的两个城市是( )
城市 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京
平均气温（单位：） 3.8 13.1 2.4
A.北京、哈尔滨 B.广州、北京 C.武汉、北京 D.广州、哈尔滨
2．(3分)有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音.已知1光年千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为( )
A.千米 B.千米
C.千米 D.千米
3．(3分)下列各式中，计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4．(3分)若a,b是正整数,且满足,则下列a与b关系正确的是( )
A. B. C. D.
5．(3分)“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样.双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福.下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
6．(3分)《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为( )
A. B. C. D.
7．(3分)如图，O是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点P.若量角器上显示的读数为，则的度数为( )
A. B. C. D.
8．(3分)如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，，由此发现凸透镜的焦点略有偏差.若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
9．(3分)如图，已知A、B、C、D、E均在上，且为直径，则（ ）度.
A.30 B.90 C.60 D.45
10．(3分)如图，在中，O是边的中点.按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；
②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；
③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；
④作直线，交于点M.下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11．(3分)如图，在中，，.点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是( )
A. B. C. D.
12．(3分)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为( )
A. B.或
C.或 D.或
二、填空题(共12分)
13．(3分)我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：______（填“>”或“<”）.
14．(3分)绳如虹飞转，人似蝶翩跹.在跳绳全能赛中，甲、乙、丙三人各项成绩如表所示.评总分时，将单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩，则最后成绩最高的同学为_______.（填“甲”“乙”或“丙”）
成绩 单摇跳 双摇跳 单脚交叉跳
甲 80 90 85
乙 90 80 85
丙 80 80 85
15．(3分)如图,已知抛物线,线段,若抛物线a和线段b有两个交点,且两个交点均为整点(横、纵坐标均为整数的点),则整数m的值为______.
16．(3分)如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H.若，则__，______.
三、解答题(共72分)
17．(7分)如图,数学课上,老师用A,B,C,D四个圆分别代表一种运算,并依据这四个圆设计了数学游戏.例如：若按的顺序运算,则可列算式.
(1)直接写出算式的结果；
(2)若嘉嘉同学选择了的顺序,请列出算式并计算该算式的结果.
18．(8分)已知实数a、b、c、m、n满足，．
(1)当时，求证：；
(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
19．(8分)乙巳蛇年春节是春节这一中华民族的文化瑰宝，被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，迎来的首个“世界非遗版”春节.某学校举办了以“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”为主题的知识竞赛，为了了解学生对“春节”知识的掌握情况，现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，单位：分，满分100分，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级.A：，B：，C：，D：），并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.
七年级抽取的学生为等级B的竞赛成绩：91，92，94，94；
八年级抽取的学生为等级B的竞赛成绩：90，93，93，93，94，94，94，94，94.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩综合统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 a 95
八年级 91 93 b
(1)填空：_______，______，_______；
(2)补全七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
(3)若七年级共有600名学生参赛，八年级共有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为“等级A”的学生共有多少人.
20．(8分)在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如表：
实践报告
活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离
活动工具 测角仪、皮尺等
测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向；
【步骤二】从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）；
解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）.
请你帮助兴趣小组解决以上问题.（参考数据：，）
21．(9分)围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史.中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋，经问询每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元，学校决定购买40副围棋和副中国象棋.在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；
方案二：按购买总金额的八折付款.
(1)分别求出按照方案一、二购买的总费用关于m的函数关系式；
(2)若雷莹选择方案二购买更合算，求m的取值范围.
22．(9分)如图，为的直径，弦，连接 ，，E为上一点，，连接，并延长交于点M，连接，在的延长线上取一点N，使，连接.

(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线；
(3)连接，交于点F，若，看一看，想一想，证一证：以下与线段，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由.
23．(11分)在社区举办的篮球亲子挑战赛中,设置了两个不同高度的篮筐.较低的儿童篮筐在距离地面米高的点A处,较高的成人篮筐在距离地面米高的点B处,小明和爸爸组队参赛.在第一轮挑战中,小明站在点C处进行投篮,篮球出手后恰好投入儿童篮筐,且篮球运动的最高点距离地面3米,最高点到篮筐的水平距离为2米,建立如图的平面直角坐标系,篮球高度y(米)和出手点到篮筐的水平距离x(米)
之间满足二次函数关系.
(1)求小明第一次投篮时,篮球运动轨迹所在的抛物线的函数表达式；
(2)第二轮挑战时,爸爸鼓励小明向篮筐方向前进1米到达点D处再投篮,若两次投篮时篮球的运动轨迹完全相同,判断这次篮球能否投入成人篮筐,并说明理由.
24．(12分)在中，，，点D是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接.
(1)如图1，当时，请判断线段和线段的数量关系并给出证明；
小亮同学从时，与均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证得到，从而得到结论；
小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段上截取，连接，通过证明，将线段转化为线段；
①线段和线段D的数量关系为______；
②请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程；
(2)如图3，当，，，，求的长；
(3)如图4，当时，过点C作交于点F，若，，求的长.
参考答案
1．答案：D
解析：∵，
∴温差最大的两个城市是广州、哈尔滨，
故选：D.
2．答案：C
解析：1光年千米，1百亿，
1百亿光年千米，
故选：C
3．答案：D
解析：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确.
故选：D.
4．答案：D
解析：,
,
,
,
.
故选：D.
5．答案：D
解析：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意.
故选：D.
6．答案：A
解析：设每头牛值x金，每头羊值y金，牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，，故选：A.
7．答案：C
解析：由题意得，，
，
，
.
故选：C.
8．答案：D
解析：如图，
由题意知，
，，
，，
，，
，
，
故选D.
9．答案：B
解析：如图，连接，，
为直径，
，
，，
，
故选：B.
10．答案：D
解析：A.根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B.，
，
一定成立，故B不符合题意；
C.O是边的中点，
，
，
，
一定成立，故C不符合题意；
D.不一定成立，故D符合题意.
11．答案：A
解析：如图所示，连接，当时，线段取最小值，
∵线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，
，
∵是等边三角形，
，
，
，
即，
，
，
∴当时，线段取最小值，
过点D作于点G，交于点H，
，
∴，
由勾股定理得，
根据等腰三角形的三线合一可得，点G是中点，且，
，
，
，
在 中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
故选：A.
12．答案：B
解析：设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点，
，
解得：，
∵这个“叠梦二次函数”的图象顶点在第一象限，
∴，
，
，
，
∴点N在直线上运动，
设直线与“叠梦二次函数”交于点C，
当时，，
，
二次函数的顶点为，
，
∴当点N的坐标为时，此时点与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即；当点N在点C上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即；
∴当线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或.
故选：B.
13．答案：>
解析：,,
而,因此.
14．答案：甲
解析：单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩，
单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项占比分别为：，，，
甲最后成绩为：，
乙最后成绩为：，
丙最后成绩为：，
，
最后成绩最高的同学为甲.
故答案为：甲.
15．答案：2或4
解析：抛物线a和线段b有两个交点,
联立可得,,
,
当时,有一个交点,解得；当时,解得；
线段,
当时,,
若抛物线过时,将代入抛物线解析式得；若时,抛物线沿着y轴向上平移,与线段只有一个交点,
满足题意的m取值范围是,
为整数,
的值为2或3或4.
当时,抛物线与线段的交点坐标为,,符合要求；
当时,抛物线与线段的交点不是整点,不符合要求；
当时,抛物线与线段的交点坐标为,,符合要求；
的值为2或4,
故答案为：2或4.
16．答案： 6
解析：∵点C为的中点，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图：连接，设，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
根据圆周角定理得：，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：6； .
17．答案：(1)102
(2)
解析：(1).
(2)由题意列出算式为,
原式,
所列算式的计算结果为.
18．答案：(1)见解析 (2)见解析
解析：因为，，
所以，，
所以，
因，，
所以，
所以，即．
(2)解析：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数，
所以，都为偶数，即，都为偶数，
所以为偶数，
这与为奇数矛盾，
所以假设不成立，
所以m，n至少有一个为奇数．
19．答案：(1)93，94，20
(2)见解析
(3)400人
解析：根据题意，得C组有5人，D组有3人，B组有4人，且中位数是第10个数据和第11个数据的平均数即（分），
根据题意，得C组有得（人），D组有得（人），B组有9人，
A组有4人，且94出现了5次，最多，
故众数（分），
由，
故.
故答案为：93，94，20.
(2)解析：根据题意，得C组有5人，D组有3人，B组有4人，A组有8人，补图如下：
.
(3)解析：根据题意，得（人）
答：两个年级参赛学生中成绩为“等级A”的学生共有400人.
20．答案：湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离约为204米.
解析：如图，过点C作于点D，
由题意得：，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
米，
，
米，
答：湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离约为204米.
21．答案：(1)；
(2)
解析： ；
；
(2)解析：∵选择方案二购买更合算，
∴，
∴，
解得，
∴当时，该校选择方案二更划算.
22．答案：(1)4
(2)见解析
(3)正确，见解析
解析：∵，为⊙O的直径，
∴，
∴；
(2)证明：∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
即，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线.
(3)解析：正确.理由如下：
连接，

∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
23．答案：(1)
(2)这次篮球不能投入成人篮筐,见解析
解析：(1)依题意知抛物线的顶点坐标为,
设该抛物线的函数表达式为,
将点代入,得,
解得,
篮球运动轨迹所在的抛物线的函数表达式为
；
(2)不能,理由如下.
小明向篮筐方向前进1米,
抛物线的函数表达式为
令,得,
这次篮球不能投入成人篮筐.
24．答案：(1)①；②见解析；(2)；(3)
解析：①；
②证明：方法一：
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
即.
方法二：如图，
在上截取，
，.
.
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
.
(2)，
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
.
(3)解析：如图，
过点作，交的延长线于点M，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
在和中，，，
，
，
，
，解得：，
.

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